1、第4章 振动和波、声 vibration, wave & sound wave,简谐运动,机械波,判断方法,运动方程,特征量,振动能量,振动合成,阻尼与共振,波动方程,波的能量,波的干涉,驻波,多普勒效应,惠更斯原理,本章知识结构,意义,例题,超声成像仪 ultrasonic imaging device,三维动态超声图像 Three-dimensional Echocardiography,机械振动mechanical vibration：物体在平衡位置附近作往返的周期性运动。广义：物理量围绕一定的平衡值做周期性的变化。,波wave：振动在空间的传播过程。,主要内容：机械振动、机械波，声和超
2、声的物理性质和规律，及其在医学上的应用。,简谐振动simple harmonic motion,一、简谐振动方程 二、简谐振动的特征量 三、简谐振动的矢量图示法 四、简谐振动的合成 五、简谐振动的能量 六、阻尼振动、受迫振动和共振 七、例题、总结,一、简谐振动方程 simple harmonic motion equation,1、弹簧振子 2、简谐振动方程,1、弹簧振子harmonic Oscillator,简谐振动方程 微分形式,简谐振动方程 三角函数形式,动力学特征,运动学方程,简谐振动方程simple harmonic motion equation,线性回复力,微分形式,三角函数形式
3、,用时间的正弦或余弦函数来描述的振动,简谐振动方程simple harmonic motion equation,二、简谐振动的特征量,1、振幅 amplitude 2、周期、频率 period, frequency 3、相位 phase,1、振幅 amplitude,振幅：物理量A ，是物体离开平衡位置 的最大位移,2、周期、频率 period, frequency,周期T ：物体作一次完全振动所需的时间。,频率f ：周期的倒数f，单位时间内物体所作的完全振动的次数。,角频率(angular frequency)：频率的2 倍,3、相位 phase,相位的定义 初相位 initial pha
4、se 相差 phase difference,相位的定义 phase,相位或相： t+0，表示简谐振动在一个周期内所处的瞬时运动状态。 初相位：当t=0时， 0为初相位。 单位：rad（弧度）=,初相位 initial phase,当t=0时,确定一个简谐振动方程,已知任意三个变量，就确定了简谐振动方程,相差 phase difference,意义：比较简谐振动的步调是否一致 两个同频率的简谐振动的相差分析 位移、速度、加速度步调分析,两个同频率的简谐振动的相差分析,可以先把 减去或加上2 的整数倍，再按上述方法确定相位的超前或落后 ；,两个同频率的简谐振动的相差分析,称s2(t)超前于s1(
5、t)；,称s2(t)落后于s1(t) ；,位移、速度、加速度步调分析,t,s,a,v,A,O,T/2,T,三、简谐振动的矢量图示法,三、简谐振动的矢量图示法,S,P0,P,C,B,O,N,A,s,0,POB=t+0,(t=0),(t=t),频率,振幅,相位,初相位,四、同方向、同频率简谐振动的合成,矢量法解合振动 分析,矢量图示法,S,A2,O,A,s1,s2,s,A1,N1,N2,N,M,分析,合振幅最大：,合振幅最小：,在一般情况下：,五、简谐振动的能量 the energy of simple harmonic motion,五、简谐振动的能量,六、阻尼振动、受迫振动和共振 damped
6、 vibration, forced vibration, resonance,阻尼振动 damped vibration：物体在运动过程中，由于阻力的作用，如空气阻力和摩擦力等，使振动的振幅和能量逐渐衰减 受迫振动 forced vibration：振动系统在外界驱动力作用下的振动。举例：扬声器纸盆的振动。 共振 resonance ：在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象，称为位移共振，简称共振,受迫振动forced vibration,稳定后的振动频率由驱动力的频率决定,共振resonance,共振频率由系统的固有频率决定,例题：求单摆的振动方程和能量,m,T,mg,mgcos,mgsin
7、,s,l,固有频率，它只与系统本身有关，与小球质量无关,s,m,T,mg,mgcos,mgsin,s,l,简谐振动总结summary,summary,简谐振动：方程、特征量、矢量图示法,同方向、同频率简谐振动的合成,阻尼振动、受迫振动和共振特点,简谐振动的能量,相关习题：习题四：4-14-9,机械波的产生和传播 mechanical wave,复习简谐振动review,动力学方程,运动学方程,简谐振动方程,简谐振动能量,主要内容,一、机械波 mechanical wave 二、波动方程 wave equation 三、波的能量和强度 energy and intensity of wave 四
8、、总结 summary,一、机械波 mechanical wave,机械波的产生 横波、纵波 波阵面、波线 波长、波速、频率、周期,机械波的产生 mechanical wave,机械波：机械振动在弹性媒质中的传播。,振动是波动的基础，波动是振动的传播,在弹性媒质中，某一个质点因外界扰动时，由于质点与质点之间存在着弹性联系，周围的质点也会跟着振动起来，其振动由近及远地传播出去，即产生机械波。,（2）弹性媒质elastic medium,机械波mechanical wave产生条件：,（1）机械振动：波源wave source,机械波的特点：,(1) 波动中各质点并不随波前进；,(2) 各个质点的
9、相位依次落后,波动是相 位的传播；,(3) 波动曲线与振动曲线不同。,横波和纵波 transverse wave & longitudinal wave,如果质元的振动方向和波的传播方向相垂直，则这种波称为横波transverse wave 。 例如绳波；,如果质元的振动方向和波的传播方向相平 行，这种波称为纵波longitudinal wave 。 例如声波。,波阵面 wave surface:同一时刻媒质内振动相位相同的 点连成的面。最前面的波振面叫波前。,波线 wave ray：表示波传播方向的线。,波线,波阵面、波线 wave surface , wave ray,波阵面,波前wave
10、 front,平面波plane wave,在各向同性的均匀介质中，波线为直线并与波面垂直。,波长 wave length:同一波线上相位差为2的质点之间的距离。波速 velocity,u,不同媒质中周期频率不变，波速波长不同,频率 frequency:单位时间内通过波线上某点完整波的个数。周期：一个完整波通过波线上某点所需要的时间。,二、波动方程 wave equation,波动方程推导 波动方程推论 波动方程解题,描述波线上质点在每一位置、每一时刻的位移的函数称为波的波函数或波动方程。,简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振幅保持恒定，不随时间也不因距离波源
11、的远近而改变。,波动方程wave equation推导,波动方程wave equation推导,s,A,O,P,x,u,相位落后x/u,x,t时刻的波形,波动方程wave equation推导,s,A,O,P,x,u,x,波动方程wave equation,s,A,O,P,x,u,沿X轴正方向传播：,沿X轴负方向传播：,相位落后x/u,u,相位超前x/u,x,波动方程wave equation的推论,(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：,反映：x0点处质点的振动方程,(2) 当t为某一定值时，设t=t0，方程变为：,反映：t0时刻波线上各质点的位移， 即该时刻的波形。,演示,(3)
12、 当取x、t任意值时，波动方程表示波线 上任意位置x处的质点在任意时刻t的位移。,u,波动方程正负号,波动方程wave equation其它形式,(f,)、T 、u,、u,、T,、f, 、u,波动方程wave equation应用,已知波动方程求特征量 已知特征量求波动方程 已知波动曲线求波动方程,例1：已知波函数,求：A、f、c。,解：,例2：如图,是一平面简谐波在t=0秒时的波形图，由图中所给的数据求：（1）该波的周期；（2）传播介质O点处的振动方程；（3）该波的波动方程。,2,4,波动方程为：,O点振动方程为：,三、波的能量和强度 energy and intensity of wave
13、,波的能量 波的能量密度 波的强度,波传播能量 energy of wave,在弹性媒质中，介质质元不仅因为有振动速度而具有动能，而且因为发生了形变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随着能量的传递。 对于波来说，伴随着波形和相位的传播，能量也将随之从一个地方被传递到另一个地方。,波的能量energy of wave,平面简谐波在弹性媒质中传播，任意坐标x处的体积元V，在t时刻的动能和势能为：,体积元V总机械能为：,波的能量密度energy density,波的能量密度w：单位体积介质中波的能量,波的平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值,在平面简谐波的传播过程中，介质内任一质元在任何时刻
14、的动能和势能相等，它们和总能量一起都不是恒定不变的，而都随时间作周期性变化。,波的能量密度energy density,波的强度intensity of wave,波的强度I：单位时间内通过垂直于波线方向的单位面积的平均能量,总结summary,机械波的基本概念 波动方程及推论 波的能量和强度,注意波的方向,注意初相位,相关习题:习题四：4-104-12,波的干涉 interference of waves 多普勒效应 Doppler effect,复习review,机械波wave的基本概念 波动方程wave equation 波的能量和强度energy and intensity of wa
15、ve,注意波的方向,注意初相位,医学超声多普勒Ultrasonic Doppler,本次课内容content,一、惠更斯原理 二、波的干涉 三、驻波 四、半波损失 五、多普勒效应 六、多普勒效应的应用 总结,（C.Huygens , 16291695）,一、惠更斯原理 Huygens principle,惠更斯原理：媒质中波动到达的每一点都可以看作是新的波源，向各个方向发射子波。在其后任意时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波阵面。,意义：已知某一时刻的波阵面后，可利用惠更斯原理得到其后任意时刻的波阵面，从而得到波传播的情况。,惠更斯原理Huygens principle举例,演示,演示,S1,S
16、2,O,S2,S1,R1=ut,R2=u(t+t),ut,ut,波的衍射diffraction,波动能绕过障碍物传播，这种现象为衍射,S1,波的干涉interference of waves,波的叠加原理superposition principle：在几列波的相遇区域，各质点的振动是各列波单独存在时的振动的合成。,相干波coherent wave：频率相同、振动方向相同、有固定的相位差的两个波源所发出的简谐波。,波的干涉interference of waves ：两相干波在交叠处有些地方波动加强，有些地方波动减弱的现象。,波的干涉,波的叠加,波的干涉interference of wave
17、s,前提：相干波,P,O1,O2,x2,x1,P,O1,O2,x2,x1,若1= 2，则两相干波源做同相振动:,波的干涉interference of waves的结论,波程差等于半波长的偶数倍的各点振幅最大，振动加强； 在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小，振动减弱 ;,若1= 2，则两相干波源做同相振动:,三、驻波standing wave,驻波形成的条件 驻波方程 驻波的波腹和波节 驻波的特点,驻波standing wave,驻波：可由振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加而成，这是一种特殊的干涉现象。,驻波方程standing wave equation,前提：振幅相同、传播方向
18、相反的两列相干波,分析：在两波相遇处，各质元的合位移为：,驻波方程standing wave equation,波线上的各质元都以同一频率做简谐振动，但不同质元的振幅随其位置x作周期性的变化,振幅因子,简谐振动因子,波腹和波节wave loop & wave node,波腹：当距离为/4的偶数倍，振幅最大值2A,波节：当距离为/4的奇数倍，振幅为零,驻波相邻波节或波腹的距离为半波长,相邻波节之间距离为/2,相邻波腹之间距离为/2,波节固定不动，驻波在相邻波节之间振动,相邻波节之间的质元相位相同,波节两侧质元的振动方向相反,相邻波腹处的质元的振动方向相反。,相邻节点,驻波相位phase of s
19、tanding wave,相邻波节之间质元相位相同,同一波节两侧质元振动相位相反,没有相位的定向传递,驻波的能量 energy of standing wave,势能,动能,势能,能量只是在波节和波腹之间，进行动能和势能的转化 两波节之间能量守恒，没有能量的定向传播。,四、半波损失half-wave loss,在均匀介质中沿直线传播的波在遇到另外一种媒质时，会发生反射和折射现象。,把介质密度和波在介质中传播速度u的乘 积，定义为介质的特性阻抗Z，即Z =u。,特性阻抗Z比较大的介质，称为波密介质 特性阻抗Z比较小的介质，称为波疏介质,如果波从波疏介质反射回来，则在反射处，反射波的振动相位与入射
20、波的相同，称为全波反射；如果波从波密介质反射回来，则在反射处，反射波的振动相位与入射波的相反，称为半波反射half-wave reflection。,半波反射时相位相反，相当于损失了半个 波后再反射，因此称这个现象为半波损失 half-wave loss,半波损失half-wave loss,全波反射中，入射波在反射点引起的振动的相位始终与反射波相同，形成驻波的波腹；,半波反射中，入射波在反射点引起的振动的相位始终与反射波相反，形成驻波的波节。,五、多普勒效应Doppler effect,医学超声多普勒,火车,定义:由于波源或观测者的运动，造成观测频率与波源频率不同的现象,波源和观测者的运动或
21、静止，都是相对于波在其中传播的连续介质而言的,波速由弹性介质决定，与波源和观测者的运动无 关，保持不变。,多普勒效应Doppler effect,波源静止，观测者相对于介质运动（vs=0，vo0） 观测者静止，波源相对于介质运动（vs0，vo=0） 观测者和波源同时相对于介质运动（vs0，vo0） 冲击波,波源：wave source,观测者：observer,1. 波源静止，观察者运动,特点：波源静止，波长不变,靠近，vo正,远离，vo负,S,2. 观察者静止，波源运动,特点：波源运动，波长改变，波速不变,靠近，vs正,远离，vs负,波源,vsT,=uT,t,t+T,观测者,A,B,3. 观
22、察者运动，波源运动,特点：波速改变，波长改变,靠近，vs正， vo为正,远离，vs负， vo负,当波源向观测者方向运动时，vs为正，当观测者向波源方向运动时，vo为正，实际观测频率高于波源频率。反之，为负； 当波源和观测者的运动不在它们的连线上，则上式中的vs、vo取波源和观测者的速度在连线上的分量。,4.冲击波shock wave,该圆锥面为马赫锥，比值vs /u称为马赫数。在这种情况下的合成声波，称为冲击波或击波,演 示,超音速飞机,六、多普勒效应Doppler effect的应用,多普勒效应可用于测量物体运动的速度 多普勒效应在医学上有广泛的应用，如超声多普勒血流仪就是利用这一原理制成的
23、。,v,入射线,反射线,A,R,B,fo,v,入射线,A,B,fo,测出频移，知道波源和运动物体夹角 即可测得运动物体速度,医学应用,智能经颅多普勒血流分析仪,数字彩色多普勒超声诊断仪,总结summary,（3）惠更斯原理，半波损失。,相关习题：习题四：4-134-16,（1）波的干涉interference of waves， 驻波standing wave的形成和特点。,（2）多普勒效应Doppler effect及应用。,例 题,例题1 ：简谐振动 例题2 ：简谐振动 例题3 ：波动方程 例题4 ：波动方程 例题：多普勒效应,例1 有一劲度系数为32.0Nm-1的轻弹簧,放在光滑的水平
24、面上,其一端固定,另一端系一质量为500g的物体.将物体沿水平方向拉至距平衡位置为10.0cm处,将物体由静止释放,物体将在水平面内演绎直线做简谐振动.分别求出振动的位移、速度和加速度与时间的关系.,当 t = 0 时, x0=A,最大速度,最大加速度,速度和加速度与时间的关系为,例2 一轻弹簧受3.0N的力作用时,伸长0.09m.今在此弹簧下悬一质量为2.5kg的重物.待其平衡后,将重物从平衡位置拉下0.06m,然后放手,让其自由振动. （1）试问这系统是否做简谐振动？ （2）如做简谐振动,其周期是多少？ （3）以物体在平衡位置下方最大位移处开始 计时,求出其振动方程. （4）若物体在平衡位
25、置且速度为-0.219ms-1时开始计时,振动方程如何？,解：设未挂重物时弹簧的平衡位置为 挂重物后的平衡位置为O .作Ox 轴,设向下的方向为正.,物体在O点处于平衡,当物体在O点下方,离O点距离为x时,此系统做简谐振动,此系统的运动方程为,（2）k =F/x=3/910-2Nm-1,（3）t = 0时 x0=A,(m),（3）t =0时 x0= 0 , v0= - 0.219ms-1,振动方程为,(m),例3 以y=0.040cos2.5t (m)的形式做简谐振动的波源,在介质中产生的平面简谐波的波速为100ms-1.（1）写出平面简谐波的波动方程;（2）求出t=1.0s时,距波源20m处
26、质点的位移、速度和加速度.,解：设波动方程为,（2）在 x =20m处质点的振动方程为,(m),t =1s时,该处质点的位移为,(m),该处质点的速度为,该处质点的加速度为,ms-2,例4 一平面简谐波, A0.10m,T=0.50s,=10m,已知坐标原点按 的规律振动.试求：（1）此平面简谐波的波动方程;（2）波线上相距2.5m的两点的相位差;（3）若t=0时位于坐标原点的质点的位移为y0 = +0.050m,且向平衡位置运动,求出初相位并写出其波动方程.,解：设波动方程为,代入 A=0.10m,=10m,s-1,得波动方程为,(m),解：设波动方程为,（3）t = 0时 y = +0.050m代入坐标原点的振动方程,因为,所以,波动方程为,(m),一般情况下,v c,所以有,
