1、高中数学立体几何向量法归纳空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直1、空间直角坐标系、空间直角坐标系以单位正方体以单位正方体 的顶点的顶点O为原点，分别以射线为原点，分别以射线OA，OC，的方向的方向 为正方为正方向，以线段向，以线段OA，OC，的的长为单位长，建立三条数轴：长为单位长，建立三条数轴：x轴轴,y轴轴,z轴轴,这时我们建立了一这时我们建立了一个空间直角坐标系个空间直角坐标系CBADOABC xyzO DO DO CDBACOAByzxO为坐标原点，为坐标原点，x轴轴,y轴轴,z轴叫坐标轴，通
2、过每两个坐轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面标轴的平面叫坐标平面一、基本概念xo右手直角坐标系右手直角坐标系yz空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴1112、空间直角坐标系中点的坐标、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（有序实数组（x,y,z）叫做点）叫做点M在此空间在此空间直角坐标系中的坐标，记作直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中其中x叫做点叫做点M的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标,z叫做点叫做点M的竖坐标的竖坐标点点M（X，Y，Z）如果表示向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂的有向线段所在的直线垂直于平面直于平面,称这个向
3、量垂直于平面称这个向量垂直于平面,记作记作n,这时向量这时向量n叫做平面叫做平面的法向量的法向量.4、平面的法向量、平面的法向量n/若,则称 是直线 的方向向量alal3、直线的方向向量、直线的方向向量1、假设平面法向量的坐标为、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据、根据na=0且且nb=0可列出方程组可列出方程组11122200 x xy yz zx xy yz z3、取某一个变量为常数、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好当然取得越简单越好),便得到平面法向量便得到平面法向量n的坐标的坐标.anb5、平面法向量的求法、平面法向量的求法设设a=(x1,y1,z1)、b=(x2
4、,y2,z2)是平面是平面内的两个不共线内的两个不共线的非零向量的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知由直线与平面垂直的判定定理知,若若na且且nb,则则n.换句话说换句话说,若若na=0且且nb=0,则则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标可按如下步骤求出平面的法向量的坐标例、已知例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平求平面面ABCABC的法向量的法向量(4,6,1),(4,3,2)ABAC 4604320 xyzxyz解：解：平面平面ABCABC的法向量为的法向量为:(3,4,12)n 得43zx
5、zy得12z 令(3,4,12)ABCn平面的法向量(,)nx y z 例、在棱长为例、在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面AC的中心的中心,求面求面OA1D1的法向量的法向量.解：以解：以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），（如图），则则O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2），），设平面设平面OA1D1的法向量的法向量为的法向量的法向量为n=(x,y,z),由由 =（-1，-1，2），），=（-1，1，2）得）得 1OA1OD 2020 xyzxyz 20 xzy解得解得取取z=1得平面得平面OA1D
6、1的法向的法向量的坐标量的坐标n=(2,0,1)A A BOzyA1C1B1AxCDD15、两法向量所成的角与二面角的关系、两法向量所成的角与二面角的关系l1n2nl1n2n设设n1、n2分别是二面角两个半平面分别是二面角两个半平面、的法向量，的法向量，由几何知识可知，二面角由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角求两个平面法向量的夹角.二、基本公式：1 1、两点间的距离公式（线段的长度）、两点间的距离公式（线段的长度）222212121ABABxxyyzz 2
7、2、向量的长度公式（向量的模）、向量的长度公式（向量的模）2222aaxyz121212a bx xy yz z 3 3、向量的坐标运算公式、向量的坐标运算公式111222(,)(,)ax y zbxyz若那么121212(,)abxxyyzz111(,)axyz121212|,()a bxxyyzzR111222|xyzabxyz4 4、两个向量平行的条件、两个向量平行的条件5 5、两个向量垂直的条件、两个向量垂直的条件1212120abx xy yz z或123123123333xxxxyyyyzzzz7 7、重心坐标公式、重心坐标公式6 6、中点坐标公式、中点坐标公式121212222x
8、xxyyyzzz9 9、直线与平面、直线与平面所成角公式所成角公式|sin|PM nPMn (PMlMn为为 的法向量的法向量)8 8、直线与直线所成角公式、直线与直线所成角公式|cos|AB CDABCD 1010、平面与平面所成角公式、平面与平面所成角公式 1212cos|n nnn (为二面角两个半平面的法向量）为二面角两个半平面的法向量）1n2n 1111、点到平面、点到平面的距离公式的距离公式|PMndn （PM为平面为平面 的斜线的斜线,为平面为平面 的法向量）的法向量）n1212、异面直线的、异面直线的距离公式距离公式|AB ndn （A,B为异面直线上两点为异面直线上两点,为公
9、垂线的方向向量）为公垂线的方向向量）n利用向量求利用向量求角角直线与直线所成的角直线与直线所成的角直线与平面所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离利用向量求距离点到直线的距离点到直线的距离点到平面的距离点到平面的距离直线到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离直线到直线的距离三、基本应用利用向量证平行利用向量证平行利用向量证垂直利用向量证垂直直线与直线垂直直线与直线垂直直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与直线平行直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平
10、面平行四、基本方法1 1、平行问题、平行问题、垂直问题、垂直问题、角度问题、角度问题、距离问题、距离问题（）点到点的距离、点到平面的距离、直线（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。到直线的距离直接用公式求解。（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。解。例：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCA BC平面的法向量平移到位置，已知1111111，取、的中点、，BCCACCABACDF11BDAF求与所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1
11、D1F题型一：线线角题型一：线线角五、典型例题A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：题型一：线线角题型一：线线角A1AB1B1C1D1F(1,0,0),(0,1,0),AB解：以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，不妨设 则 11CC CxyzC1111 1(,0,1),(,1)22 2FD)1,21,21(,)1,0,21(11DBFA1111|3010|AFBDAFBD11cos,AF BD|所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF3010,例.在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：ABCA B CAAABCA CABBCAB.2,(3,0,0),(0,1,
12、0),(0,1,0).(3,0,),(0,1,),(0,1,).解.建立如图空间坐标系不妨设底面边长为 高为hABCAh Bh ChABCBCA),2,0(),1,3(),1,3(hBChCAhAB22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB 题型二：线线垂直题型二：线线垂直题型三：线面角题型三：线面角ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6,2,6(M可得由,51NA)3,4,0(N(6,2,6),(0,4,3).AMAN 由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方
13、体在长方体 中，中，例：例：1111ABCDABC D112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,A NADANM求与平面所成的角.,61AA,8,6ADAB题型三：线面角题型三：线面角ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34,1,1(n得222|0 1 80|3 34,344811()3 (0,8,0),AD 又ADANM与平面所成角的正弦值是34343例：例：在长方体在长方体 中，中，1111ABCDA BC D58,ABAD=，1112,MBCB M 为上的一点,且1NA D点 在线段上，15,求与平面所成的角.A NADANM,61AA|s
14、incos,|AD nAD nAD nABDCA1B1D1C1例例.在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEF题型四：线面平行题型四：线面平行)1,0,0(),2,2,0(),2,0,2(.2,11ECAADxyzD则设证明：如图建立坐标系xyz1111(2,2,0),(2,0,1),(1,1,1).ACAEDB 则的法向量设平面),(11zyxnCEA00111nEAnCA02022zxyx即即)2,1,1(n解得,021111nBDnBD./111ECADB平面:,.例 在正方体中.E,F
15、分别是的中点.求证：平面ABCDA B C DCC BDA FBDEFEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)(1,1,2)(2,2,0)0(1,1,2)(0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面题型五：线面垂直题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量 再证明A F n n题型六：面面角题型六：面面角ABCDS090,11,2例、已知
16、，是一直角梯形，平面求面与面所成的二面角的余弦值。ABCDABCSAABCDSAABBCADSCDSBA解：建立直角坐系A-xyz如所示,),0,21,0(DA(0,0,0),C(-1,1,0),(0,0,1)S)1,21,0(),0,21,1(DSDC),0,21,0(1DAnSBA的法向量易知，面2(,),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：设平面0202zyyx)1,2,1(2n解得：,36|,cos212121nnnnnn63即所求二面角的余弦值是。xyz11111111111111:,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(
17、1,0,1)|.|.|.|111111证 明 如 图 分 别 以、三 边 所 在 的 直 线 为轴 建 立 空 间直 角 坐 标 系.设 正 方 体 的 棱 长 为 1,则则AA即 直 线 AC，则 A平 面同 理 可 证：A平 面平 面 AD AD CD Dx y zABCDDB CDB CDBDCB DBCB DBD 11.平 面 CB DXYZ1CABCD1D1B1A例：在正方体例：在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求证：面中，求证：面A A1 1BDBD面面CBCB1 1D D1 1题型七：面面平行题型七：面面平行或先求两平面的法向量 再证明
18、12,nn12,nn例、在正方体例、在正方体ACAC1 1中，中，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CDCD的中点，的中点，求证：面求证：面AEDAED面面A A1 1FDFD1 1ABCDA1B1C1D1EFXYZ题型八：面面垂直题型八：面面垂直11:(0,0,0),(2,0,0),(2,2,1),(0,0,2),(0,1,0)(0,2,1),(2,0,0)(0,1,2)0,0,111111证明 如图直角坐标系.设正方体的棱长为2,则则AED FAE D FD FAED FD FD F平面平面平面 DAEDFDADADAAEDA FDAED或证明两平面的法向量垂直或证明两平面的法向量
19、垂直ABC1A1C1BNMzxy练习练习111111111111902(1)(2)cos,(3)如图，直三棱柱中，棱，、分别是、的中点，求：的长；的值；证明：。OABCA B CCACBBCAAAMNA BAABNBA CBA BC MxzyABCD1A1D1C1BEF练习练习11111124已知长方体中，、分别是，的中点，求异面直线、所成角的大小。ACABBCAAEFADABBECFBAC1AD1C1B1DEFzxy练习练习11111111111111:1:2(1)(2)(3)如图，已知正方体中，是中点，点在上，且，求：平面的法向量；直线与平面所成角；平面与平面所成 角的大小。ABCDA B
20、 C DEBCFAAA FFAB EFBBB EFB EFA B C DABDC1A1D1C1Bxzy练习练习1111111111112(1)(2)(3)O1为直四棱柱，底面ABCD是直角梯形，DAB=ADC=90，求异面直线和所成角；求和底面B所成角；求二面角的大小。ABCDABC DADCDaAAABaACBCACBCCCABABMPDCANxzyO练习练习23312如图所示，已知正方形所在平面，点、分别在、上，（）求证：面面；（）若，求二面角的大小。PAABCDMNABPCAMABPCNCPADPCDPAABNDMC题型九：异面直线的距离题型九：异面直线的距离zxyABCC1).4,2,
21、0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系1(1,1,0),(2,2,4),CEAB 则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,z则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,ACAC在两直线上各取点1|2 3.|3n CACEABdn与的距离EA1B1111101.4,2,90,例 已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB000:,(0,0,2),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(4,2,0),(
22、2,4,0).(4,2,2),(2,4,2)(,),:020CD CB CGXYZGBADEFGEGFEFGnx y znGExynGF 解 以的方向为轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则设平面的法向量为则有000101203(1,1,3),2(0,4,1)(0,4,2)|2211.11.1111xzyxyzznGBnGBdBEFGn 又即点 到平面的距离为ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离题型十：点到平面的距离:4,2,例 如图已知是边长为 的正方形,分别是的中点,垂直于所在的平面,且求点 到平面的距离.ABCDE FAD ABGCABCDGCBEFG1ABA1BC1CDE1Dxzy练习
23、练习1111181已知正方体的棱长等于，为中点，求点D 到平面的距离。ABCDABC DEBBAECADBCEG1A1C1Bzxy练习练习111011190211在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，、分别是与的中点，点 在平面上的射影是 ABC的重心G，(1)求A B与平面ABD所成角的大小；(2)求点A 到平面的距离。ABCABCACBAADECCABEABDAEDADCBGFExzy练习练习4,如图已知为边长为 的正方形 点、分别是、的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面GEF的距离。ABCDEFABADxzyA1B1CDCB1A1DPOH练习练习11111111111111144123在棱长为 的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且（）求直线与平面所成角的大小；（）设点在平面上的射影是，求证：；（）求点到平面的距离。ABCDA B C DOA B C DPCCCCCPAPBCC BOD APHD HAPPABD
