1、第 1 页 共 22 页 2020 届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1在复平面内，复数在复平面内，复数(2)ii对应的点的坐标为（对应的点的坐标为（ ） A(1, 2) B(2,1) C( 1, 2) D(2, 1) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【详解】 解：复数 i（2+i）2i1 对应的点的坐标为（1，2） ， 故选：C 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2已知已知 2 3a ， 0.5 log2b ， 2 log 3c ，则（，则
2、（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用中间量隔开三个值即可. 【详解】 2 30,1a ， 0.5 log20b , 2 log 31c , cab， 故选：D 【点睛】 本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型. 3已知双曲线已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为的离心率为2，则其渐近线方程为（则其渐近线方程为（ ） A2yx B3yx C 2 2 yx D 3 2 yx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为 yb a x，再由双曲线离心率为 2，得到 c2a，由定
3、义知 b 22 3ca a，代入即得此双曲线的渐近线方程 【详解】 第 2 页 共 22 页 解：双曲线 C 方程为： 22 22 xy ab 1（a0，b0） 双曲线的渐近线方程为 yb a x 又双曲线离心率为 2， c2a，可得 b 22 3ca a 因此，双曲线的渐近线方程为 y3x 故选：B 【点睛】 本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基 本概念，属于基础题 4在在ABC中，若中，若3b ，6c ， 4 C =，则角，则角B的大小为（的大小为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 3 或或 2 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用正弦定
4、理即可得到结果. 【详解】 解：b3，c 6，C 4 ， 由正弦定理 bc sinBsinC ，可得 36 4 sinB sin ， 可得：sinB 3 2 ， cb，可得 B 3 或 2 3 ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题 5从从3名教师和名教师和5名学生中，选出名学生中，选出4人参加人参加“我和我的祖国我和我的祖国”快闪活动要求至少有一 快闪活动要求至少有一 名教师入选， 且入选教师人数不多于入选学生人数， 则不同的选派方案的种数是 （名教师入选， 且入选教师人数不多于入选学生人数， 则不同的选派方案的种数是 （ ） A20 B4
5、0 C60 D120 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组 第 3 页 共 22 页 合公式计算即可. 【详解】 由题意可分成两类： （1）一名教师和三名学生，共 13 35 30C C ； （2）两名教师和两名学生，共 22 35 30C C ； 故不同的选派方案的种数是303060. 故选：C 【点睛】 本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可 6已知函数已知函数( ) xx f xee，则，则 ( )f x（ （ ） A是奇函数，且在是奇函数，且在(0,)上单调递增上单调递增 B是奇函数，且在是奇函数，且
6、在(0, )上单调递减上单调递减 C是偶函数，且在是偶函数，且在(0,)上单调递增上单调递增 D是偶函数，且在是偶函数，且在(0, )上单调递减上单调递减 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可 【详解】 函数 xx f xee的定义域为 R， xxxx fxeeeef x ， 即 fxf x， f x 是偶函数， 当x0时， xx f xee,y? x e为增函数，y x e为减函数， f x 在0,上单调递增， 故选：C 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题 7某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正
7、方形的边长为某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体，则该几何体的体 积为（积为（ ） 第 4 页 共 22 页 A 2 3 B 4 3 C2 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，得出三棱锥的形状， 结合图形，求出该三棱锥的体积 【详解】 解：根据题意，把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，是如图所示的三棱锥 PABC， 三棱锥 PABC 的体积为： 112 21 2 333 ABC S ， 故选：A 【点睛】 本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题 8 设函数 设函数 3 (
8、 )3()f xxxa aR， 则， 则“2a ”是是“ ( )f x有且只有一个零点 有且只有一个零点”的 （的 （ ） A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 ( )f x有且只有一个零点的充要条件为 2a ,或2a，从而作出判断. 【详解】 f（x） 3 3xxa， 第 5 页 共 22 页 f（x）3x233（x+1） （x1） ， 令 f（x）0，解得：x1 或 x1， 令 f（x）0，解得：1x1， 3 3f xxxa aR在1， ，1，上单
9、调递增，在1,1上单调递 减， 且12 ?fa, 12 ?fa , 若 f x有且只有一个零点，则2a ,或2a “2a ”是“( )f x有且只有一个零点”的充分而不必要条件， 故选：A 【点睛】 本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于 中档题. 9已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为2，以，以B为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线AC相切相切.若点若点P是圆是圆B上上 的动点，则的动点，则DB AP 的最大值是（的最大值是（ ） A2 2 B4 2 C4 D8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】建立平面直角坐标系，圆B的方程为： 22 2xy,
10、44 4 DB APsin ，利用正弦型函数的性质得到最值. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则0,0B，A 0,2，D 2,2， 圆B的方程为： 22 2xy,22Pcossin， 22DB ， 222APcossin， 2 22 2444 4 DB APcossinsin 1 4 sin 时，DB AP 的最大值是 8， 故选：D 第 6 页 共 22 页 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质， 考查推理能力与计算能力，属于中档题 10笛卡尔、牛顿都研究过方程笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)xxxxy，关于这个方程的曲线有下，关
11、于这个方程的曲线有下 列说法：列说法： 该曲线关于该曲线关于y轴对称；轴对称； 该曲线关于原点对称；该曲线关于原点对称； 该曲线不经过第三该曲线不经过第三 象限；象限； 该该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数其中正确的是（曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数其中正确的是（ ） A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】以x 代 x，以x 代 x，y 代 y，判断的正误，利用方程两边的符号判断 的正误，利用赋值法判断的正误. 【详解】 以x 代 x，得到123xxxxy，方程改变，不关于y轴对称； 以x 代 x，y 代 y，得到123xxxxy ，方程改变，不关于原点对称；
12、当x0,y0时，123 0,?0,xxxxy显然方程不成立， 该曲线不经过第三象限； 令x1 ,易得12y ，即1,12适合题意，同理可得 1,02,03,0，适合题意， 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的， 故选：C 【点睛】 本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题 二、填空题二、填空题 第 7 页 共 22 页 11 4 1 2x x 的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为_. 【答案】【答案】24 【解析】【解析】先求出二项式 4 1 2x x 展开式通项公式 444 2 144 1 (2 )( )2 rrrrrr r TCxC x
13、x ， 再令420r，求出2r =代入运算即可得解. 【详解】 解：由二项式 4 1 2x x 展开式通项公式为 444 2 144 1 (2 )( )2 rrrrrr r TCxC x x ， 令420r，解得2r =，即展开式中的常数项为 4 22 4 43 2424 2 1 C ， 故答案为 24. 【点睛】 本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题. 12已知等差数列已知等差数列 n a的公差为的公差为2，若，若 1 a， 3 a， 4 a成等比数列，则成等比数列，则 2 a _；数；数 列列 n a的前的前n项和的最小值为项和的最小值为_ 【答案】【答案】6 2
14、0 【解析】【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到 a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值 【详解】 解：等差数列an的公差 d 为 2， 若 a1，a3，a4成等比数列， 可得 a32a1a4， 即有（a1+2d）2a1（a1+3d） ， 化为 a1d4d2， 解得 a18，a28+26； 数列an的前 n 项和 Snna1 1 2 n（n1）d 8n+n（n1）n29n 第 8 页 共 22 页 （n 9 2 ）2 81 4 ， 当 n4 或 5 时，Sn取得最小值20 故答案为：6，20 【点睛】 本题考查等差数列的
15、通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次 函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题 13若顶点在原点的抛物线经过四个点若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)， 1 (2, ) 2 ，(2,1)，(4,2)中的中的 2 个点，则个点，则 该抛物线的标准方程可以是该抛物线的标准方程可以是_ 【答案】【答案】 2 8xy或 2 yx 【解析】【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】 设抛物线的标准方程为： 2 xmy，不难验证 1 2,4,2 2 ， 适合，故 2 8xy； 设抛物线的标准方程为： 2 nyx，不难验证 1,14,2，适合，故 2 yx；
16、 故答案为： 2 8xy或 2 yx 【点睛】 本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 14春天即将来临，某学校开展以春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活为主题的植物种植实践体验活 动已知某种盆栽植物每株成活的概率为动已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立该学校的某班，各株是否成活相互独立该学校的某班 随机领养了此种盆栽植物随机领养了此种盆栽植物 10 株，设株，设X为其中成活的株数，若为其中成活的株数，若X的方差的方差2.1DX ， (3)(7)P XP X，则，则p _ 【答案】【答
17、案】0.7 【解析】【解析】由题意可知：X B 10, p，且 1012.1 37 pp P XP X ，从而可得p值 【详解】 由题意可知：X B 10, p 1012.1 37 pp P XP X ，即 2 100100210 0.5 pp p , 0.7p 第 9 页 共 22 页 故答案为：0.7 【点睛】 本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中 档题 15已知函数已知函数 ( )f x的定义域为 的定义域为R，且，且()2 ( )f xf x，当，当0, )x时，时， ( )sinf xx 若存在 若存在 0 (,xm ， 使得， 使得 0 ()
18、4 3f x， 则， 则m的取值范围为的取值范围为_ 【答案】【答案】 10 ,) 3 【解析】【解析】由 f（x+ ）2f（x） ，得 f（x）2f（x） ，分段求解析式，结合图象可 得 m 的取值范围 【详解】 解： 2f xf x ， 2f xf x， 当 ) 0,xp时， sinf xx 当 ,2x时， 2sinf xx 当2 ,3x时， 4sin2f xx 当3 ,4x时， 8sin3f xx 作出函数的图象： 令8sin34 3x，解得： 10 3 x ，或11 3 ， 若存在 0 ,xm ，使得 0 4 3f x，则 10 3 m ， 故答案为： 10 ,) 3 【点睛】 本题考
19、查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合 第 10 页 共 22 页 的解题思想方法，属中档题 16某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度（每层玻璃的厚度 相同）及两层玻璃间夹空气层厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 q满足关系式： 满足关系式： 1 1 2 (2) T q l d d ，其中玻璃的热传导系数，其中玻璃的热传导系数 3 1 4 10 焦耳焦耳/（厘米（厘米 度） ，不流通、干燥
20、空气的热传导系数度） ，不流通、干燥空气的热传导系数 4 2 2.5 10 焦耳焦耳/（厘米（厘米度） ，度） ， T为室内外为室内外 温度差温度差q值越小，保温效果越好现有值越小，保温效果越好现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表： 型号型号 每层玻璃厚度每层玻璃厚度d （单位：厘米）（单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度玻璃间夹空气层厚度l （单位：厘米）（单位：厘米） A 型型 0.5 3 B 型型 0.5 4 C 型型 0.6 2 D 型型 0.6 3 则保温效果最好的双层玻璃的型号是则保温效果最好的双层玻璃的型号是_型型 【答案】【答案】B
21、【解析】【解析】分别计算 4 种型号的双层玻璃窗户的q值，根据q值越小，保温效果越好即 可作出判断. 【详解】 A 型双层玻璃窗户： 3 1 4 2 4 103 20.5249 2.5 100.5 l d d ， B 型双层玻璃窗户： 3 1 4 2 4 104 20.5265 2.5 100.5 l d d ， C 型双层玻璃窗户： 3 1 4 2 4 102 20.6233.2 2.5 100.6 l d d ， D 型双层玻璃窗户： 3 1 4 2 4 103 20.6249.2 2.5 100.6 l d d ， 第 11 页 共 22 页 根据 1 1 2 2 T q l d d ，
22、且q值越小，保温效果越好 故答案为：B 【点睛】 本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计 算能力. 三、解答题三、解答题 17已知函数已知函数 2 ( )3sin22cos()f xxxm mR （1）求）求 ( )f x的最小正周期； 的最小正周期； （2）求）求 ( )f x的单调递增区间； 的单调递增区间； （3）对于任意）对于任意0, 2 x 都有都有( )0f x 恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）； （2）,() 36 kkkZ ； （3）(, 3) . 【解析】【解析】 （1）将函数进行化简，根据三角函数的周
23、期公式即可求函数 f（x）的最小正周 期 T； （2）由三角函数的图象与性质即可求函数 f（x）的单调递增区间； （3）原问题等价于 f x的最大值小于零. 【详解】 （1）因为 2 3sin22cosf xxxm 3sin2cos21xxm， 2sin 21 6 xm . 所以 f x的最小正周期 2 2 T （2）由（1）知 2sin 21 6 f xxm 又函数sinyx的单调递增区间为 2,2 22 kk (kZ) 由222 262 kxk ，kZ， 得 36 kxk ，kZ 第 12 页 共 22 页 所以 f x的单调递增区间为, 36 kkkZ . （3）因为0 2 x ，所以
24、7 2 666 x . 所以 1 sin 21 26 x .所以 2sin 213 6 mxmm . 当2 62 x ，即 6 x 时， f x的最大值为3m， 又因为 0f x 对于任意0, 2 x 恒成立，所以30m ，即3m. 所以m的取值范围是, 3 . 【点睛】 本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解 析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌 握三角函数的图象和性质 18 某学校组 某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动 设置了四个箱子， 分别写有织了垃圾分类知识竞赛活动 设置了四个箱子， 分别写有“厨余垃圾厨余垃圾
25、”、 “有有 害垃圾害垃圾”、“可回收物可回收物”、“其它垃圾其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名 称每位参赛选手从所有卡片中随机抽取称每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对张，按照自己的判断，将每张卡片放入对 应的箱子中按规则，每正确投放一张卡片得应的箱子中按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得分，投放错误得0分比如将写有分比如将写有“废废 电池电池”的卡片放入写有的卡片放入写有“有害垃圾有害垃圾”的箱子，得的箱子，得5分，放入其它箱子，得分，放入其它箱子，得0分从所有参分从所有参 赛选手中
26、随机抽取赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照人，将他们的得分按照0,20，(20,40，(40,60，(60,80， (80,100分组，绘成频率分布直方图如图：分组，绘成频率分布直方图如图： （1）分别求出所抽取的）分别求出所抽取的20人中得分落在组人中得分落在组0,20和和(20,40内的人数；内的人数； （2） 从所抽取的） 从所抽取的20人中得分落在组人中得分落在组0,40的选手中随机选取的选手中随机选取3名选手， 以名选手， 以X表示这表示这3 名选手中得分不超过名选手中得分不超过20分的人数，求分的人数，求X的分布列和数学期望；的分布列和数学期望； （3） 如果某选手将抽到的如
27、果某选手将抽到的 20 张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得 第 13 页 共 22 页 到到 100 分？请说明理由分？请说明理由 【答案】【答案】 （1）抽取的20人中得分落在组0,20的人数有2人，得分落在组(20,40的 人数有3人； （2）分布列见解析，1.2； （3）答案不唯一，具体见解析. 【解析】【解析】 （1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数； （2）X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学 期望； （3）该选手获得 100 分的概率是 20 1 4 ，结合此数据作出合理的解释.
28、 【详解】 （1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组0,20的人数有0.0050 20 202 （人） ， 得分落在组20,40的人数有0.0075 20 203（人） 所以所抽取的20人中得分落在组0,20的人数有2人，得分落在组20,40的人数有 3人 （2）X的所有可能取值为0，1，2 3 3 3 5 1 0 10 C P X C ， 12 23 3 5 6 1 10 C C P X C ， 21 23 3 5 3 2 10 C C P X C 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 6 10 3 10 所以X的期望 163 0121.2 101010 EX （3）答案不唯一
29、答案示例 1：可以认为该选手不会得到 100 分理由如下： 该选手获得 100 分的概率是 20 1 4 ，概率非常小，故可以认为该选手不会得到 100 分 答案示例 2：不能认为该同学不可能得到 100 分理由如下： 第 14 页 共 22 页 该选手获得 100 分的概率是 20 1 4 ，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该 选手不会得到 100 分 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查 分析问题解决问题的能力. 19如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是边长为是边长为2的菱形，的菱形， 3 ABC ，
30、PA 平面平面ABCD，3PA，2PFFA，E为为CD的中点的中点 （1）求证：）求证：BDPC； （2）求异面直线）求异面直线AB与与DF所成角的余弦值；所成角的余弦值； （3）判断直线）判断直线EF与平面与平面PBC的位置关系，请说明理由的位置关系，请说明理由 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 5 5 ； （3）相交，理由见解析 【解析】【解析】 （1）根据题意先证明BD 平面PAC，即可得到答案； （2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线 为z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz，求出AB、DF的坐标，利用公式即可得到结果； （3）求出平面PB
31、C的一个法向量与向量EF，根据 nEF 与零的关系，作出判断. 【详解】 （1）连结AC 因为底面ABCD是菱形 ，所以BDAC. 又因为PA 平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以PABD. 又因为PAACA， 所以BD 平面PAC. 第 15 页 共 22 页 又因为PC 平面PAC， 所以BDPC. （2）设AC，BD交于点O. 因为底面ABCD是菱形 ， 所以ACBD， 又因为PA 平面ABCD， 所以PAAC，PABD. 如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线 为z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz， 则0, 1,0A，3,0,0B，0,1,0C
32、，3,0,0D ， 3 1 ,0 22 E ， 0, 1,3P ，0, 1,1F. 则3,1,0AB ，3, 1,1DF ， 设异面直线AB与DF所成角为，则0, 2 ， |5 coscos, 5 AB DF AB DF AB DF ， 所以AB与DF所成角的余弦值为 5 5 . （3）直线EF与平面PBC相交.证明如下： 由（2）可知， 33 ,1 22 EF ，3,1,0BC ，3, 1,3BP ， 设平面PBC的一个法向量为n, ,x y z， 第 16 页 共 22 页 则 0, 0, n BC n BP 即 30, 330, xy xyz 令3x ，得n3,3,2 则 33 n,13
33、,3,20 22 EF ， 所以直线EF与平面PBC相交 【点睛】 本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属 于中档题. 20已知椭圆已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点过点 3 ( 1, ) 2 P ，且椭圆，且椭圆C的一个顶点的一个顶点D的坐的坐 标为标为( 2,0)过椭圆过椭圆C的右焦点的右焦点F的直线的直线l与椭圆与椭圆C交于不同的两点交于不同的两点A，B（A，B 不同于点不同于点D） ，直线） ，直线DA与直线与直线m：4x 交于点交于点M连接连接MF，过点，过点F作作MF的垂的垂 线与直线线与直线m交于点交于点N （1）求椭
34、圆）求椭圆C的方程，并求点的方程，并求点F的坐标；的坐标； （2）求证：）求证：D，B，N三点共线三点共线 【答案】【答案】 （1） 22 1 43 xy ，(1,0)； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）根据题意列方程组 22 2, 19 1 4 a ab ，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点 坐标； （2）讨论直线l的斜率，利用DB DN ， 是平行的证明D，B，N三点共线 【详解】 （1） 因为点 3 1, 2 P 在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为2,0， 所以 22 2, 19 1. 4 a ab 解得 2, 3. a b 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 所以
35、椭圆C的右焦点F的坐标为1,0 第 17 页 共 22 页 （2） 当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为1x 显然， 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B 或 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B 当 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B 时，直线DA的方程为 1 2 2 yx，点M的坐标为4,3 所以 1 MF k 直线FN的方程为1yx ，点N的坐标为4, 3 则 3 3, 2 DB ，6, 3DN 所以 2DNDB ，所以D，B，N三点共线 同理，当 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B 时，D，B，N三点共线 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 1yk x 由 22 1
36、 , 3412 yk x xy 得 2222 3484120kxk xk 且 2 222 84 344120kkk 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k 直线DA的方程为 1 1 2 2 y yx x ，点M的坐标为 1 1 6 4, 2 y x 所以 1 11 1 6 0 22 4 12 MF y xy k x 直线NF的方程为 1 1 2 1 2 x yx y ，点N的坐标为 1 1 32 4, 2 x y 则 22 2,DBxy， 1 1 32 6, 2 x DN y 所以 1 22 1 32
37、 26 2 x xy y 1212 1 3 224 2 xxy y y ， 第 18 页 共 22 页 2 1212 1 3 22411 2 xxkxx y ， 222 1212 1 3 142444 2 kx xkxxk y ， 22 222 22 1 34128 142444 23434 kk kkk ykk ， 222222 2 1 1 44122484434 3 234 kkkkkk yk ， 24224242 2 1 3412 164816321212 1616 234 kkkkkkkk yk 0 所以DB与DN共线， 所以D，B，N三点共线 综上所述，D，B，N三点共线 【点睛】
38、本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦 达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21已知函数已知函数( )(sin)lnf xxax，aR （1）若）若0a . （）求曲线）求曲线( )yf x在点在点(,() 22 f 处的切线方程；处的切线方程； （）求函数）求函数 ( )f x在区间 在区间(1,)内的极大值的个数内的极大值的个数 （2）若）若 ( )f x在 在, 2 内单调递减，求实数内单调递减，求实数a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） （）2ln0 2 xy ； （）1； （2）(, 1 【解析】【解析】 （1） （）求出
39、导函数，得到 2 f 与 2 f ，利用点斜式得到直线的方程； （）研究函数在区间1,内单调性，结合极值的定义得到答案； （2）由题可知 sin cos ln xa fxx x x ，其中, 2 x ，分两类情况：1a与 1a ， 第 19 页 共 22 页 结合函数的单调性与极值即可得到实数a的取值范围 【详解】 （1） （）因为 sin lnf xx x， 所以 sin cos ln x fxx x x ， 2 2 f 又因为ln 22 f ， 所以曲线 yf x在点, 22 f 处的切线方程为 2 ln 22 yx ， 化简得2ln0 2 xy （）当1, 2 x 时， 0fx ， f
40、x单调递增，此时 f x无极大值 当, 2 x 时，设 g xfx ，则 2 2cossin sin ln0 xx gxx x xx ， 所以 fx 在, 2 内单调递减 又因为 2 0 2 f ， ln0f ， 所以在, 2 内存在唯一的 0 , 2 x ，使得 0 0fx 当x变化时， fx ， f x的变化如下表 x 0 , 2 x 0 x 0, x fx 0 - - f x 所以 f x在 0 1,x内单调递增，在 0, x内单调递减，此时 f x有唯一极大值 第 20 页 共 22 页 综上所述， f x在1,内的极大值的个数为1 （2） 由题可知 sin cos ln xa fxx x x ，其中, 2 x 当1a时， 0fx ，故 f x在, 2 内单调递减； 下面设1a 对于, 2 x ， 2 lnlnln2xe ，且cos0x， 所以cos ln2cosx xx 所以当, 2 x 时， sinsin2 cos 2cos xaxaxx fxx xx 设 sin2 cosh xxxxa，, 2 x ， 则 cos2cos2 sin3cos2 sin0h xxxxxxxx 所以 h x在, 2
