1、共点力的平衡基础共点力的平衡基础同一点同一点 延长线延长线 静止静止 匀速直线运动匀速直线运动 合外力合外力 0【思维突破思维突破】共点力作用下物体平衡的一般解题思路：共点力作用下物体平衡的一般解题思路：实际问题实际问题选用整体法选用整体法或隔离法或隔离法确定研究对象确定研究对象 对研究对象受力分析对研究对象受力分析画受力图画受力图将某些力进行将某些力进行合成或分解合成或分解作出平行四边形作出平行四边形根据平衡根据平衡条件条件F合合0列平衡方程求解列平衡方程求解 考点一处理平衡问题常用的几种方法考点一处理平衡问题常用的几种方法例例 1 如图所示，不计滑轮摩擦，如图所示，不计滑轮摩擦，A、B 两
2、物体均处于静止状态现加一水两物体均处于静止状态现加一水 平力平力 F 作用在作用在 B 上使上使 B 缓慢右移，缓慢右移，试分析试分析 B 所受力所受力 F 的变化情况的变化情况 例例 2 如图如图 5 所示，重为所示，重为 G 的均匀链条的均匀链条 挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水 平方向成平方向成 角，试求：角，试求：(1)链条两端的张力大小；链条两端的张力大小；(2)链条最低处的张力大小链条最低处的张力大小 图图5例例 3 如图所示，质量分别为如图所示，质量分别为 mA和和 mB的物体的物体 A、B 用用细绳连接后跨过滑轮，细绳连接后跨过滑轮，A静止在倾角
3、为静止在倾角为45的斜面上，的斜面上，B 悬挂着已知悬挂着已知 mA2mB，不计滑轮摩擦，现将斜，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角面倾角 45增大到增大到 50，系统仍保持静止下列说法，系统仍保持静止下列说法正确的是正确的是 ()A绳子对绳子对 A 的拉力将增大的拉力将增大 B物体物体 A 对斜面的压力将增大对斜面的压力将增大 C物体物体 A 受到的静摩擦力增大受到的静摩擦力增大 D物体物体 A 受到的静摩擦力减小受到的静摩擦力减小 C例例 4 如图所示，在倾角为如图所示，在倾角为 的斜面的斜面 上，放一质量为上，放一质量为 m 的小球，小球被竖的小球，小球被竖 直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡直的
4、木板挡住，不计摩擦，则球对挡 板的压力是板的压力是 ()Amgcos Bmgtan Cmgcos Dmg B 二，平衡中的临界与极值问题二，平衡中的临界与极值问题如图所示，物体的质量为如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳，两根轻绳AB和和AC的一端连接于竖直墙上，的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成=600的拉力的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。的大小范围。ABCFmgF2F1xy解析：作出解析：作出A A受力图如图所受力图如图所示，由平衡条件有：示，由平衡条件有：
5、Fcos=F2+F1cos Fsin+F1sin=mg 要使两绳都能绷直，则有：要使两绳都能绷直，则有：0,021FF由以上各式可解得由以上各式可解得F F的取值范围为：的取值范围为：NFN33403320三，整体法和隔离法例：用轻质线把两个质量未知的小球悬挂起来例：用轻质线把两个质量未知的小球悬挂起来,如右图所如右图所示今对小球示今对小球a持续施加一个向左偏下持续施加一个向左偏下30的恒力的恒力,并对小球并对小球b持续施加一个向右偏上持续施加一个向右偏上30的同样大的恒力的同样大的恒力,最后达到平最后达到平衡。表示平衡状态的图可能是：（衡。表示平衡状态的图可能是：（）aaaabbbbab左左
6、右右A B C DA A 整体法的优点是研究对象少，未知量少，方程数少，整体法的优点是研究对象少，未知量少，方程数少，求解简洁。所以对于涉及两个及两个以上的物体的平衡问求解简洁。所以对于涉及两个及两个以上的物体的平衡问题（或非平衡问题）时优先考虑题（或非平衡问题）时优先考虑“整体法整体法”。整体法整体法跟踪训练跟踪训练 如图如图 12 所示，在斜面上所示，在斜面上 放两个光滑球放两个光滑球 A 和和 B，两球的质量，两球的质量 均为均为 m，它们的半径分别是，它们的半径分别是 R 和和 r，球球 A 左侧有一垂直于斜面的挡板左侧有一垂直于斜面的挡板 P，两球沿斜面排列并处于静止，以下说法正确的
7、是两球沿斜面排列并处于静止，以下说法正确的是()A斜面倾角斜面倾角 一定，一定，Rr 时，时，R 越大，越大，r 越小，越小，B 对斜面对斜面的压力越小的压力越小 B斜面倾角斜面倾角 一定，一定，Rr 时，两球之间的弹力最小时，两球之间的弹力最小 C斜面倾角斜面倾角 一定时，无论两球半径如何，一定时，无论两球半径如何，A 对挡板的压对挡板的压力一定力一定 D半径一定时，随着斜面倾角半径一定时，随着斜面倾角 逐渐增大，逐渐增大，A 受到挡板的受到挡板的作用力先增大后减小作用力先增大后减小 图图12BC 四，动态平衡问题的求解方法 可以用力的三角形解答 主要分两个类型 例例如图所示，竖直杆如图所示
8、，竖直杆AB在绳在绳AC拉力作用下使整个装置处于拉力作用下使整个装置处于平衡状态，若平衡状态，若AC加长，使加长，使C点左移，点左移，AB仍竖直，且处于平衡状态仍竖直，且处于平衡状态，那么，那么AC绳的拉力绳的拉力T和杆和杆AB受的压力受的压力N与原先相比，下列说法正与原先相比，下列说法正确的是确的是A.T增大，增大，减小减小B.T减小，减小，增大增大C.T和和均增大均增大D.T和和均减小均减小BACFTFNF 类型类型三力中有一个力确定三力中有一个力确定,即大小方向不变即大小方向不变,另一个力方向确定另一个力方向确定,这个这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定力的大小及第三个力的大小
9、、方向变化情况待定.不变力不变力F F为一系列可能的闭合三角形为一系列可能的闭合三角形的公共边的公共边,先作不变力先作不变力F F的有向线段的有向线段；从不变力箭头起按方向确定力的方位作射线；从不变力箭头起按方向确定力的方位作射线；从确定力起点画第三个力的有向线段将图形封闭从确定力起点画第三个力的有向线段将图形封闭成三角形成三角形 FmgNF练习，如图所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁练习，如图所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉，则拉力匀速向上拉，则拉力F和墙壁对球的支持力和墙壁对球的支持力N的变化情的变化情况是况是 A.A.F增大，增大，N增大增大B.B.F增大，增大，N不
10、变不变 C.C.F减小，减小，N增大增大D.D.F减小，减小，N不变不变本题答案本题答案:A练习，练习，如图如图所示，两根等长的绳子所示，两根等长的绳子 AB 和和 BC 吊一重物静止，吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为两根绳子与水平方向夹角均为 60.现保持绳子现保持绳子 AB 与水平方与水平方向的夹角不变，将绳子向的夹角不变，将绳子 BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子在这一过程中，绳子 BC 的拉力变化情况是的拉力变化情况是 ()A增大增大 B先减小，后增大先减小，后增大 C减小减小 D先增大，后减小先增大，后减小 B 例例如图所示，小球
11、质量如图所示，小球质量m，用一细线悬挂现用一大，用一细线悬挂现用一大小恒定的力小恒定的力F（Fmg）慢慢将小球拉起，在小球可能）慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线最大的偏角的平衡位置中，细线最大的偏角是多少？是多少？类型类型三力中有一个力确定三力中有一个力确定,即大小方向不变即大小方向不变,另一个力大小确定另一个力大小确定,这个这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定.先作确定力先作确定力mg的有向线段的有向线段,力力mg为一为一系列可能的闭合三角形的公共边系列可能的闭合三角形的公共边；以不变力箭头为圆心以不变力箭头为圆心,表示大小确定
12、表示大小确定力的线段长为半径作圆；力的线段长为半径作圆；从圆周上的点向表示确定力的有向从圆周上的点向表示确定力的有向线段的箭尾作第三力的有向线段线段的箭尾作第三力的有向线段.由图可知由图可知,在小球可能的平在小球可能的平衡位置中衡位置中,细线最大偏角为细线最大偏角为1sinFmg 1，力的矢量图解，力的矢量图解2，相似三角形，相似三角形力三角形与几何三角形对应边成比例力三角形与几何三角形对应边成比例 五，三力平衡问题的矢量图解五，三力平衡问题的矢量图解例例1:1:如图示半径为如图示半径为，表面光滑的半球体被固定在水平地面上，跨过无摩擦的，表面光滑的半球体被固定在水平地面上，跨过无摩擦的定滑轮，
13、用一根轻绳下挂一个质量为定滑轮，用一根轻绳下挂一个质量为的小球，将小球置于半球体光滑的表面上的小球，将小球置于半球体光滑的表面上，并使定滑轮位于半球体的正上方，现用力，并使定滑轮位于半球体的正上方，现用力斜左向下拉绳的自由端，使小球沿斜左向下拉绳的自由端，使小球沿光滑半球面缓慢向上滑动。在此过程中，半球体对小球的支持力光滑半球面缓慢向上滑动。在此过程中，半球体对小球的支持力N N 和绳子的拉和绳子的拉力力的变此情况。的变此情况。则小球沿光滑半球面缓慢向上滑动则小球沿光滑半球面缓慢向上滑动过程中，半球体对小球的支持力过程中，半球体对小球的支持力F FN N 不变不变，绳子的拉力，绳子的拉力F F
14、不断减小。不断减小。lFrFrhGN分析与解：根据平衡的特点，由力的几何结分析与解：根据平衡的特点，由力的几何结构可知构可知:(L:(L为滑轮到小球的长度为滑轮到小球的长度)GrhrFNGrhlF相似三角形法相似三角形法cos2LlR 由几何关系知由几何关系知由力由力与几何与几何相似得相似得klGLlR GLkGlR cos2kRLR kR G 1cos2kLkR G 如图所示，一个重为如图所示，一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为的小环，套在竖直放置的半径为R的光的光滑大圆环上有一劲度系数为滑大圆环上有一劲度系数为k，自然长度为，自然长度为L(L2R)的轻弹簧，的轻弹簧，其上端固定在大圆环
15、的最高点其上端固定在大圆环的最高点A，下端与小环相连，不考虑一切摩，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为多大？为多大？本题答案本题答案:A 建筑工人常通过如图所示的安装在楼顶的一个定滑轮，建筑工人常通过如图所示的安装在楼顶的一个定滑轮，将建筑材料运到高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰将建筑材料运到高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳，站在地面上的工人还另外用绳CD拉住材料，使它拉住材料，使它与竖直墙面总保持距离与竖直墙面总保持距离l不计两根绳的重力，在建筑材不计两根绳的重力，在建筑材料上升的过程中，绳料上升
16、的过程中，绳AB和绳和绳CD上的拉力上的拉力T1和和T2的大小变化的大小变化A.T1增大，增大，T2增大增大B.T1增大，增大，T2不变不变C.T1增大，增大，T2减小减小D.T1减小，减小，T2减小减小 CADlB 例例如图所示，物体如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过两绳同时顺时针缓慢转过90，始终保持，始终保持角大小不变，且物角大小不变，且物体始终静止，设绳体始终静止，设绳OA的拉力为的拉力为T1，绳，绳OB的拉力为的拉力为T2，则在此，则在此旋转过程中旋转过程中 A.T1先减小后增大先减小后增大B.T1先增大后减
17、小先增大后减小 C.T2逐渐减小逐渐减小 D.T2最终变为零最终变为零T2BT1AOG 例题：例题：如图所示，一长如图所示，一长L、质量均匀为、质量均匀为M的链条套在一表面光的链条套在一表面光滑，顶角为滑，顶角为的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？是多少？解：解：链条的受力具有旋转对称性链条各部分间链条的受力具有旋转对称性链条各部分间的张力属于内力的张力属于内力,需将内力转化为外力，我们可以在需将内力转化为外力，我们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元的拉力就成为外
18、力，对微元根据平衡规律分对微元的拉力就成为外力，对微元根据平衡规律求解求解:当当 ,sin22 iTTFFF 2sin222 链条微元处于平衡链条微元处于平衡TFmg 2cot22 TnMFgn cot22 Mg cot22 练习，压延机由两轮构成，两轮直径各为练习，压延机由两轮构成，两轮直径各为d50 cm，轮，轮间的间隙为间的间隙为a0.5 cm，两轮按反方向转动，如图，两轮按反方向转动，如图215上上箭头所示已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数箭头所示已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数0.1问能压延的铁板厚度问能压延的铁板厚度b是多少？是多少？分析铁板受力如图：分析铁板受力如图：铁板能
19、前进，应满足铁板能前进，应满足 cossinNNFF 分析几何关系求角分析几何关系求角：22222tan22ddbadba 解得解得b0.75 cm ab七，利用正弦定理如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：sinsinsin321FFF 如图所示，一光滑三角支架，顶角为如
20、图所示，一光滑三角支架，顶角为=45，在，在AB和和AC两光滑杆两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆，细线与杆AB夹角夹角60，试求两环质量比，试求两环质量比M/m 系统处于平衡时系统处于平衡时,两环所受绳两环所受绳拉力拉力沿绳且等值反向沿绳且等值反向,支架施支持力支架施支持力垂直各杆垂直各杆,以以此为依据作每环三力平衡矢此为依据作每环三力平衡矢量图量图:对环对环Msin30sin22TFMg 对环对环Msin15sin22TFmg sin30sin15Mm 622 如图所示，在水平放置、半径为如
21、图所示，在水平放置、半径为R R的光滑圆弧槽内，有两个半径的光滑圆弧槽内，有两个半径均为均为R/3R/3、重分别为、重分别为G1G1、G2G2的小球的小球A A和和B B，平衡时槽面圆心，平衡时槽面圆心O O与与A A球球心连线与竖直方向的夹角球球心连线与竖直方向的夹角 多大？多大？解解:几何三角形几何三角形OAB为边长为边长2R/3的正三角形的正三角形分析两球受力情况分析两球受力情况,作出力平衡的矢量三角形作出力平衡的矢量三角形:在力三角形中运用正弦定理在力三角形中运用正弦定理1sin60sinBAGF 2sin60sin 60ABGF 两式相除即得两式相除即得212t n32aGGG 两根
22、等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和m2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30，如图15所示。则m1:m2为多少？解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16所示。首先注意，图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为F，对左边的矢量三角形用正弦定理，有：同理，对右边的矢量三角形有：思考：解本题是否还有其它的方法？答：有将模型看成用轻杆连成的两小球，而将O点看成转轴，两球的重力对O的力矩必然是平
23、衡的。这种方法更直接、简便。应用：若原题中绳长不等，而是l1：l2=3：2，其它条件不变，m1与m2的比值又将是多少？解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同八，利用摩擦角的概念（选学）八，利用摩擦角的概念（选学）什么是自锁一个物体受静摩擦力作用而静止，当用外力试图使这个物体运动时，外力越大，物体被挤压的越紧，越不容易运动，即最大静擦力的保护能力越强，这种现象叫自锁（定）现象。有一三角斜坡，底脚为，斜坡上面有一静止的方木块，重力为G。重力G沿斜面方向的分力为F2,垂直于斜面方向的分力为F1。斜坡和方木块的摩擦系数满足 可推得 可以看出不论木块质量
24、如何，木块都将保持静止。甚至加一和重力相同方向的力在木块上，不论力的大小，木块仍保持静止。sincos21FsinGcosGF 最大静摩擦力FFNFfF约束力约束力由摩擦定律由摩擦定律:fNFF fNFF tan (-1 1摩摩擦擦角角)=t t a an n支持面作用力支持面作用力(约束力约束力)与正压力间的与正压力间的夹角称为摩擦角夹角称为摩擦角,约束力方向总与约束约束力方向总与约束面法向成面法向成tan1 的角度的角度.应用 自锁螺丝、螺栓、螺旋千斤顶生活中大量使用螺丝，我们用它们来紧固物体，用到了其实就是摩擦自锁。螺丝上的螺纹可展开成斜面，则其与上述的劈便无本质的区别了。螺旋千斤顶工作
25、时螺旋可以看成是一个绕在圆柱体上的斜面。将其展开，这个斜面的倾角就是螺纹升角。丝杆相当位于斜面上的物体。千斤顶支撑的重物是加载于丝杆上的轴向载重。这个载重相当于放在斜面上重为G的物体。为使丝杆螺纹在重物的重压下不会自动下旋，相当于物体不会沿斜面自动下滑，即物体在斜面上自锁。要保证螺纹升角小于等于丝杆与底座螺纹槽之间的摩擦角。即可自锁。F1 如图所示，放在水平面上的质量为如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在水平恒力的物体，在水平恒力F1作用作用下，刚好做匀速直线运动若再给物体加一个恒力，且使下，刚好做匀速直线运动若再给物体加一个恒力，且使F1 F2（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运
26、动，力（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F2应沿什应沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？GFtan1水平恒力与重力、水平恒力与重力、地面约束力作用而地面约束力作用而平衡时平衡时,三力构成三力构成闭合三角形：闭合三角形：FF 211地地1 1 FF 211地地2 2 F2F2加加F2仍仍构成闭合三角形：构成闭合三角形：mmgF约约tan1FmaxF约约Fmintan1 1maxtantanFmg 1mintantanFmg sincossincoscossincossinF 如图所示，倾角为如图所示，倾角为的斜面与水平面保持静止的斜面
27、与水平面保持静止,斜面上有一重斜面上有一重为为G的物体的物体A与斜面间的动摩擦因数为与斜面间的动摩擦因数为,且且tan,现给现给A施以一水施以一水平力平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力求水平推力F多大时物体多大时物体能地斜面上静止能地斜面上静止？静摩擦力达到最大时静摩擦力达到最大时,斜面约束力作用线方向斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角与斜面法线成摩擦角!九，利用三力汇交原理物体处于平衡时物体处于平衡时,其各部分所受力的作用线延其各部分所受力的作用线延长后必汇交于一点长后必汇交于一点,其合力为零其合力为零.思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情
28、况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个N，则长方体受三个力（G、f、N）必共点，由此推知，N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N就过重心了）如图所示，有一轻杆如图所示，有一轻杆AO竖直放在竖直放在粗糙的水平地面上，粗糙的水平地面上，A端用细绳系住，细绳另一端用细绳系住，细绳另一端固定于地面上端固定于地面上B点，已知点，已知=30，若在，若在AO杆中杆中点施一大小为点施一大小为F的水平力，使杆处于静止状态，的水平力，使杆处于静止状态，这时地面这时地面O端的作用力大小为端的作用力大小为_，方向，方向_。FA
29、BO60F与杆成与杆成30分析杆分析杆AO受力受力:研究对象处于静止，所受研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形三力矢量构成闭合三角形!解：解：BC球系统为一球系统为一“三力杆三力杆”由三力平衡关系图得由三力平衡关系图得2cos60CDGFG 2sin603ABFGG 由几何关系图得由几何关系图得细线细线BC与竖直成与竖直成60角角如图所示，如图所示，BC两个小球均重两个小球均重G,用细线悬用细线悬挂而静止于挂而静止于A、G两点，细线两点，细线BC伸直伸直.求求:AB和和CD两根细线的拉力各多大？细线两根细线的拉力各多大？细线BC与竖直方向的夹角是多大？与竖直方向的夹角是多大？取两球一杆
30、为研究对象，分析受力取两球一杆为研究对象，分析受力研究对象处于静止，所受三力研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形矢量构成闭合三角形!由力矢量三角形即得由力矢量三角形即得21tan3013NN 123 1NN 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗是球心，碗的内表面光滑一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是的内表面光滑一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成与球心的连线跟水平面分别成6030角，则碗对两小球的弹力大小之比是角，则碗对两小球的弹
31、力大小之比是 A.1 2 B.1 C.1 D.2333三力汇交和正弦定律综合练习 一均匀光滑的棒，长一均匀光滑的棒，长l，重，重，静止在半径为，静止在半径为的半球形光滑碗内，如图所示的半球形光滑碗内，如图所示，l/22R假如假如为平衡时的角度，为平衡时的角度，P为碗边作用于棒上的力为碗边作用于棒上的力 求证：求证：P（l4R）G；（；（cos2cos）l4R 分析棒的受力如图：分析棒的受力如图：棒棒 处于平处于平衡衡,三力作用线汇交于一点三力作用线汇交于一点!由几何关系：由几何关系：2AOR PAQO AQ 由正弦定理由正弦定理:/22sin2sin222lR /22cos2coslR cos2cos4lR 在力三角形中在力三角形中sin2sin222PG cos2cosPG 4lPGR
