1、高等数学第十章第十章 习题课习题课一一.内容回顾内容回顾二二.例题讲解例题讲解 高等数学（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容一、主要内容高等数学曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分高等数学 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定
2、定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos(计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)(dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)高等数学与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1(CDCQdyPdx闭曲线闭
3、曲线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题高等数学 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代一代,二换二换,三投三投(与侧无关与侧无关)一代一代,二投二投,三定向三定向 (与侧有关与侧有关)dSRQP)coscoscos(dszyxf),(xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(,dxdyzyx
4、R),(xyDdxdyyxzyxR),(,高等数学曲线积分曲线积分三重积分三重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Gauss公式公式计算计算二重积分二重积分定积分定积分（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系高等数学点函数点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上上区区间间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上上区区域域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分高等数学 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上上区区域域当当.),()(,3 dszyx
5、fdMfR 时时上上空空间间曲曲线线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上上曲曲面面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 时时上上平平面面曲曲线线当当曲线积分曲线积分高等数学计算上的联系计算上的联系)(,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),(),()()(),(),(2121体体元元素素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)(,1)(,),(2曲曲线线元元素素 baLdxdxxyxfdxyxf)(,)(,),(投投
6、影影线线元元素素高等数学 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),(xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(dsQPQdyPdxLL)coscos()(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy高等数学理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格
7、林公式高等数学3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式高等数学梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()(RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步高等数学思路思路:LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),
8、(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式二、二、典型例题典型例题).1999()0,0(2)0,2(,)cos()(sin(2的的弧弧到到沿沿曲曲线线为为从从点点是是常常数数其其中中求求OxaxyaALbadyaxyedxyxbyeILxx 例例11、基本计算、基本计算高等数学解一解一 1)cos()(sin(LLdyaxyedxyxbyeIxx则则,)0,2(0)0,0(1LaAyO的的有有向向直直线线段段到到点点沿沿添添加加从从点点 1)cos()(sin(Ldyaxyedxyxbyexx aDbxdxdx
9、dyab20)(baaba222)(2 OA解解二 LLLaxdydxyxbydyeydxedyaxyedxyxbyeIxxxx)(cossin)cos()(sin(baabaI222)(2 则则第一个积分与路径无关，第一个积分与路径无关，第二个积分按定义计算，第二个积分按定义计算，高等数学)1998).(,(,),()()(2),(0,24224yxuyxujyxxiyxxyyxAx并并求求的的梯梯度度二二元元函函数数为为某某上上向向量量使使在在右右半半平平面面确确定定常常数数 例例2解解,)(),(,)(2),(24224 yxxyxQyxxyyxP令令,)(4)(2,)(4)(21242
10、24124524 yxxyyxxyPyxxyxxxQ则则,),(yuQxuPyxujQiPA 的的梯梯度度，则则是是若若,yPxQu 故故具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数，且且高等数学,)(4)(2)(4)(2124224124524 ybxxyyxxyxxyxx则则,21),(24224dyyxxdxyxxyduyxujQiPA ，所所以以的的梯梯度度，是是由由于于，）（即即01)(424 yxx.1),(的的梯梯度度为为由由此此得得yxuACdyyxxdxyxxyuxyxyx,)()0,1(242242,0),(则则Cxyyxu 2arctan),(即即高等数学）（取取逆逆时时针针方方
11、向向为为半半径径的的圆圆周周为为中中心心是是以以其其中中计计算算曲曲线线积积分分2000.),1(,)0,1(,422 RRLyxydxxdyIL例例3解解,4,42222yxxQyxyP ,)4(4),0,0(),(22222yxxyyPxQyx 有有当当则则取取逆逆时时针针方方向向，内内作作一一小小椭椭圆圆在在CryrxCL,sin,cos2:,4022 CLyxydxxdy由由格格林林公公式式 2022214dyxydxxdyIC则则高等数学.,2:,3,2223取取上上侧侧面面上上方方的的部部分分在在为为锥锥面面其其中中计计算算xoyyxzxyyzxzxASdArot 233xyyzx
12、zxzyxkjiArot 解解3,13,622xyyxy ;),4(0221取取下下侧侧为为平平面面：记记 yxz例例4 4高等数学dxdyxdzdxydydzyxy223)13()6(原式原式则 1223)13()6(dxdyxdzdxydydzyxy 1223)13()6(dxdyxdzdxydydzyxy 123)066(dxdyxdvyy高斯公式高斯公式 xyDdxdyx23drrd 220320cos3.12 高等数学（02年竞赛题）年竞赛题）例例 5 5.)(1)(186:)(2222zdxdydzdxyxfxdydzyxfyIzxyzxyuf 面面积积分分所所围围立立体体的的外外
13、侧侧，求求曲曲，为为有有连连续续导导数数，曲曲面面设设由由高高斯斯公公式式得得面面上上的的投投影影为为在在所所围围的的区区域域是是设设.1:,22 zxzox解解 22861020221)(1)(1rrdyrdrddxdydzdxdydzyxfyyxfyI高等数学曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab高等数学曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如图曲顶柱体，如图曲顶
14、柱体，高等数学练习练习解解._222 AxOyyzayx之之间间的的侧侧面面积积面面与与夹夹在在平平面面圆圆柱柱面面24a.4dsin2d220222attasyAxay 对对称称性性知知曲曲线线积积分分的的几几何何意意义义及及由由（06年竞赛题）年竞赛题）高等数学向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法向量为法向量为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1,dSnA0,dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyx 面面投投影影在在将将高等数学所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2,1,222 zzyxz
15、dxdyzxdzdxydydzI例例6解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量点积法利用向量点积法高等数学 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1,2222241:22 yxDxy 事实上事实上,该方法利用两类曲面积分的联系该方法利用两类曲面积分的联系.高等数学例例7 7)98(._)432(,1342222研研则则其其周周长长为为为为设设 ldsyxxyayxla12例例8 8._,)(,0,1:222222 nxyyxxdyydxIyxCnC则则为为同同阶阶无无穷穷小小与与时时当当为为有有向向圆圆周周设设 2 202
16、2)cossin1(dI解解0202竞赛竞赛2、概念部分、概念部分._|)div(1,2,2)2,1,1(div,222223 MAllMAkzyxjzyxizyxA的的方方向向导导数数处处沿沿方方向向在在点点则则其其散散度度设设向向量量场场322练习练习0606竞赛竞赛高等数学).(,),0(:12222则则有有卦卦限限中中的的部部分分在在第第一一为为设设SSzazyxS .4).(;4).(;4).(;4).(1111 SSSSSSSSxyzdSxyzdSDxdSzdSCxdSydSBxdSxdSA（2000年考研题）年考研题）答案：答案：(C)例例9 9.4:,2222 zyxdSx为为
17、其其中中求求 dSx2解解 dSzyx)31222（dS34.364 例例1010高等数学（02年竞赛题）年竞赛题）练习练习_)(4:22222 dSyxzyx则则，为为设设曲曲面面 3128)(32)(31)(22222222222 dSzyxdSzyxzyxdSyx解解1 31284444)(202320422222222rdrrddxdyyxyxdSyxyx 解解2高等数学3、提高部分、提高部分:综合例题综合例题.),1(14)1()1(:,dddddd222222取取外外侧侧其其中中计计算算 yzyxyxzxzyzyx解解1例例1111.,14)1(:,1:00220 则则原原式式左左
18、侧侧设设zxDy,2dd0 Dxz VVvyxvzyxd)(2d)(20 VVvsrVVvsrstsrVztysxrTd)(4)(8d|2|)2(2),0(1:,2,1,1:0222 Vvsrd)(4328.319d4316 截截面面法法球球面面坐坐标标Vvs.325 高等数学解解2例例1111,1,24)1(:,34d)2(dddd22220220 yxxzyDxxxxzyxxvxxDVx.2d)(21 Vvyx，原式，原式同解法同解法,24)1(:,34d)2(dddd22220220yyzxDxxxxzyxxvxyDVx .325231138 原式原式.),1(14)1()1(:,ddd
19、ddd222222取取外外侧侧其其中中计计算算 yzyxyxzxzyzyx高等数学的交线，的交线，与柱面与柱面是平面是平面其中其中求求1|2,)3()2()(222222 yxzyxLdzyxdyxzdxzyL)2001.(,为逆时针方向为逆时针方向轴正向看去轴正向看去从从Lz解解公公式式得得，由由面面上上的的投投影影在在为为上上侧侧为为边边界界所所围围部部分分的的上上以以是是平平面面设设StokesxoyDLzyx.,2 2412)6(2)324(32)22()62()42(DDdxdydxdyyxdSzyxdxdyyxdzdxxzdydzzyI例例1212高等数学解解（02年考研题）年考研
20、题）.).(1)(1)();(1)()(11)1(22222所所以以积积分分与与路路径径无无关关xyfxyyxyfxyfyyxxxyfxyyxyfxyfyyy .)2(;)1(,1)()(11).,(),(0,),()(222的的值值时时，求求当当无无关关与与路路径径证证明明曲曲线线积积分分记记，终终点点为为，其其起起点点为为内内的的有有向向分分段段光光滑滑曲曲线线是是上上半半平平面面有有连连续续导导数数在在设设IcdabLIdyxyfyyxdxxyfyyIdcbayLxfL 例例1313高等数学解解.)2(;)1(,1)()(11).,(),(0,),()(222的的值值时时，求求当当无无关
21、关与与路路径径证证明明曲曲线线积积分分记记，终终点点为为，其其起起点点为为内内的的有有向向分分段段光光滑滑曲曲线线是是上上半半平平面面有有连连续续导导数数在在设设IcdabLIdyxyfyyxdxxyfyyIdcbayLxfL badcdttfdttfbadcbcdcdycyfcdxbxfbbacdycyfyycdxbxfbbIcdbcbcabdbcadbca )()()()(1)()(11)2(222例例1313高等数学.15)728(2)(,15)728(2d1)1(2)1(),1()(,1,01)1()(2210 tIrrrrIItIttttI所所以以而而的的最最大大值值为为则则解解得得
22、唯唯一一驻驻点点令令.)0(202,)728(152d)1(2222之之间间的的部部分分和和夹夹在在平平面面抛抛物物面面为为其其中中证证明明 ttzzyxzSyx).,0(,d1)1(2dd1)1(d)1()(02222222222 trrrryxyxyxSyxtIttyx证证例例1414（06年竞赛题）年竞赛题）高等数学例例1515.2)2(;)1(.0,0|),(2sinsinsinsinsinsin LxyLxyLxydxyedyxedxyedyxedxyedyxeDLyxyxD证明证明的正向边界的正向边界为为，已知平面区域已知平面区域证证1（03年考研题）年考研题）.22)2(.)()
23、()1(2sinsinsinsin0sinsin0sin0sin0sinsin0sin0sin Lxyxxxxxyxxxydxyedyxeeedxeedxedyedxeedxedye故故，由于由于所以等式成立所以等式成立右右左左高等数学证证2.22)()()2(.)()()(.)(;)()1(2sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin DDxxDxyLxyDxyDxyDxyLxyDxyLxyddeedeedxyedyxedeedeexyDdeedxyedyxedeedxyedyxe故等式成立故等式成立，所以，所以坐标轮换性坐标
24、轮换性对称对称关于关于因为因为由格林公式，得由格林公式，得高等数学.),0(9)1(16)2(51:,)(dddddd223222取取上上侧侧其其中中计计算算 zyxzzyxyxzxzyzyx解解 例例1616.0,)(2,)(,)(2,)(,)(2,)(522222232225222222322252222223222 zRyQxPzyxzxyzRzyxzRzyxyxzyQzyxyQzyxxzyxPzyxxP高等数学,19)1(16)2(,0:,),0,0(:22222222221上上侧侧且且上上侧侧足足够够小小设设 yxRyxzRzRzyx.2121 则则原原式式,0021 dv.022
25、zdxdyQdzdxPdydz 1131zdxdyydzdxxdydzRzdxdyQdzdxPdydz 11)(1)coscoscoscos(133dxdyzzyzxRdxdyzyxRyx .21102220222231 RRddRdxdyyxRRR .2 高等数学计计算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(,其其中中L为为由由点点)0,(a到到点点)0,0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx.练习练习1 1课堂练习课堂练习在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上侧侧为为平平面面为为连连续续函函数数其其中中计计算算1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyx
26、fdzdxyzyxfdydzxzyxfI练习练习2 2练习练习3 3高等数学计计算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(,其其中中L为为由由点点)0,(a到到点点)0,0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx.解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos(xQyP 即即(如下图如下图)练习练习1 1课外练习课外练习1 1高等数学xyo)0,(aAMdxdyyPxQDAMOA )(Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO,0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI高等数学在在第第四四卦卦限限部部分分的的
27、上上侧侧为为平平面面为为连连续续函函数数其其中中计计算算1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfIxyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1,1,1 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos 练习练习2 2高等数学dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 高等数学求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积.解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218,1:3232 y
28、xL)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为练习练习3 3高等数学,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 高等数学作作 业业 P226:2(1)(3)(5)(6),3(1)(2)(3),4,6,7.高等数学解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕(如下图如下图)练习练习4 4高等数学xyzo132 *I且有且有dvzRyQxP)(*dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd高等数学 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34
