1、第 1 页 共 20 页 2020 届安徽省皖江联盟高三上学期届安徽省皖江联盟高三上学期 12 月联考试题月联考试题 数学 （理）数学 （理） 一、单选题一、单选题 1复数复数z满足满足1 243i zi（i为虚数单位） ，则复数为虚数单位） ，则复数z的模等于（的模等于（ ） A 5 5 B5 C2 5 D4 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】 435 5 1 25 i z i 故选：B 【点睛】 本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题. 2已知全集为已知全集为R，集合，集合2, 1,0,1,2A ， 1 0 2
2、x Bx x ，则，则 U AC B的元的元 素个数为（素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解分式不等式求得集合B，根据交集和补集的定义求得集合 U AC B，进 而得到元素个数. 【详解】 1 021 2 x Bxxx x 2 U C Bx x 或1x 2,1,2 U AC B ，有3个元素 故选：C 【点睛】 本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属 于基础题. 3 已知函数 已知函数 f x在区间在区间, a b上可导， 则上可导， 则“函数函数 f x在区间在区间, a b上有最小值上有最小值”是是“存存 在在
3、 0 ,xa b，满足，满足 0 0fx”的（的（ ） 第 2 页 共 20 页 A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不既不充分也不 必要条件必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用 3 f xx可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】 , a b为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为0 充分性成立 当 3 f xx， 0 0x 时， 0 0fx，结合幂函数图象知 f x无最小值，必要性不 成立 “函数 f x在区间, a b上有最小值”是
4、“存在 0 ,xa b，满足 0 0fx”的充分 不必要条件 故选：A 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够 明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点. 42011 年国际数学协会正式宣布，将每年的年国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 月 14 日设为国际数学节，来源于中国日设为国际数学节，来源于中国 古代数学家祖冲之的圆周率。公元古代数学家祖冲之的圆周率。公元 263 年，中国数学家刘徽用年，中国数学家刘徽用“割圆术割圆术”计算圆周率，计计算圆周率，计 算到圆内接算到圆内接 3072 边形的面积，得到的圆周率是边形的面积，得
5、到的圆周率是 3927 1250 .公元公元 480 年左右，南北朝时期的年左右，南北朝时期的 数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后 7 位的结果，给出不足近似值位的结果，给出不足近似值 3.1415926 和过和过 剩近似值剩近似值 3.1415927，还得到两个近似分数值，密率，还得到两个近似分数值，密率 355 113 和约率和约率 22 7 。大约在公元。大约在公元 530 年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为9.8684（3.14140096）.在这在这 4 个圆个圆 周率的近似值中，最接近真实值的是（周率的
6、近似值中，最接近真实值的是（ ） A 3927 1250 B 355 113 C 22 7 D9.8684 【答案】【答案】B 【解析】【解析】依次计算出每个近似值，与圆周率作对比找到最接近真实值的项. 【详解】 第 3 页 共 20 页 3927 3.1416 1250 ， 355 3.141592 113 ， 22 3.142857 7 ，9.8684 3.14140096 由圆周率的值可知，最接近真实值的为 355 113 故选：B 【点睛】 本题考查圆周率的相关知识，关键是能够准确计算出各个近似值，属于基础题. 5已知函数已知函数 2 yf xx是奇函数，且是奇函数，且 11f，则，则
7、1f （ ） A3 B1 C0 D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由奇函数定义可得 22 fxxf xx ，代入1x 可求得结果. 【详解】 2 yf xx为奇函数 22 fxxf xx 11112ff 13f 故选：A 【点睛】 本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，关键是能够准确得到函数所满足的关系 式，属于基础题. 6已知数列已知数列 n a的通项为的通项为 1 n n a nk ，对任意，对任意 * nN，都有，都有 5n aa，则正数，则正数k的取的取 值范围是（值范围是（ ） A5k B5k C45k D56k 【答案】【答案】D 【解析】【解析】将 n a整理为 1 1
8、 k nk ，结合反比例函数单调性和恒成立的 5n aa可得到不等 式组，解不等式组求得结果. 【详解】 111 1 n nnkkk a nknknk k为正数且 5n aa恒成立 50 60 k k ，解得：56k 故选：D 第 4 页 共 20 页 【点睛】 本题考查利用数列中的最小项求解参数范围问题， 关键是能够将问题转化为结合反比例 函数单调性来求解的问题，进而得到关于所求参数的不等式. 7如图所示的程序输出的结果为如图所示的程序输出的结果为 95040，则判断框中应填（，则判断框中应填（ ） A8?i B8?i C7?i D7?i 【答案】【答案】B 【解析】【解析】运行程序，根据输
9、出结果可判断出输出时7i ，由此可确定判断框条件. 【详解】 按照程序框图运行程序，输入12i ，195040sum 则1 121295040sum ，12 1 11i ，循环 12 11 13295040sum，11 1 10i ，循环 132 10132095040sum，10 19i ，循环 1320 91188095040sum ，9 18i ，循环 11880 895040sum ，8 17i ，输出sum 8i 满足判断条件，7i 不满足判断条件 判断框中应填8?i 故选：B 【点睛】 本题考查根据程序框图循环结构的输出结果补全框图的问题， 关键是能够准确确定输出 结果是，变量具体
10、的取值，由此确定需补充的条件. 8函数函数 cos22sinxxf x 在在, 上的图象是（上的图象是（ ） A B C 第 5 页 共 20 页 D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用0 2 f 和0 2 f 可排除错误选项得到结果. 【详解】 cos2sin1210 22 f ，可排除,B C； cos2sin1 230 22 f ，可排除D. 故选：A 【点睛】 本题考查函数图象的识别，此类问题通常采用排除法，排除依据通常为：奇偶性、特殊 位置的符号、单调性. 9 矩形 矩形ABCD中，中，4AB ，3BC ， 沿， 沿AC将将ABCD矩形折起， 使矩形折起， 使面面BAC 面 面
11、DAC， 则四面体则四面体ABCD的外接球的体积为（的外接球的体积为（ ） A 125 6 B 125 9 C 125 12 D125 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】因为四面体ABCD的外接球的球心到各顶点的距离相等，设AC与BD的 交点为O点，在矩形ABCD中，可得OAOBOCOD，当沿AC翻折后，上述 等量关系不会发生改变，故得到球心，进而解得半径和体积。 【详解】 解：设AC与BD的交点为O点， 在矩形ABCD中，可得OAOBOCOD， 当沿AC翻折后，上述等量关系不会发生改变， 因为四面体ABCD的外接球的球心到各顶点的距离相等， 所以点O即为球心， 在Rt ABC中， 22
12、 5AC=AB +BC = , 第 6 页 共 20 页 故 5 ROAOBOCOD 2 ， 所以球的体积为 3 4125 VR 36 ， 故选 A. 【点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，解决问题的关键是要能准确找出球的球心与半径，属 于中档题。 10已知正数已知正数a，b满足满足 19 10ab ab ，则，则ab的最小值是（的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】令abx，用x表示出 19 ab ab ，结合基本不等式可求得 2 10160xx ，结合, a b为正数，即0x 可解出不等式的解，进而得到最小值. 【详解】 设abx，则 19 10x
13、 ab 1999 101010216 aba b xxab abbaba （当且仅当 9ab ba ，即3ba时取等号） 2 10160xx 且0x ，解得：28x，即28ab ab 的最小值为2 故选：A 【点睛】 本题考查利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够通过整体构造的方式求得ab 整体满足的不等关系，进而通过解不等式求得取值范围. 11 点 点,P x y是曲线是曲线C： 1 0yx x 上的一个动点， 曲线上的一个动点， 曲线C在点在点P处的切线与处的切线与x轴、轴、 y轴分别交于 轴分别交于A，B两点，点两点，点O是坐标原点，是坐标原点，PAPB；OAB的面积为定值；的面积为定
14、值； 曲线曲线C上存在两点上存在两点M，N使得使得OMN是等边三角形；是等边三角形； 曲线曲线C上存在两点上存在两点M，N 使得使得OMN是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（ ） 第 7 页 共 20 页 A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 设点 1 ,0P aa a ， 得到切线方程后求得,A B坐标， 进而知P为AB中点， 求得2 AOB S，从而可知正确； 过原点作倾斜角等于15和75的2条射线与曲线交于,M N，由对称性可知正确； 过原点作2条夹角等于45的射线与曲线交于,M N，由 OM ON 的值的变化过程，可知存
15、在比值等于 2和 2 2 的时刻，从而知正确. 【详解】 设点 1 ,0P aa a ，由 2 1 y x 得切线方程： 2 11 yxa aa ，即 2 12 yx aa 2 ,0Aa， 2 0,B a 1 ,P a a 为AB中点 PAPB，正确； 112 22 22 AOB SOA OBa a ，正确； 过原点作倾斜角等于15和75的2条射线与曲线的交点为,M N 由对称性可知OMN中，OMON，又 60MON OMN为等边三角形，正确； 过原点作2条夹角等于45的射线与曲线交于点,M N 当直线OM的倾斜角从90减少到45的过程中， OM ON 的值从变化到0 在此变化过程中必然存在
16、OM ON 的值为 2和 2 2 的时刻，此时OMN为等腰直角三角 形，正确. 第 8 页 共 20 页 真命题的个数为4个 故选：D 【点睛】 本题考查直线与曲线相切、相交相关命题的判断，涉及到定值、等量关系、存在性问题 的判断；判断本题中的存在性问题的关键是在确定射线倾斜角的夹角的前提下，寻找符 合题意的点的位置. 12 若平面向量 若平面向量, ,a b c满足满足3a ，2b ，1c ， 且， 且1abca b， 则， 则a b 的最大值为（的最大值为（ ） A3 2 1 B3 2 1 C2 3 1 D2 31 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用数量积的定义通过已知等式得到1a
17、bab ，利用平方运算可求得 a b 的范围； 利用 2 abab 可将ab表示为与a b 有关的形式， 进而可求 得最值. 【详解】 由1abca b得：1a babcab cab 22 22 12132a bababa ba b 2 12a b 2 32 3a b 2 132ababa b 当 2 3a b 时，ab取得最大值 2 max 134 32 312 31ab 故选：D 【点睛】 本题考查平面向量模长最值的求解问题，求解此类模长问题通常采用平方运算，将模长 运算转化为数量积运算的形式，结合平面向量数量积运算的相关知识来进行求解. 二、填空题二、填空题 13若锐角若锐角, 满足满足
18、 43 cos,cos,sin 55 则_. 【答案】【答案】 7 25 第 9 页 共 20 页 【解析】【解析】因 43 cos,cos 55 ，故 34 sin,sin() 55 ， 1697 sinsin()sin()coscos()sin 252525 ，应 填答案 7 25 。 14黎曼函数（黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出， 黎曼函数定义在黎曼函数定义在0,1上，其定义为：上，其定义为： 1 , 0,0,10,1 qq xp q pppR x x 当都是正整数， 是不可以再约分的真分
19、数 当或者上的无理数 ，若函数，若函数 f x是定义在是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且 20f xfx，当，当0,1x时，时， f xR x，则，则 103 310 ff _. 【答案】【答案】 7 30 【解析】【解析】 由已知得到 f x关于1,0对称， 结合奇函数性质可确定 f x为周期是4的 周期函数，进而将所求式子化简为 23 310 ff ；由黎曼函数的解析式可确定 2 3 f 和 3 10 f 的值，代入求得结果. 【详解】 由 20f xfx知： f x关于1,0对称 又 f x为奇函数，图象关于原点对称 f x为周期函数，周期4T 1032121117 31031031
20、031030 ffff 故答案为： 7 30 【点睛】 本题考查函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用问题，涉及到新定义运算的求解；关 键是能够通过熟练掌握周期性与对称性的关系，即两个相邻的对称轴（对称中心）之间 距离为半个周期. 第 10 页 共 20 页 15如图，正方体如图，正方体 1111 ABCDABC D的一个截面经过顶点的一个截面经过顶点A，C及棱及棱 11 A B上点上点K， 其将正方体分成体积比为其将正方体分成体积比为2:1的两部分，则的两部分，则 1 1 A K KB 的值为的值为_. 【答案】【答案】 51 2 【解析】【解析】 作出平面ACK截正方体所得的截面， 可知为等
21、腰梯形； 设 1 KBx， 可利用x 表示出 11 ,B E B F BF，利用切割的方式可表示出三棱台 1 ABCKB E的体积，利用体 积建立方程求得 1 KB，进而得到 1 A K，作比得到结果. 【详解】 设平面ACK与线段 11 BC交于点E，则截面ACEK为等腰梯形，延长两腰,AK EC交 于点F，如下图所示： 设正方体棱长为1，设 1 KBx，则 1 B Ex， 1 1 x B F x ， 1 1 1 1 BFB F x 三棱台 1 ABCKB E的体积： 1 22 1 11111 1 11 336116 ABCB EK x VSBFSB Fxxx xx 又正方体体积1 1 1
22、1V 2 111 1 336 VVxx，解得： 51 2 x 第 11 页 共 20 页 1 5135 1 22 AK 1 1 35 3551 2 25151 2 AK KB 【点睛】 本题考查空间几何体体积的相关问题的求解，关键是能够利用切割的方式，利用变量表 示出三棱台的体积，进而利用体积构造方程求得变量的值；本题同样可直接采用棱台的 体积公式来求解棱台的体积. 16等腰等腰ABC中中ABAC，三角形面积，三角形面积S等于等于 2，则腰，则腰AC上中线上中线BD的最小值等的最小值等 于于_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】由三角形面积公式可得到 2 4 sin AB A ，进而得到
23、2 AD ；利用余弦定理可表 示出 2 BD ，结合辅助角公式整理可得 24 sin4cos16sin5BDAABDA，根据正弦型函数值域可知 4 165BD ，解不等式求得结果. 【详解】 由三角形面积公式知： 2 11 sinsin2 22 SAB ACAABA 2 4 sin AB A 2 2 11 2sin ADAB A 222 414cos54cos 2cos sinsinsinsin AA BDABADAB ADA AAAA 24 sin4cos16sin5BDAABDA 4 165BD ，解得：3BD 故答案为：3 【点睛】 本题考查三角形中最值问题的求解，涉及到三角形面积公式、
24、余弦定理和辅助角公式的 应用；关键是能够利用三角形面积公式和余弦定理构造等量关系，从而结合正弦型函数 的值域构造出不等关系. 三、解答题三、解答题 第 12 页 共 20 页 17已知正数数列已知正数数列 n a满足满足 1 1a ， 2 nn Sn a . (1)求求 n a的通项公式和的通项公式和 n S； (2)令令 ! n n S b n （其中（其中!1 23nn ） ， 数列） ， 数列 n b的前的前n项和为项和为 n T， 证明：， 证明：12 n T . 【答案】【答案】 （1） 2 1 n n ,（2）证明见解析 【解析】【解析】 （1） 当2n时， 利用 1nnn aSS
25、 可得到递推关系式， 利用累乘法可求得 n a， 验证首项后可知 2 1 n a n n ；利用裂项相消法可求得 n S； （2）由（1）可得 n b，利用裂项相消法求得 n T；根据数列为正数数列和不等式的知识 可求得 n T的范围，进而证得结论. 【详解】 （1）当2n且n N时， 2 2 11 1 nnnnn aSSn ana 整理可得： 1 1 1 n n an an 1 2 2 n n an an ， 2 3 3 1 n n an an ， 3 2 2 4 a a ， 2 1 1 3 a a 1 123212 11431 n annn annnn n 2 1 n a n n 当1n
26、时， 1 1a 符合 2 1 n a n n 211 2 11 n a n nnn ， * nN 1111112 2121 223111 n n S nnnn （2）由（1）知： 211 2 !1!1 ! n n Sn b nnnnn 111111 2121 2!2!3!1 !1 ! n T nnn 1 0 1 !n 1 11 1 !n 2 n T 又0 n a 0 n b 1 1 211 2! n TT 综上所述：12 n T 第 13 页 共 20 页 【点睛】 本题考查数列通项公式的求解、 裂项相消法求解数列的前n项和的问题； 涉及到 n a与 n S 关系的应用、累乘法求解数列的通项公
27、式等知识；求解数列前n项和的关键是能够根据 通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果. 18 如图， 在多面体 如图， 在多面体 1111 ABCDABC D中， 侧棱中， 侧棱 1 AA， 1 BB， 1 CC， 1 DD都和平面都和平面ABCD 垂直，垂直，/ /ADBC， 11 2ABBCCDBBDD， 1 4AAAD， 1 1CC . (1)证明：平面证明：平面 111 BC D 平面平面 11 ABB A； (2)求直线求直线 1 BC和平面和平面 111 BC D所成角的正弦值。所成角的正弦值。 【答案】【答案】 （1）证明见解析, （2） 1 4 【解析】【解析】 （1）
28、取AD中点E，由四边形 11 BB D D为平行四边形可知 11 /BDB D；分别 利用长度关系和线面垂直的性质得到ABBD， 1 BBBD，由此得到BD 平面 11 ABB A，即 11 B D 平面 11 ABB A，由面面垂直判定定理证得结论； （2）以B为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量求法可求 得结果. 【详解】 （1）取AD中点E，连接BE，BD 11 / /BBDD且 11 BBDD 四边形 11 BB D D为平行四边形 11 / /BDB D /BCAD， 1 2 2 DEADBC 四边形BCDE为平行四边形 2BECD 1 2 B EA D A B
29、B D 第 14 页 共 20 页 1 BB 平面ABCD，BD 平面ABCD 1 B BB D 又 1 ,AB BB 平面 11 ABB A， 1 ABBBB? BD平面 11 ABB A 11 / /BDB D 11 B D平面 11 ABB A，又 11 B D 平面 111 BC D 平面 111 BC D 平面 11 ABB A （2）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则 1 0,0,2B， 1, 3,0C ， 1 1, 3,1C ， 1 0,2 3,2D 1 1, 3, 2BC ， 11 1, 3, 1BC ， 11 0,2 3,0B D 设平面 111 BC D的法向量
30、, ,nx y z 则 11 11 30 2 30 n BCxyz n B Dy ，令1x ，则0y ，1z 1, 0,1n 设直线 1 BC与平面 111 BC D所成角为 则 1 1 11 sin 42 22 BC n BCn 直线 1 BC与平面 111 BC D所成角的正弦值为 1 4 【点睛】 本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角；涉及到 线面垂直的判定与性质定理的应用等知识；关键是能够找到另一个平面的垂线，利用平 行关系的传递性找到所证平面内的另一个面的垂线. 19ABC内角内角A，B，C的对边为的对边为a，b，c，设 ，设2AB，CD平分平分ACB
31、交交AB 于点于点D . (1)证明：证明： 22 abbc ； (2)若若6a ，4b ，求，求CD的长的长. 【答案】【答案】 （1）证明见解析,(2) 3 2 第 15 页 共 20 页 【解析】【解析】 （1）利用正弦定理 sin sin aA bB 可代入已知条件和余弦定理化简得到 2222 a cb acb，整理可得到 2 acbb cbcb；当bc时，利用角 的大小关系可知为等腰直角三角形，利用勾股定理可整理出结果；当bc时，可直接 整理等式得到结果； （2）根据（1）可得c，利用角平分线定理可求得,AD BD；由 coscos0ADCBDC， 结合余弦定理可构造关于CD的方程，
32、 解方程求得结果. 【详解】 （1）由正弦定理得： 222 sinsin2 2cos sinsin aABacb B bBBac 2222 a cb acb，即： 2222 a ca bb cb 2 acbb cbcb 当bc时，BC 4 BC ， 2 A 222 bca ， 即 222 abcb c 当bc时， 22 ab cbbcb，即 22 abbc （2）由（1）得： 22 644c，即5c 根据角平分线定理 CACB ADBD 可得：2AD ，3BD 设CDx，由ADCBDC得： 22 416936 coscos0 46 xx ADCBDC xx ，解得：3 2x 角平分线CD的长等
33、于3 2 【点睛】 本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理、角平分线定理的应用；关键是能够 利用互补角余弦互为相反数的特点，结合余弦定理构造关于所求长度的方程，进而解方 程求得结果. 20已知函数已知函数 lnf xx， g xkx . (1)当当1x 时，比时，比较较 f x与与 21 1 x x 的大小；的大小； (2)若若 f x与与 g x的图象有两个不同的交点的图象有两个不同的交点 11 ,A x y， 22 ,B xy，证明：，证明： 2 12 x xe . 第 16 页 共 20 页 【答案】【答案】 （1） 21 1 x f x x ； （2）证明见解析 【解析】解析】
34、（1） 令 21 1 x h xf x x ， 由 0h x 可知 h x在 1,上是增函数， 进而得到 10h xh，得到所求大小关系； （2）分别将两交点坐标代入lnxkx，作和、作差分别表示出k，从而建立起等量关 系； 根据 （1） 中结论可得 12 1 212 2 ln xxx xxx ， 代入 12 1212 12 lnlnlnln xx xxxx xx 可整理得到所证结论. 【详解】 （1）令 2121 ln 11 xx h xf xx xx ，则 2 2 1 0 1 x h x x x h x在 1,上是增函数 10h xh ，即 21 ln 1 x x x 21 1 x f x
35、 x （2）不妨设 21 xx，则 1 2 1 x x 由题设 11 ln xkx， 22 ln xkx 1212 1212 l nl nl nl nxxxx k xxxx 由（1）的结论知： 1 122 1 12 1 212 2 21 2 lnlnln 1 x xxxx xx x xxx x 12 1212 12 lnlnlnln xx xxxx xx 12 12 1212 2 2 xxxx xxxx 2 12 x xe 【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用单调性比较大小、不等式的证明问题； 证明不等式的关键是能够利用变量k得到 12 ,x x的关系，进而利用证明过的不等关系
36、来 进行放缩整理. 21如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，侧棱中，侧棱PA 底面底面ABCD，/ /ADBC，ABAD， 3PAABBC，2AD ，点，点M在棱在棱PB上，且上，且 2BM . 第 17 页 共 20 页 (1)证明：证明：/ /AM平面平面PCD； (2)求平面求平面AMC与平面与平面PCD所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值. 【答案】【答案】(1)证明见解析,(2) 4 21 21 【解析】【解析】 （1）作/BCMN交PC于N，通过证明四边形AMND为平行四边形可得到 /AMDN，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，利
37、用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】 （1）由题意知：PAB是等腰直角三角形， 3 2PB ，则 2 2PM 作/ /BCMN交PC于N，连接DN 2 2 33 2 PMMNMN PBBC 2MN 又/ /BCMN，/ /ADBC，2ADMN 四边形AMND为平行四边形 / /AMDN 又DN 平面PCD，AM 平面PCD /AM平面PCD （2）由PA 底面ABCD，可得PAAB，PAAD 又ABAD，可知,AB AD AP两两互相垂直 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 第 18 页 共 20 页 则0,0,0A，3,3,0C，0,2,0D，0,0,3P，2,0,1M， 2,0,
38、1AM，3,3,0AC ，3,3, 3PD ，0,2, 3PC 设平面AMC的法向量为, ,mx y z 则 20 330 m AMxz m ACxy ，令1x ，得1y ，2z 1,1,2m； 设平面PCD的法向量为 111 ,nx y z 则 111 11 3330 230 n PDxyz n PCyz ，令 1 3y ，得 1 2z ， 1 1x 1, 3, 2n 设平面AMC与平面PCD所成锐二面角为，则 1 344 21 cos 21614 平面AMC与平面PCD所成锐二面角的余弦值等于 4 21 21 【点睛】 本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；易错
39、点是在 利用空间向量法求解二面角时，误认为两平面法向量所成角必为二面角；实际两平面法 向量所成角可能为二面角，也可能为二面角的补角. 22已知函数已知函数 1 x f xex， ln1g xxx . (1)当当0x时，证明时，证明 1 2 f xg x恒成立；恒成立； (2)当当0x时，若时，若 f x k g x恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】(1)证明见解析,(2) 1 , 2 【解析】【解析】 （1）令 1 2 h xf xg x，求得 h x 和 hx ，由 0hx 反推可知 h x单调递增，得到 00h xh，进而证得结论； （2）由（1）可知，
40、 1 2 k 时不等式恒成立；当 1 2 k 时，令 p xf xk g x ， 求得 p x 和 px ， 由零点存在定理可确定在0,ln2k上存在 0 x， 使得 0 0px， 由此得到在 0 0,x内， 00p xp，进而可得 00p xp，不等式不恒 成立，故 1 2 k 不合题意；综合可得最终结果. 第 19 页 共 20 页 【详解】 （1）记 11 1ln1 22 x h xf xg xexxx ，则 00h 11 1ln1 21 x h xexx x 113 ln1 2212 x ex x ，且 00 h 2 111 21 1 x hxe x x 当0x时，1 x e ，且 2 111 1 21 1 x x 0hx 00h xh h x在0,上单调递增 00h xh 1 2 f xg x在0,恒成立 （2）当0x时， ln10g xxx 1 2 k 时， 1 2 f xg xk g x恒成立 下面证明当 1 2 k 时， f xk g x不能在0,恒成立 记 1ln1 x p xf xk g xexk xx ，则 00p 1ln1 1 x x pxekx x ，且 00 p 2 11 1 1 x pxek x x 当 1 2 k 且0x时， px单调递增， 01 20pk
