1、专题八-三角函数与解三角形重要考点回顾重要考点回顾一、基本知识一、基本知识1.角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的互化1rad=57.30=57181=0.01745(rad)rad=1802.弧长公式弧长公式:l=|r.扇形面积公式扇形面积公式:S扇形扇形=lr=|r2.18018012123.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义:(1)设设是一个任意角是一个任意角,在在的终边上任取的终边上任取(异于异于原点的原点的)一点一点P(x,y),P与原点的距离为与原点的距离为r,则则:(2)单位圆定义法单位圆定义法:如图如图,设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆它的终边与单位圆交
2、于点交于点P(x,y),那么那么:y叫做叫做的正弦的正弦,记作记作sin,即即sin=y;x叫做叫做的余的余弦弦,记作记作cos,即即cos=x;叫做叫做的正切的正切,记作记作tan,即即tan=(x0).4.三角函数在各象限中的符号三角函数在各象限中的符号:一全正一全正,二正弦二正弦,三正切三正切,四余弦四余弦.sin;cos;tan.yxyrrxyxyx5.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值:030456090弧度弧度0sin01cos10tan01/6432122232122232333120135150180270360弧度弧度2 sin0-10cos-101tan-10/02312
3、22323456321222323336.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系平方关系:sin2+cos2=1(2)倒数关系倒数关系:sintancos二、诱导公式二、诱导公式1.诱导公式诱导公式(kZ)函数函数角角正弦正弦余弦余弦记忆口诀记忆口诀2k+sincos函数名不变函数名不变符号看象限符号看象限+-sin-cos-sincos-sin-cos2-sincos-cossin函数名改变函数名改变符号看象限符号看象限+cos-sin-cos-sin+-cossin2232322.求任意角的三角函数值的问题求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐都可以通
4、过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题角三角函数的求值问题,具体步骤为具体步骤为“负角化正角负角化正角”“正角化正角化锐角锐角”求值求值.3.诱导公式解决常见题型诱导公式解决常见题型(1)求值求值:已知一个角的某个三角函数已知一个角的某个三角函数,求这个角的其他三角函求这个角的其他三角函数数;(2)化简化简:要求是能求值则求值要求是能求值则求值,次数、种类尽量少次数、种类尽量少,尽量化去根尽量化去根式式,尽可能不含分母尽可能不含分母.三、两角和与差及二倍角的三角函数三、两角和与差及二倍角的三角函数1.两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式sin()=sincoscossin;cos()
5、=coscos sinsin;tan()=2.二倍角公式二倍角公式sin2=2sincos;tan2=;cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.tantan1tantan22tan1tan3.几个常用的结论几个常用的结论:(1)sincos2sin();4(2)3sincos2sin();6(3)sin3cos2sin();313(4)sincossin().223xxxxxxxxxxxx四、三角函数的图象与性质四、三角函数的图象与性质1.结合五点法作图画出正弦函数结合五点法作图画出正弦函数y=sinx(xR)、余弦函数、余弦函数y=cosx(xR)的图象的图象.(1)定
6、义域定义域:都是都是R.(2)值域值域:都是都是-1,1.对于对于y=sinx,当当 时时,y取最大值取最大值1;当当 时时,y取最小值取最小值-1;对于对于y=cosx,当当 时时,y取最大值取最大值1,当当 时时,y取最小值取最小值-1.2(Z)2xkk2(Z)2xkk 2(Z)xkk2(Z)xkk(3)周期性周期性:y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是的最小正周期都是2f(x)=Asin(x+)和和f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是的最小正周期都是(4)单调性单调性:y=sinx在区间在区间 上单调递增上单调递增,在区间在区间 上单调递减上单调递减;y=cosx在区间在区
7、间 上单调递增上单调递增,在区间在区间上单调递减上单调递减.2|2,2(Z)22kkk32,2(Z)22kkk2,2(Z)kkk2,2(Z)kkk(5)奇偶性与对称性奇偶性与对称性:正弦函数正弦函数y=sinx(xR)是奇函数是奇函数,对称中心是对称中心是(k,0)(kZ),对称轴是直线对称轴是直线余弦函数余弦函数y=cosx(xR)是偶函数是偶函数,对称中心是对称中心是对称轴是直线对称轴是直线x=k(kZ).(Z);2xkk(,0)(Z);2kk2.正切函数正切函数y=tanx的图象和性质的图象和性质:请画图象请画图象:(1)定义域定义域:x|x +k,kZ.(2)值域是值域是R,在定义域在
8、定义域x|x +k,kZ上无最大值也无最小值上无最大值也无最小值;(3)周期性周期性:T=;(4)奇偶性与对称性奇偶性与对称性:奇函数奇函数,对称中心是对称中心是(5)单调性单调性:正切函数在开区间正切函数在开区间 内都是增内都是增函数函数.22(,0)(Z);2kk(,)(Z)22kkk3.函数函数y=Asin(x+)图象的画法图象的画法:“五点法五点法”设设X=x+,令令X=0,2求出相应的求出相应的x值值,计算得出五点的坐标计算得出五点的坐标,描点后得出图象描点后得出图象;图象变换法图象变换法:这是作函数简图常用方法这是作函数简图常用方法.2324.函数函数y=Asin(x+)+k的图象
9、与的图象与y=sinx图象间的关系图象间的关系:将函数将函数y=sinx的图象向左的图象向左(0)或向右或向右(0)或向下或向下(k0,00,0,|0),将将y=f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长个单位长度后度后,所得的图象与原图象重合所得的图象与原图象重合,则则的最小值等于的最小值等于()A.B.3C.6 D.9minC,3,32Z,6,0,1,6().(3)yf xkkkk【解析】由题意将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与原图象重合 说明了是此函数周期的整数倍得解得又令得31328.函数函数y=cos(2x+)(-0)个单位个单位长度后长度后,所得图象关于原点对称所得图象关
10、于原点对称,则则的最小值是的最小值是()minBcos3sin2cos,3:2cos3,:()()()(),320,B.6f xxxxg xxkk【解析】函数函数图象向左平移得到得到的函数的图象关于原点对称 则当时故选35A.B.C.D.1263630.已知已知ABC中中,B=60,那么角那么角A等于等于()A.135B.90C.45D.3032sin22C,si(nsinsin230,18)0,45,C.abaBAABbAABA【解析】且故选2,3ab31.在在ABC中中,A,B,C所对的边长分别是所对的边长分别是a,b,c,且且A=,a=,b=1,则则c=()A.1B.2C.D.2231s
11、in12B,sinsinsin230,622,B.()abbABABaBABBCcab【解析】且利用勾股定理故选3333132.在在ABC中中,AB=3,BC=,AC=4,则则ABC的面积是的面积是()22222234(13)13Ccos,sin22 3 42213133 43 3,C.2222ABCbcaAAbcSABAC 【解析】故选133 3A.3B.C.3 3D.6 3233.已知已知a,b,c分别为分别为ABC的内角的内角A,B,C所对的边且所对的边且(b-c)(sinB+sinC)=(a-c)sinA,则角则角B的大小为的大小为()A.30B.45C.60D.120222()()(
12、)A,333,cos,20180,30.A.bc bca acbcaacBBB【解析】由正弦定理 可得有则由于则故选334.已知已知a,b,c分别为分别为ABC的三个内角的三个内角A,B,C所对的边所对的边,b=2,B=,C=,则则ABC的面积为的面积为()B,sin62,2sin26237()6412sin72sinsin12sinsin611(1.2)22ABCbBbABaAAaSabC 【解析】由正弦定理得则A.2 32B.31C.2 32D.316435.锐角锐角ABC中中,a,b,c是角是角A,B,C所对的边所对的边,(a2+c2-b2)tanB=ac,则则B=.22233tan60
13、cos222tan32tancos3,sin2,60.acacbBBacacBBBBABCB【解析】即为锐角三角形336.若若ABC的内角的内角A满足满足sin2A=,则则sinA+cosA=()2225Bsincossin2sincoscos315,sincos.)B3(.AAAAAAAABCAA【解析】因为 是的内角 所以选231151515A.B.C.D.333337.如图如图,为测量山高为测量山高MN,选择选择A和另一座山的山顶和另一座山的山顶C为测量观测点为测量观测点.从从A点测得点测得M点的仰角点的仰角MAN=60,C点的仰角点的仰角 CAB=45以及以及MAC=75;从从C点测得
14、点测得MCA=60.已知山高已知山高BC=100m,则山高则山高MN=m.150,100 2,sin60sin(1806075)3100 3,2,sin60150.ABCACAMACMACAMACMANMNAM【解析】在直角三角形中由条件可得在中由正弦定理可得故在直角中38.在在ABC中中,角角A,B,C所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,c且满足且满足csinA=acosC,则则sinA+sinB的最大值是的最大值是()D:2 sinsin3 2 sincos,tan32(,3sinsinsinsin3si36)(n.)RCARACCCABAAA【解析】由正弦定理可得则则3A.1B.2C.3D.339.在在ABC中中,B=,BC边上的高等于边上的高等于 BC,则则sinA=()22D,3,42,5.533 10,sin,sinsinsin1022D.BCADBCADBBDADDCADACADDCADACBCADADABAA【解析】设边上的高线为则又则故所以由正弦定理 知即解得故选41331053 10A.B.C.D.1010510
