1、21.1 一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）导入新课导入新课复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8924xx-518代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
2、3.什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？请根据题意列出方程.100cm50cmx3600cm2解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得3600)250)(2100(xx2753500 xx整理，得2430014000 xx化简，得该方程中
3、未知数的个数和最高次数各是多少？一元二次方程的概念一讲授新课讲授新课问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解析：设应邀请x个队参赛，每个队都要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场.1(1)2x x解：根据题意，列方程：1(1)28.2x x 整理得：2112822xx化简，得：2560 xx该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？观察与思考 方程、都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们
4、有什么共同特点呢？特点:都是整式方程;只含一个未知数;未知数的最高次数是2.2560 xx2753500 xx知识要点u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.u一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a0)二次项系数一次项系数常数项ax2+bx+c=0强调：“=”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有;“=”左边按未知数 x 的降幂排列;“=”右边必须整理为0.想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？当
5、a=0 时bxc=0 当 a 0，b=0时，ax2c=0 当 a 0，c=0时，ax2bx=0 当 a 0，b=c=0时，ax2=0 总结：只要满足a 0，b，c 可以为任意实数.典例精析222221A.0B.350C.(1)(2)0D.0 xxxyyxxxaxbxc例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a0提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)x a +1 -2x-7=0.解：(1)将
6、方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由 a +1=2，且a-1 0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和
7、项均包含前面的符号.注意一元二次方程的根二u一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：下面哪些数是方程 x2 x 6=0 的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.例4.：已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根,求 2a2+4a+2017的值.解：由题意得2220aa 即222aa 2242017aa 2 220172021 22(2)2017aa 方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再
8、用整体思想代入求值当堂练习当堂练习 1.下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2320 xx2312 3yy 245x(2)(34)3xx2320 xx232 310yy-21313-540-53-22450 x 23250 xx323.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=094a 4a=-94.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5
9、x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=2.m+2 0，m-2，综上所述：m=2.拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意得2110abc 0abc 即即思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?解：由题意得2110abc 即即0abc 方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是1.2.若 a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?x=2课堂小结课堂小结一元二次
10、方程概念 是整式方程；含一个未知数；最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0 (a 0)其中(a0)是一元二次方程的必要条件；确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式.根使方程左右两边相等的未知数的值.见本课时练习课后作业课后作业21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 直接开平方法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p0)的方程.(重点）导入新课导入新课复习引入平方根1.如果 x2=
11、a,则x叫做a的 .2.如果 x2=a(a 0),则x=.3.如果 x2=64,则x=.a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法的概念一 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 106x2=1500，由此可得x2=25根据平方根的意义，得即x1=5，x2=5.可以验证，5和5是方程 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试 解下列方程
12、，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.（2）当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；（3）当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ，；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直
13、接开平方，得 x=30，x1=30,x2=30.典例精析6,x1266xx，在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5，得得用直接开平方法解方程二对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流35,x 3535.xx，或123535xx ，或于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解下列方程：（x1）2=2；典例精析 解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，
14、x2=-1-解：（1）x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24=0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.典例精析 x1=，547.4 x2=例2 解下列方程：(3)12（32x）23=0.典例精析解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-
15、2x=-0.5 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2=p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=3,x1=;4741x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1、下列解方程的过程中，正确的是（）2(A)
16、x2=-2,解方程，得x=(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 .(2)方程2x2=18的根是 .(3)方程(2x-1)2=9的根是 .3.解下列方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)2=4.x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x21解：x19,x29；解：x15,x25；解：x11,x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，
17、应改为115,3y 123 53,3 53.yy 能力拓展：方程x2+6x+4=0可以用直接开平方法解吗？如果不能，那么请你思考能否将其转化成平方形式？课堂小结课堂小结直接开平方法概 念步 骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=p(p 0)或（x+n)2=p（p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法见本课时练习课后作业课后作业21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 配方法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
18、(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.想一想：练一练:1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方讲授新课讲授新课配方的方法一问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）43x2-
19、x+=(x-)2你发现了什么规律？探究交流22232342422()323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+()2=(x+)22p2p配方的方法用配方法解方程二探究交流怎样解方程(2)x2+6x+4=0问题1 方程(2)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不
20、行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解配方法解方程的基本步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22一次项系数（）典例精析45,x 例1 解下列方程：21810 xx；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得即配方，得2223313,2
21、424xx 231,416x31,44x 由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx 2 2213 xx；解：移项，得2x23x=1,方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以将方程各项的系数除以二次项系数即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得2364,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 33640.xx为什么方程两边都加12？即即配方法的应用二典例精析例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多
22、项式k24k5的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以k24k5的值必定大于零.归纳总结配方法的应用 类别类别 解题策略解题策略1.求最值或求最值或证明代数式证明代数式的值为恒正的值为恒正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.2.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方利用配方构成非负数构成非负数
23、和的形式和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.当堂练习当堂练习1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；233024xx解：，2321().416x12321321,44xx；解：x2+2x-3=0，(
24、x+1)2=4.x1=-3,x2=1.2.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.3.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.解：（1）2x2-4x+5 =2(x-1)2+3 当x=1时有最小值3 （2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4 当x=2时有最大值-4课堂小结课堂小结配方
25、法定 义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.方 法在方程两边都配上2.2二次项系数（）步 骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22二次项系数（）特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应 用求代数式的最值或证明见本课时练习课后作业课后作业21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.2 公式法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元
26、二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.导入新课导入新课复习引入1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?讲授新课讲授新课 求根公式的推导一 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 ()能否也用配方法得出()的解呢？用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).方程两边都除以a 解:移项，得配方，得222.22bbcbxxaaaa 即2224.24bbacxaa 2axbxc ，2bcxxaa，用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).24.2bbacxa 24.
27、22bbacxaa 即一元二次方程一元二次方程的求根公式的求根公式特别提醒a 0,4a20，当b2-4ac 0时，用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).a 0,4a20，当b2-4ac 0时，22240.24bbacxaa 而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.2.42bbacxa 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0)，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元
28、二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.注意 公式法解方程二 例1 用公式法解方程程 5x2-4x-12=0解：a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.242bbacxa 242bbacxa典例精析(4)25641628=25105 1262,5xx 242bbacxa 例2 解方程：232 3xx化简为一般式：22330 xx 1-2 33.abc、解：（），2242 34130bac 即：123.xx 这里的a、b、c的值是什么？（-2 3）2 303.2 12x 例3 解方程：4x2-3x+2=0224,3,2.4
29、(3)4 4 2932230.abcbac 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤 1.变形:化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算:b2-4ac的值;4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出;若b2-4ac 0 =0 0.所以所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.这里这里a=5,b=-8,c=1，能力提升：在等腰ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求ABC 的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根
30、，所以所以=b24ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；）；所以所以ABC 的三边长为的三边长为4，4，5，其周长为，其周长为4+4+5=13.课堂小结课堂小结公式法求 根公 式步 骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.242bbacxa根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式见本课时练习课后作业课后作业21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新
31、课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.3 因式分解法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）导入新课导入新课情境引入我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（）（x1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x5）=0的解吗？讲授新课讲授新课因式分解法解一元二次方程一问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高
32、度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10 x-4.9x2 =0 解：2100049xx，22210050500494949xx ，2250504949x，50504949x，50504949x ，20.x 解：a=4.9,b=-10,c=0.242bbacxa 10102 4.9，b24ac=(10)244.90 =100.110049x，20.x 公式法解方程10 x-4.9x2=0.配方法解方程10 x-4.9x2=0.10 x-4.9x2=0.110049x，因式分解如
33、果a b=0，那么 a=0或 b=0.10,x 21002.0449x 两个因式乘积为 0，说明什么或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？10 x-4.9x2 =0 x(10-4.9x)=0 x=0 10-4.9x=0 上述解法中,由到的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移-方程的右边=0;二分-方程的左边因式分解;三化-方程化为两个一元一次方程;四解-写出方程两个解;简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解试一试：下列各方程
34、的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；(1)x1=0,x2=2；(2)(y+2)(y-3)=0；(2)y1=-2,y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；(3)x1=-2,x2=2；(4)x2=x.(4)x1=0,x2=1.例1 解下列方程：221220;132522.44x xxxxxx解：（1）因式分解，得于是得x20或x1=0,x1=2，x2=1.(2)移项、合并同类项，得2410.x 因式分解，得 (2x1)(2x1)=0.于是得2x1=0或2x1=0,1211,.22xx(x2)(x1)=0.可以试用多种方法解本例中的两个方程.典例精析灵活选用方法解方程二典例精析例2 用适当
35、的方法解方程：（1）3x（x+5）=5（x+5）；（2）（5x+1）2 =1；分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.解：化简 (3x-5)(x+5)=0.即 3x -5=0 或 x+5=0.5.,35 21xx分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.解：开平方,得 5x+1=1.解得,x 1=0,x2 =（3）x2 -12x=4 ;（4）3x2=4x+1；分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.解：配方,得 x2-12x+62=4+62,即 (x-6)2 =40.开平方,得 解得 x1=,x2=分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直
36、接因式分解，所以适合公式法.解：化为一般形式 3x2 -4x+1=0.=b2-4ac=28 0,填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.拓展提升一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0（p2-4q 0）(x+m)2n（n 0）ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)(x+m)（x+n）01.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ax2+bx=0），），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因
37、式分解法，不然选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.要点归纳解法选择基本思路 x2-3x+1=0 ；3x2-1=0 ；-3t2+t=0 ；x2-4x=2；2x2-x=0；5(m+2)2=8；3y2-y-1=0；2x2+4x-1=0；(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法 ；适合运用因式分解法 ；适合运用公式法 ；适合运用配方法 .当堂练习当堂练习1.填空 2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18.解:原方程化为：(x-5)(x+2)=18 .由x-5=3,得x=8;由x+2=6,得x=4;所以
38、原方程的解为x1=8或x2=4.3.解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=,x2=.x2+x-2=0-21解:原方程化为：x2 -3x-28=0，(x-7)(x+4)=0，x1=7，x2=-4.221363241210.xxx；解：化为一般式为因式分解，得x22x+1=0.(x1)(x1)=0.有 x 1=0 或 x 1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x 11)=0.有 2x+11=0 或 2x 11=0，121111,.22xx 4.解方程：5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的
39、半径解：设小圆形场地的半径为r，根据题意 (r+5)2=2r2.因式分解，得52520.rrrr 于是得2+50250.rrrr或1255,().2112rr舍去答：小圆形场地的半径是5m.21课堂小结课堂小结因式分解法概 念步 骤简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解如果a b=0，那么，那么a=0或或b=0.原 理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).见本课时练习课后作业课后作业21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.
40、2.4 一元二次方程的根与系数的关系 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 7000.答：每
41、轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台典例精析1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980 B.x(x+1)=1980 C.x(x-1)=1980 D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2=73 D.(1+x)2=73当堂练习当堂练
42、习DB3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原数表示为10(5-x)+x,对调后新数表示为10 x+(5-x),根据题意列方程得10(5-x)+x 10 x+(5-x)=736.化简整理得x2-5x+6=0，解得 x1=3，x2=2.所以这个两位数是32或23.4.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有
43、多少人患甲型流感？解：设每天平均一个人传染了x人，解得 x1=-4 (舍去），x2=2.答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.1+x+x(1+x)=9，即（1+x）2=9.9(1+x)5=9(1+2)5=2187，(1+x)7=(1+2)7=2187.5.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?答：应邀请6支球队参赛.解：设应邀请x支球队参赛，由题意列方程得(1)15,2x x化简为x2-x=30，解得x1=-5(舍去），x2=6.课堂小结课堂小结列一元二次方程解应题与列一元一次方程解决实际问题基
44、本相同.不同的地方是要检验根的合理性.传 播 问 题数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量（1+传播速度）=传播前的量（1+传播速度）2数 字 问 题握 手 问 题送照片问题关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.步 骤类 型见本课时练习课后作业课后作业21.3 实际问题与一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 平均变化率问题与一元二次方程 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课
45、件课件学习目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）导入新课导入新课问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？讲授新课讲授新课平均变化率问题与一元二次方程一 填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.探究归纳7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量 2.前年生
46、产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2 例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？典例精析解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得5 000(1x)2=3000，解方程，
47、得x10.225，x21.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5.下降率不能超过1.注意练一练 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得6 000(1y)2=3 600.解方程，得y10.225，y21.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5.解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）2=120
48、0元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？答：不能.能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1x)n=b(其中增长取“+”,降低取
49、“”).例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 分析：设这个增长率为x，则二月份营业额为：_.三月份营业额为：_.根据：.作为等量关系列方程为：200(1+x)一月、二月、三月的营业额共950万元.200(1+x)2200+200(1+x)+200(1+x)2=950 例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+2
50、00(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），），x2=0.5.注意增长率不可为负，但可以超过1.当堂练习当堂练习1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .B2（1+x)+2(1+x)2=8 3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千
