1、高中数学抽象素养的考查趋高中数学抽象素养的考查趋势分析及教学建议势分析及教学建议目目 录录 1.数学抽象素养的概念理解及内涵数学抽象素养的概念理解及内涵 2.高中数学哪些内容隐含或渗透数学抽象素养高中数学哪些内容隐含或渗透数学抽象素养 3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析 4.基于基于“数学抽象数学抽象”的教学建议的教学建议内涵内涵 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。价值价值 数学抽象是数学
2、的基本思想数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用中。抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。目标目标 通过数学抽象核心素养的培养，学生能够更好的理解数学的概念、命题、方法和体系，形成一般性思考问题的习惯；能够在其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特征。1.数学抽象素养的概念理解及内涵数学抽象素养的概念理解及内涵概念概念：集合、映射、函数、复合函数、函数单调：集合、映射、函数、复合函数、函数单调性、函数奇偶性、周期性、指数函数及其性质、性、函数奇偶性、周期性、指数函数及其性质、对数函数及其性质、
3、三角函数及性质、平面向量对数函数及其性质、三角函数及性质、平面向量、曲线与方程、导函数等。、曲线与方程、导函数等。定理定理如：正弦定理、余弦定理、数学归纳法等如：正弦定理、余弦定理、数学归纳法等知识的应用知识的应用方面如：线性规划求解最值问题、函方面如：线性规划求解最值问题、函数零点、导函数应用等数零点、导函数应用等2.高中数学哪些内容隐含或渗透数学抽象素养高中数学哪些内容隐含或渗透数学抽象素养案例案例1:1:复合函数单调性复合函数单调性 案例分析与评价案例分析与评价 学生开始对教师讲的不明白，教师答疑后，学生学生开始对教师讲的不明白，教师答疑后，学生认为明白了认为明白了.但后来对类似问题，依
4、然没有思路，但后来对类似问题，依然没有思路，再次再次“明白明白”后，还是不能正确解决同类问题后，还是不能正确解决同类问题.学学生的归因是生的归因是“忘了忘了”.是真的忘了是真的忘了，还是对函数的单调性、复合函数等，还是对函数的单调性、复合函数等知识知识根本就没有理解根本就没有理解，因而不能够有效地把握问，因而不能够有效地把握问题和完整地、正确地解决问题？题和完整地、正确地解决问题？教师的反思教师的反思：答疑时，我自认为讲得很清楚，学：答疑时，我自认为讲得很清楚，学生受到了一定的启发生受到了一定的启发.但是反思后我发现，但是反思后我发现，自己的自己的讲解并没有很好地针对学生的知识水平讲解并没有很
5、好地针对学生的知识水平，从根本从根本上解决她存在的问题，只是一味地想要她按照某上解决她存在的问题，只是一味地想要她按照某个固定程序去解决这一类问题个固定程序去解决这一类问题.学生虽然说明白了学生虽然说明白了,却并不真正理解问题的本质性却并不真正理解问题的本质性的东西的东西,如复合函数的意义、复合函数中函数间的如复合函数的意义、复合函数中函数间的相互关系、换元的目的、函数单调性的定义等相互关系、换元的目的、函数单调性的定义等.由于我没有在她原有的知识水平、经验的基础上由于我没有在她原有的知识水平、经验的基础上帮助建构，引导她注意新知识中的某些关键点，帮助建构，引导她注意新知识中的某些关键点，因此
6、她的因此她的思维过程无法连续地进行，新旧知识的思维过程无法连续地进行，新旧知识的联系不牢固联系不牢固，表面上看是记忆的问题：，表面上看是记忆的问题：“忘了忘了”,其实她还是没有真正理解我所讲解的内容其实她还是没有真正理解我所讲解的内容.这恐怕是学校教育中普遍存在的一种现象这恐怕是学校教育中普遍存在的一种现象.3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 1.（2017 理理 5）函数函数 fx在在,单调递减，且为奇函数若单调递减，且为奇函数若 11f，则满足则满足211xf的的x的取值范围是的取值范围是（）.A 2,2 B 1,1 C 0,4 D 1,3【解析】由已知，使【
7、解析】由已知，使1()1f x 成立的成立的x满足满足11x，所以由，所以由121x 得得13x，即使，即使1(2)1f x 成立的成立的x满足满足13x，选，选 D.【分析】如何把多个【分析】如何把多个条件读懂并加以应用，就体很好地现了数学抽象水平高低条件读懂并加以应用，就体很好地现了数学抽象水平高低.3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 2、【2015 高考新课标 1，理 14】一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则222(4)2aa，解得32a，故圆的方程为22325
8、()24xy.【评析】由于圆、椭圆都是对称图形，相对应的由图形就可以抽象出222(4)2aa 的式子，问题迎刃而解。3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析 11221201612()(R)()2(),1()(,),(,),(,),()().0.2.4()2()1()0,1(,)例3.（理）已知函数满足若函数与图像的交点为则【评析】对于条件的正确理解是本题的突破口，同时发现与图像都关于对称，进而抽象出有一组交点就对mmmiiiiif xxfxf xxyyf xxyxyxyxxyAB mCmD mfxf xxyyf xxxy (-,2-)应着就有，因此问题解决。iixy3.“
9、数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 4 4.【20172017 课标课标 3 3，理，理 1212】在矩形在矩形 ABCD 中，中，AB=1，AD=2，动点，动点 P 在以点在以点 C为圆心且与为圆心且与 BD 相切的圆上相切的圆上.若若AP=AB+AD，则，则+的最大值为的最大值为 A3 B22 C5 D2 3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系 设设0,1,0,0,2,0,2,1,ABCDP x y,设设12xzy，即，即102xyz，点，点,P x y
10、在圆在圆22425xy上，上，所以圆心到直线的距离所以圆心到直线的距离dr，即，即221514z，解得，解得13z，所以所以z的最大值是的最大值是 3，即，即的最大值是的最大值是 3，故选，故选 A.【评析】：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则平行四边形法则或三角形法则三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.（3）最值问题如何巧妙转化3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例5 5.【20152015福建理福建理1
11、010】若定义在】若定义在R上的函数上的函数 f x满足满足 01f，其导函数，其导函数 fx满足满足 1fxk，则下列结论中一定错误的是（，则下列结论中一定错误的是（）A A11fkk B B111fkk C C1111fkk D D111kfkk 3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析【解析】由已知条件，构造函数()()g xf xkx，则()()0g xfxk，故函数()g x在R上 单 调 递 增，且101k，故1()(0)1ggk，所 以1()111kfkk，11()11fkk，所以结论中一定错误的是 C，选项 D 无法判断；构造函数()()h xf xx，则(
12、)()10h xfx，所以函数()h x在R上单调递增，且10k，所以1()(0)hhk，即11()1fkk，11()1fkk，选项 A,B 无法判断，故选 C 3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 6 6【20162016 高考新课标高考新课标 1 1 卷】已知函数卷】已知函数 221xfxxea x有两个零点有两个零点.(I)(I)求求a a的取值范围；的取值范围；(II)(II)设设x x1 1,x x2 2是是 f x的两个零点的两个零点,证明：证明：122xx.3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 6 6【试题分析试题分析】：(
13、I)(I)求导求导,根据导函数的符号来确定根据导函数的符号来确定,主要要主要要根据导函数零点根据导函数零点来分类来分类；(II)(II)借借助助第一问的结论来证明第一问的结论来证明,由由单调性可知单调性可知122xx等价于等价于12()(2)f xfx,即即2(2)0fx设设2()(2)xxg xxexe,则则2()(1)()xxg xxee 则 当 则 当1x 时时,()0g x,而而(1)0g,故 当故 当1x 时时,()0g x 从而从而22()(2)0g xfx,故故122xx 3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 6 6【试题试题解析解析】：（）()(1)
14、2(1)(1)(2)xxfxxea xxea（i）设0a,则()(2)xf xxe,()f x只有一个零点（ii）设0a,则当(,1)x 时,()0fx；当(1,)x时,()0fx 所以()f x在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增 又(1)fe,(2)fa,取b满足0b 且ln2ab,则 223()(2)(1)()022af bba ba bb,3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 6 6 3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析例例 6 6 （）不妨设12xx,由（）知12(,1),(1,)xx,22(,1)x,()f x在(,1)上单
15、调递减,所以122xx等价于12()(2)f xfx,即2(2)0fx 由于222222(2)(1)xfxx ea x,而22222()(2)(1)0 xf xxea x,所以 222222(2)(2)xxfxx exe 设2()(2)xxg xxexe,则2()(1)()xxg xxee 所以当1x 时,()0g x,而(1)0g,故当1x 时,()0g x 从而22()(2)0g xfx,故122xx 故()f x存在两个零点 例6【评析】：对于含有参数含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简互斥、无漏、最简；解决函数不等式的
16、证明问题的思路是构造适当的函数构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.这里的构造对突出了对数学抽象数学抽象的考查。3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析 3.“数学抽象数学抽象”立意的高考试题分析立意的高考试题分析直观想象数学抽象数学运算逻辑推理数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学抽象4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 如何将数学核心素养的培养落实在中学数学课堂教学中？本文认为，就数学抽象而言就是：让学生学会“用数学的眼睛看用数学的眼睛看”。数学核心素养是否是学生数学学习的必然产物？答案是否定的！死记硬背作为当下中小学数学学习依然存在的一种方
17、式，其结果能否促使学生形成数学核心素养？不言而喻，采取死记硬背方式，学生对数学内容的理解和把握大多是不正确的，死记硬背、机械训练所形成的数学技能往往是片面、畸形的，相应的数学能力其实很难形成尽管我国基础教育课程改革历时十五年有余，被动接受仍是学生最常见的学习状态。国际上极负盛名的荷兰数学家、数学教育家弗兰登塔尔（H.Freudenthal，19051990）的经典观点“与其说学数学，倒不如说学习数学化与其说学数学，倒不如说学习数学化”，这个观点道出了数学学习的本质。“数学化其实就是从（数学外部的）现实世界到数学内部，从数学内部发展，再到现实世界中（以及应用于其他学科之中）的全过程，数学化数学化
18、的本质在于三个阶段，即现实问题数学化问题数学化、数学内部规律化内部规律化、数学内容现实化内容现实化”。这恰恰就是我们这边谈到的数学抽象素养。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 数学化数学化是学生自己的数学活动，毕竟，无论经验的积淀、基本思想的初步形成，还是数学抽象能力、推理能力、建模能力的培养，都离不开学生的主动参与、独立思考和亲身实践，离不开学生的自我建构。因此，（学生发展所必需的）数学核心素养是学生亲身经历数学化活动之后所积淀和升华的产物，这种产物对学生在数学上的全面、和谐、可持续发展起决定作用。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 4.1常用数学常用数学
19、“微探究微探究”，让数学本质理解更透彻，让数学本质理解更透彻 4.2多用多用“变式教学变式教学”，让数学思维更加生动让数学思维更加生动 4.3活用数学语言活用数学语言“译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 4.1常用数学常用数学“微探究微探究”，让数学本质理解更透彻，让数学本质理解更透彻 所谓微探究即所谓微探究即探究程度轻，范围小、时间短探究程度轻，范围小、时间短。在探。在探究过程中，教师提供较多帮助，学生相对自主，探究的究过程中，教师提供较多帮助，学生相对自主，探究的开放度小；不追求探究过程的完整性，即对某一开放度小；不追求探
20、究过程的完整性，即对某一局部内局部内容容从某个角度、在某个环节有所从某个角度、在某个环节有所侧重侧重地进行探究，探究地进行探究，探究的时间一般为几分钟到十几分钟，探究活动可灵活地实的时间一般为几分钟到十几分钟，探究活动可灵活地实施于课堂教学中施于课堂教学中.4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 4.1常用数学常用数学“微探究微探究”，让数学本质理解更透彻，让数学本质理解更透彻 学生获取数学核心素养依赖于经验的积累，因此在教学设计中，要抓住数学内容的本质、知道学生的认知规律，创设合适的情境、提出合适的问题，启发学生独立思考、鼓励学生与他人交流，在掌握知识技能的同时理解数学的本质、
21、形成和发展数学核心素养。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 案例案例1 1：导数概念的教学导数概念的教学 解决问题：解决问题：导数求解的是瞬时变化率问题；定积导数求解的是瞬时变化率问题；定积分求解的是总量问题。分求解的是总量问题。解决思路：解决思路：导数是导数是“化静为动，动静转换化静为动，动静转换”的的辩辩证转化与否定之否定思想证转化与否定之否定思想的成功运用；定积分是的成功运用；定积分是“化整为零、积零为整化整为零、积零为整”的辩证思想的成功应用的辩证思想的成功应用。导数概念的引入导数概念的引入百米跑百米跑 老师：老师：小王的小王的100100米成绩是米成绩是1212秒，
22、很快的速度。这秒，很快的速度。这里讲的是他跑这里讲的是他跑这100100米的平均速度，在他撞线时肯米的平均速度，在他撞线时肯定有速度，我们能否知道他撞线时的速度？定有速度，我们能否知道他撞线时的速度？学生议论：学生议论：不知道加速度呀，也不一定是匀加速不知道加速度呀，也不一定是匀加速呀呀 老师说明：老师说明：百米赛跑刚起跑加速度大，中间几乎百米赛跑刚起跑加速度大，中间几乎是匀速，冲刺时又可能加速，整个过程不可能是是匀速，冲刺时又可能加速，整个过程不可能是匀加速运动。匀加速运动。学生的讨论陷入了僵局。这时老师就处于学生的讨论陷入了僵局。这时老师就处于不能自不能自己讲又不能一味等己讲又不能一味等的
23、两难境地。合理的问题引导的两难境地。合理的问题引导才是让学生思维突破的上策。才是让学生思维突破的上策。老师引导：老师引导：速度是路程与时间的比值，我们能不速度是路程与时间的比值，我们能不能找一种近似的方法来描述撞线的速度呢？能找一种近似的方法来描述撞线的速度呢？受到启发后，随即有同学举手回答受到启发后，随即有同学举手回答：用最后：用最后1 1秒里秒里跑的路程除以时间，或者是找出最后一段时间里跑的路程除以时间，或者是找出最后一段时间里的路程除以时间。的路程除以时间。(很多同学认可！很多同学认可！)老师继续引导：老师继续引导：假设第假设第1212秒里小王跑了秒里小王跑了1010米，那米，那么第么第
24、1212秒里的平均速度就是秒里的平均速度就是1010米米/秒，我们可以用秒，我们可以用1010米米/秒来近似地描述他撞线的速度。如果他在最秒来近似地描述他撞线的速度。如果他在最后的后的0.50.5秒里跑了秒里跑了5.55.5米，那么他在最后半秒里的米，那么他在最后半秒里的速度是速度是1111米米/秒，我们也可以用这个速度近似描述秒，我们也可以用这个速度近似描述他撞线的速度。他撞线的速度。请同学思考：请同学思考：这种用一段较短时间里的平均速度这种用一段较短时间里的平均速度近似描述撞线速度的办法，怎样描述才会更精确近似描述撞线速度的办法，怎样描述才会更精确一些呢？一些呢？学生抢着回答：学生抢着回答
25、：时间取得越短越精确。时间取得越短越精确。另一学生又站起来说：另一学生又站起来说：时间越来越小渐渐趋向于时间越来越小渐渐趋向于0 0时，平均速度就越来越接近于瞬时速度。时，平均速度就越来越接近于瞬时速度。同学们喜形于色，议论纷纷。同学们喜形于色，议论纷纷。老师继续引导：老师继续引导：那平均速度与瞬时速度是不是一那平均速度与瞬时速度是不是一回事呀？回事呀？同学齐答：同学齐答：不是。不是。案例案例2 2：余弦定理余弦定理2222coscababC 4.1常用数学常用数学“微探究微探究”，让数学本质理解更透，让数学本质理解更透彻彻 数学家丘成桐曾说过：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚
26、了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。”学生只有亲身经历数学化活动，才能真正形成数学核心素养。传统意义上的死记硬背、机械训练，对于积淀和形成数学核心素养并没有多少正面的促进作用，相反地，其负面影响更大。毋庸置疑，“大胆猜测、小心论证”“定性思考、定量把握”作为基础教育阶段典型的数学思维方式，其培养过程必须融入中小学校的日常教学之中。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.2多用多用“变式教学变式教学”，让数学思维更加生动让数学思维更加生动 数学是思维学科，数学教学要渗透数学思维。解决数学问题的过程实际上就是思维过程，解题过程就是把所学知识、方法和数学问
27、题联系起来进行分析探索的过程。习题讲评课要把培养学生思维能力作为一个主要任务，通过“变式”教学，使学生能够达到触类旁通，举一反三的效果，教师在课堂教学中要充分发挥“变式”教学的功能，增强学生转化的思想在“变式”中纠正错误从而发展学生潜能，拓展思维。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议x y O A B 例例 1（人教人教 A A 版选修版选修 2 2-1 1 第第 7373 页第页第 6 6 题：）题：）如图，直线如图，直线2 xy与抛物线与抛物线xy22相交于相交于 A A，B B 两点，求证：两点，求证：OAOAOBOB 证明：略证明：略 如若我们在讲评时能把问题稍微改变一
28、下，教师的教以及学生的如若我们在讲评时能把问题稍微改变一下，教师的教以及学生的 学就不会那么枯燥乏味了，如学就不会那么枯燥乏味了，如 4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.24.2多用多用“变式教学变式教学”，让数学思维更加生动让数学思维更加生动变式1：过定点 M（2p，0）的直线与抛物线22ypx相交于不同的两点 A、B，求证：OA、OB互相垂直（O 为坐标原点）.再如 变式2：过抛物线22ypx的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：AB交抛物线的对称轴上一定点.以上两个变式都在围绕OA、OB互相垂直展开，探索规律发现若OA、OB互相垂直则直线AB则过定点 M（2p
29、，0），若直线AB则过定点 M（2p，0）且与则抛物线22ypx相交则OA、OB互相垂直。因而，教材的习题例题它们的内涵都是极为丰富的，在平时的教学中，教师若能深入教材的典型示范作用，那么我们就是用教材教，而不是教教材.4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.24.2多用多用“变式教学变式教学”，让数学思维更加生动让数学思维更加生动再比如，本题的背景是在抛物线中有这样的结论，我们知道，圆锥曲线中许多性质是相互类似的，那么在讲评的时候我们可以提出问题：在椭圆、双曲线中是否也有同样的结论能？变式3：如图所示，椭圆2214xy的左顶点为 A，经过点6(,0)5B 的直线l与椭圆交于
30、M，N 两点，试判断.AM AN 是否为定值，并证明你的结论 变式4：双曲线 C1422 yx或抛物线22(0)ypx p是否也有类似（变式 2）的结论？4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.24.2多用多用“变式教学变式教学”，让数学思维更加生动让数学思维更加生动【分析】：以上两个变式在探索背景换成椭圆、双曲线的情况.通过以上问题变式的思考与练习，让学生在思考、比较、归纳的过程中，自主发现圆锥曲线与直线位置关系问题，得出背景换成任意圆锥曲线都有相似的结论，处理问题的方法也基本一致，从而形成解题模式，减少解题的盲目性，大大提高解题效率。通过变式探究，让学生体会变化中产生的规律
31、，体会数学思想，从而拓展思维。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.24.2多用多用“变式教学变式教学”，让数学思维更加生动让数学思维更加生动 数学是思维学科，数学教学要渗透数学思维。解决数学问题的过程实际上就是思维过程，解题过程就是把所学知识、方法和数学问题联系起来进行分析探索的过程。习题讲评课要把培养学生思维能力作为一个主要任务，通过“变式”教学，使学生能够达到触类旁通，举一反三的效果，从而发展学生潜能，拓展思维。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.24.2多用多用“变式教学变式教学”，让数学思维更加生动让数学思维更加生动 4.3活用数学语言活用数学语
32、言“译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体 数学语言是表达数学思维的科学语言，是反映数量关数学语言是表达数学思维的科学语言，是反映数量关系和空间形式的语言它是数学知识与文化的载体，是进系和空间形式的语言它是数学知识与文化的载体，是进行数学思维和交流的工具，是数学思想的表现形式行数学思维和交流的工具，是数学思想的表现形式.斯托利亚尔在斯托利亚尔在数学教育学数学教育学一书中指出一书中指出“数学教学数学教学也就是数学语言的教学也就是数学语言的教学”.4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 4.3活用数学语言活用数学语言“译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体 数
33、学解题就是从具体的问题中抽象出数量关系与变化规律，同时能用数学符号表示出来，能理解符号所代表的数量关系以及意义，能进行数学语言之间的相互转译，能选择适当的数学公式、定理、法则并能选择适当的方法来解决数学问题.“译”，即理解与转化，是指正确理解已知条件并加以恰当的转化，让抽象问题更加具体，让复杂问题更加简单，让不可能变成可能，从而达到数学抽象素养的发展。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 4.3活用数学语言活用数学语言“译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体 4.3.1“译译”数学语言数学语言 文字语言向图形、符号语言文字语言向图形、符号语言“转译转译”，让数学性质
34、更，让数学性质更加显著符号语言向图形语言加显著符号语言向图形语言“转译转译”，让数学概念更，让数学概念更加具体生动加具体生动 图形语言向符号语言图形语言向符号语言“转译转译”，让数学表达更加简洁，让数学表达更加简洁 4.2“译译”数学知识数学知识 “译译”知识之间的联系知识之间的联系“译译”知识之间的差异知识之间的差异4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议例 1已知1F，2F分别是椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段1PF的中垂线恰好经过焦点2F，则椭圆 C 离心率的取值范围是（）A2,1)3 B12,32 C1,1)3 D1(0,3【
35、转译分析】1.文字语言信息有椭圆焦点、中垂线 2.几何问题图形化，把条件通过图形直观呈现 在转译条件的过程中把条件在图形中体现出来，对于中垂线性质就很 显露出来，2122PFFFc,又有点P在椭圆知2acPFac，问题就得以解决，故选 C xyo1F2FP4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 2.已知函数()sin(2)f xx，其中为实数，若()()6f xf对一切xR恒成立，且()()2ff，则下列结论正确的有 A 0,6是()f x的单调增区间 B7()()105ff C()f x
36、是奇函数 D11()112f 【转译分析】1.对于()()6f xf对一切xR恒成立该怎么理解?事实上它就是最大值概念的深刻理解，条件表述了当6x时函数()sin(2)f xx取到最大值.2.对于()()2ff用图形怎样表述?又揭示了什么数学概念的本质?事实上结合前面的最值加上函数周期已知，可知在46x处取最小值，函数图像更加具体地把问题表示出来，那么就答案呼之欲出为A 4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 3（2017 福建省单科质检（文数）9）如图圆O与x轴的正半轴交点为A，点B、C
37、在圆O上，且43,55B，点C在第一象限，,1AOCBC,则5cos6 A45，3.5B，C35，45D，【转译分析】1结合图形以及点43,55B坐标特征，我们可以很清楚的知道点B、C在单位圆上 2由出来图形特征易知3BOCCOB为正三角形，故,因此有.3AOB 3.再由5coscos()sin()6233 而sin()3就是点B对应的纵坐标相反数，那么答案很快出来B 本题的由图抽象出对应角的三角函数值是学生解题过程中的难点，教师要经常在课堂中引导学生看图、识图抽象出相应的信息，找出信息的符号表述，那么抽象就不再抽象了 4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语
38、言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 432ABCABACBC中，,则ABC面积的最大值为 【转译分析】1.面积公式可以选用怎样的公式?2.给出边长关系，如何恰当引入参变量建立目标函数?转译 1：利用边长关系引进角参，通过正余弦定理建立三角函数模型从而求最值，但事实上计算复杂学生往往不能得出正确答案。转译 2：注意到边3AB 是定值，那么求面积最值实际上只需要确定边AB对应的高的最值即可，又观察到2ACBC，可以知道点 C 的轨迹是一个圆（阿波罗尼圆），那么问题就转译为直线与圆距离的最值问题。本题表明上是三角形面积知识的应用问题，但事实上却通过恰当转译，首先建
39、立坐标系把利用坐标法来解决平面几何问题，通过点C确立轨迹把三角问题转为平面解析几何中直线与圆位置关系问题中点线距离问题。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 5（三明市高二期末）已知P是椭圆:C 22143xy上任意一点，Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任意一点，已知焦点12,F F，从焦点1F引的角12FQF平分线的垂线，垂足为M，则,P M两点间的最大距离为 【转译分析】1.信息量大，涉及到椭圆、双曲线，角平分线、垂线等，这些条件有何关联？它们又如何有效转译？2.距离最值是
40、构建目标函数还是利用几何性质解决？由角平分线与垂线知识联系起来不难发现若两条件在同一个三角形中便有三线合一的应用，那么这道题把1FM，2QF延长并交于一点K,于是就能很快得出122QFQKQFF K,又Q双曲线上的点则有12222QFQFQKQFKFa,注意到2F是定点，K是动点，因此K的轨迹是圆，从而得知M的轨迹也是圆，问题就转为椭圆上的点到圆距离的最值，用几何特征转为点到圆心距离最值就解决了，故本题应填52 4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 6已知关于方程2cossin30()a
41、aR有实数解，求参数a的取值范围.转译一：令sin,1,1x x 问题就转译为“方程2130 xxa在1,1x 中至少有一个实数根，求参数a的取值范围”.解法一：利用求根公式可得1-47-112a或147-112a，从而得744a.转译二：在转译一的基础上进一步把“方程2130,1,1xxax在 中至少有一个实数根”转译为“求函数22axx，1,1x 的值域”解法二：22172()24axxx，1,1x 可得7,44a 4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 6已知关于方程2cossin3
42、0()aaR有实数解，求参数a的取值范围.转译三：在之前的基础上转译为“求实数a的范围，使得直线,ya与抛物线22,1,1yxxx 有公共点.解法三：结合图形可得7,44a 转译四：设sin3cosxay（为参数），问题又转译为圆22(3)+1xay 与抛物线2yx 有公共点时a的范围 解法四：结合图形计算可得7,44a 分析：转译一、转译二只是把用符号语言表示的方程形式进行转译，变成熟悉的二次方程（函数）的形式，转译三、转译四则要求更高，不仅把符号语言表示的方程转译了，更把方程有解问题转译成几何语言的公共点问题，解题者在不同转译的过程中寻求出不同的解题方法.xyo4.4.基于基于“数学抽象数
43、学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 7（2017 福建省单科质检（文数）21）已知函数()()e,xf xaxaR(I)讨论()f x的单调区间；(II)当0mn时，证明：nmmennem 4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体例 7【转译分析】1关于函数单调区间转译为求解不等式问题即可。2对于不等式nmmennem的特征可以发现结构很工整对称，联系不等式与函数知识，我们可以对不等式进行适当变形，(1)(1)n
44、mm en e两边同除以mn即可将问题转为11mneemn，继续联系函数有关知识，不难看出式子左右差异仅在mn与的变化，那么我们抽象出函数1(),(0)xef xxx，事实上就把问题转为证明函数的单调性了，在知识的不断联系和差异的不断减少过程中，问题轻松解决。3对于不等式nmmennem，变形后是0mnnememn，发现有两个参数mn与，我们试着设立参数，构造函数(),()xnf xnexexn xn那么其中一个参数变为自变量，问题又与函数单调性联系了。在本题的解决过程中构造函数就是一个数学抽象的过程，若能不断联系知识消除差异，抽象复杂问题也能变得具体简单。4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”
45、教学建议教学建议4.34.3活用数学语言活用数学语言 “译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 4.3活用数学语言活用数学语言“译术译术”，让抽象变得更加具体，让抽象变得更加具体 “译译”题的方式多种多样，本质上就是通过理题的方式多种多样，本质上就是通过理解题意，收集有效信息加工转化为熟悉的问题，解题意，收集有效信息加工转化为熟悉的问题，寻找解题的突破口。寻找解题的突破口。“译译”题是走向问题解决的题是走向问题解决的第一步，更是走向成功的关键一步。第一步，更是走向成功的关键一步。数学核心素养是社会发展需要的人的关键能力数学核心素养
46、是社会发展需要的人的关键能力与思维品质。当然与思维品质。当然“译译”题只是解题的一种手段题只是解题的一种手段而非唯一途径而非唯一途径，“译译”题训练可以帮助学生认识题训练可以帮助学生认识数学知识的本质与联系，优化认知结构，提高数数学知识的本质与联系，优化认知结构，提高数学思维品质学思维品质，从而让数学抽象素养在数学问题解，从而让数学抽象素养在数学问题解决中不断决中不断“译译”出来，让一切都显得更加具体和出来，让一切都显得更加具体和自然自然4.4.基于基于“数学抽象数学抽象”教学建议教学建议 让学生学会让学生学会“用数学的眼睛看用数学的眼睛看”、让学生学会让学生学会“用数学的思维想用数学的思维想”、让学生学会让学生学会“用数学的语言说用数学的语言说”是我们要长期坚持不懈努力的方向是我们要长期坚持不懈努力的方向。
