1、第四章 因 式 分 解1因 式 分 解【知识再现知识再现】1.1.整式乘法类型整式乘法类型(1)(1)单项式乘以单项式单项式乘以单项式:3a4ab=_.:3a4ab=_.(2)(2)单项式乘以多项式单项式乘以多项式:a(m+n)=_.:a(m+n)=_.(3)(3)多项式乘以多项式多项式乘以多项式:(a+b)(m+n)=_.:(a+b)(m+n)=_.12a12a2 2b bam+anam+anam+an+bm+bnam+an+bm+bn2.2.特殊的整式乘法公式特殊的整式乘法公式(1)(1)平方差公式平方差公式:(a+b)(a-b)=_.:(a+b)(a-b)=_.(2)(2)完全平方公式完
2、全平方公式:(a:(ab)b)2 2=_.=_.a a2 2-b-b2 2a a2 22ab+b2ab+b2 2【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P9293:P9293:探究、填写下表探究、填写下表,观察两组等式之间的特点观察两组等式之间的特点,它们的联它们的联系和区别系和区别:a(a+1)=_a(a+1)=_(a+1)(a+1)2 2=_=_a a2 2+a=_+a=_a a2 2+2a+1=_+2a+1=_a a2 2+a+aa a2 2+2a+1+2a+1a(a+1)a(a+1)(a+1)(a+1)2 2左边特点左边特点:运用整式运用整式_,_,得出结果是得出结果是_右边特点右边特点:
3、_:_分解成了整式的分解成了整式的_总结结论总结结论:因式分解的概念因式分解的概念:把一个把一个_化成几化成几个个_的积的形式的积的形式,这种变形叫做因式分解这种变形叫做因式分解.因式因式分解也可称为分解因式分解也可称为分解因式.乘法乘法多项式多项式多项式多项式乘积乘积多项式多项式整式整式概念提升概念提升:思考整式乘法和因式分解的关系思考整式乘法和因式分解的关系?提示提示:因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程.【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.(20191.(2019武汉江岸区期末武汉江岸区期末)下列等式从左到右的变形下列等式从左
4、到右的变形,属于因式分解的是属于因式分解的是()A.xA.x2 2+2x+1=x(x+2)+1+2x+1=x(x+2)+1D DB.(x-1)(x+3)=xB.(x-1)(x+3)=x2 2+2x-3+2x-3C.xC.x2 2+4=(x+2)+4=(x+2)2 2D.-xD.-x2 2+y+y2 2 1411xyyx22（）（）2.2.若多项式若多项式x x2 2+ax+b+ax+b分解因式的结果为分解因式的结果为(x+1)(x-2),(x+1)(x-2),则则a+ba+b的值为的值为_._.-3-3知识点一知识点一 因式分解的概念因式分解的概念(P92(P92做一做拓展做一做拓展)【典例典
5、例1 1】(2019(2019江阴市期中江阴市期中)下列各式中从左到右的下列各式中从左到右的变形变形,是因式分解的是是因式分解的是()A.(a+2)(a-2)=aA.(a+2)(a-2)=a2 2-4-4B.xB.x2 2+x-1=(x-1)(x+2)+1+x-1=(x-1)(x+2)+1D DC.a+ax+ay=a(x+y)C.a+ax+ay=a(x+y)D.aD.a2 2b-abb-ab2 2=ab(a-b)=ab(a-b)【学霸提醒学霸提醒】因式分解要注意以下几点因式分解要注意以下几点(1)(1)分解的对象必须是多项式分解的对象必须是多项式.(2)(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形
6、式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3)(3)要分解到不能分解为止要分解到不能分解为止.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019济宁嘉祥一模济宁嘉祥一模)下列各式从左到右的变形中下列各式从左到右的变形中,是分解因式的是是分解因式的是()A.m(a+b+c)=ma+mb+mcA.m(a+b+c)=ma+mb+mcB.xB.x2 2+5x=x(x+5)+5x=x(x+5)B BC.xC.x2 2+5x+5=x(x+5)+5+5x+5=x(x+5)+5D.aD.a2 2+1=a+1=a 1aa（）2.982.983 3-98-98能被能被100100整除吗整除吗?能被能被9999整除吗
7、整除吗?能被能被9898整除整除吗吗?解解:98983 3-98=98(98-98=98(982 2-1)-1)=98=98(98+1)(98-1)(98+1)(98-1)=98=98999997,97,故能被故能被98,9998,99整除整除,不能被不能被100100整除整除.3.3.若若x x2 2+x+m=(x+n)+x+m=(x+n)2 2,求求m,nm,n的值的值.世纪金榜导学世纪金榜导学号号解解:(x+n)(x+n)2 2=x=x2 2+2nx+n+2nx+n2 2=x=x2 2+x+m,+x+m,2n=1,n2n=1,n2 2=m,=m,解得解得:11mn42，知识点二知识点二
8、因式分解和整式乘法的关系因式分解和整式乘法的关系(P93(P93做一做拓展做一做拓展)【典例典例2 2】已知多项式已知多项式axax2 2+bx+c+bx+c分解因式的结果是分解因式的结果是(3x+1)(4x-3),(3x+1)(4x-3),则则a+b+c=_.a+b+c=_.4 4【学霸提醒学霸提醒】因式分解与整式乘法的联系与区别因式分解与整式乘法的联系与区别(1)(1)联系联系:因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形.(2)(2)区别区别:整式乘法的左边是几个整式的乘积整式乘法的左边是几个整式的乘积,右边为和右边为和的形式的形式.因式分解的左边是多项式
9、因式分解的左边是多项式,右边是几个整式的右边是几个整式的积的形式积的形式.即即:整式乘法整式乘法:积化和积化和,因式分解因式分解:和化积和化积.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019东阿县期中东阿县期中)若若x-2x-2和和x+3x+3是多项式是多项式x x2 2+mx+n+mx+n仅仅有的两个因式有的两个因式,则则mnmn的值为的值为()A.1A.1B.-1B.-1C.-6C.-6D.6D.6C C2.2.已知已知2x2x2 2+4x-b+4x-b的一个因式为的一个因式为x-1,x-1,求求b b值值.解解:设另一个因式为设另一个因式为2x+m,2x+m,根据题意得根据题意得:2x
10、:2x2 2+4x-b=+4x-b=(x-1)(2x+m)=2x(x-1)(2x+m)=2x2 2+(m-2)x-m,+(m-2)x-m,m-2=4,-m=-b,m-2=4,-m=-b,解得解得:m=b=6,:m=b=6,则则b b值为值为6.6.3.(20193.(2019梁子湖区期中梁子湖区期中)仔细阅读下面例题仔细阅读下面例题,解答解答问题问题:世纪金榜导学号世纪金榜导学号例题例题:已知二次三项式已知二次三项式x x2 2-4x+m-4x+m有一个因式是有一个因式是(x+3),(x+3),求求另一个因式以及另一个因式以及m m的值的值.解解:设另一个因式为设另一个因式为(x+n),(x+
11、n),得得x x2 2-4x+m=(x+3)(x+n),-4x+m=(x+3)(x+n),则则x x2 2-4x+m=x-4x+m=x2 2+(n+3)x+3n,+(n+3)x+3n,解得解得:n=-7,m=-21,:n=-7,m=-21,另一个因式为另一个因式为(x-7),m(x-7),m的值为的值为-21.-21.n34,m3n,问题问题:仿照以上方法解答下面问题仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式已知二次三项式2x2x2 2+3x-k+3x-k有一个因式是有一个因式是(2x-5),(2x-5),求另一求另一个因式以及个因式以及k k的值的值.解解:设另一个因式为设另一个因式为(x+a
12、),(x+a),得得2x2x2 2+3x-k=(2x-5)(x+a),+3x-k=(2x-5)(x+a),则则2x2x2 2+3x-k=2x+3x-k=2x2 2+(2a-5)x-5a,+(2a-5)x-5a,解得解得:a=4,k=20.:a=4,k=20.故另一个因式为故另一个因式为(x+4),k(x+4),k的值为的值为20.20.2a53,5ak.【一题多解一题多解】【典例典例】分解因式分解因式(x(x2 2+5x+3)(x+5x+3)(x2 2+5x-23)+k=(x+5x-23)+k=(x2 2+5x-10)+5x-10)2 2后后,求求k k的值的值.解解:方法一方法一:(:(等式
13、左边展开等式左边展开)x x4 4+5x+5x3 3-23x-23x2 2+5x+5x3 3+25x+25x2 2-115x+3x-115x+3x2 2+15x-69+k+15x-69+k=x=x4 4+10 x+10 x3 3+5x+5x2 2-100 x-69+k.-100 x-69+k.右边展开右边展开:(x:(x2 2+5x-10)+5x-10)2 2=x=x4 4+10 x+10 x3 3+5x+5x2 2-100 x+100,-100 x+100,所以所以-69+k=100,-69+k=100,解得解得:k=169.:k=169.方法二方法二:k=(x:k=(x2 2+5x-10)
14、+5x-10)2 2-(x-(x2 2+5x+3)(x+5x+3)(x2 2+5x-23)+5x-23)=(x=(x2 2+5x)+5x)2 2-20(x-20(x2 2+5x)+100-(x+5x)+100-(x2 2+5x)+5x)2 2+20(x+20(x2 2+5x)+69=169.+5x)+69=169.【核心点拨核心点拨】本题就是已知两个式子的和本题就是已知两个式子的和,与其中的一与其中的一个加数个加数,求另一个加数的问题求另一个加数的问题.关键是正确进行多项式关键是正确进行多项式的乘法的乘法.【素养培优素养培优】如果如果x x2 2+Ax+B=(x-3)(x+5),+Ax+B=(
15、x-3)(x+5),求求3A-B3A-B的值的值.解解:x x2 2+Ax+B=(x-3)(x+5)=x+Ax+B=(x-3)(x+5)=x2 2+2x-15,+2x-15,得得A=2,B=-15.A=2,B=-15.3A-B=33A-B=32-(-15)=21.2-(-15)=21.2提公因式法【知识再现知识再现】1.a(b+c)=_,ab+ac=_.1.a(b+c)=_,ab+ac=_.2.2.因式分解概念因式分解概念:把一个多项式化成把一个多项式化成_的形的形式式,这种变形叫做因式分解这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因因式分解也可称为分解因式式.a(b+c)a(b+c)ab+a
16、cab+ac几个整式的积几个整式的积3.3.用简便方法解题用简便方法解题:_._.5551392888 551392241588【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P95,P95,归纳结论归纳结论:探究活动探究活动:ma+mb+mc=m(a+b+c).:ma+mb+mc=m(a+b+c).观察等式观察等式:等式左边的含有三项等式左边的含有三项_、_、_,_,每一项每一项都含有因式都含有因式_,_,等式右边是等式右边是_与多项式与多项式_的乘积的乘积,从左边到右边是分解因式从左边到右边是分解因式.此时此时m m叫做多项式叫做多项式ma+mb+mcma+mb+mc的各项的的各项的_._.mamam
17、bmbmcmcm mm m(a+b+c)(a+b+c)公因式公因式结论结论:提公因式法如果一个多项式的各项含有提公因式法如果一个多项式的各项含有_,_,那么就可以把这个那么就可以把这个_提出来提出来,从而将多项式化成从而将多项式化成_的形式的形式,这种因式分解的方法叫做提公因这种因式分解的方法叫做提公因式法式法.公因式公因式公因式公因式两个因式乘积两个因式乘积【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.找出下列各整式的公因式找出下列各整式的公因式:(1)4kx,8ky.(1)4kx,8ky.(2)5y(2)5y3 3,20y,20y2 2.(3)a(3)a
18、2 2b,2abb,2ab2 2,ab.,ab.(4)-4a(4)-4a2 2bcbc3 3,12ac,12ac2 2.答案答案:(1)4k(1)4k(2)5y(2)5y2 2(3)ab(3)ab(4)4ac(4)4ac2 22.2.已知已知ab=7,a+b=6,ab=7,a+b=6,求求a a2 2b+abb+ab2 2的值的值.解解:a a2 2b+abb+ab2 2=ab(a+b)=7=ab(a+b)=76=42.6=42.知识点一知识点一 公因式公因式(P95(P95例题拓展例题拓展)【典例典例1 1】(2019(2019宿州泗县期中宿州泗县期中)多项式多项式15m15m3 3n n2
19、 2+5m+5m2 2n-n-20m20m2 2n n的公因式是的公因式是_._.5m5m2 2n n【题组训练题组训练】1.1.下列多项式中下列多项式中,可以提取公因式的是可以提取公因式的是()A.xA.x2 2-y-y2 2B.xB.x2 2+x+xC.xC.x2 2-y-yD.xD.x2 2+2xy+y+2xy+y2 2B B2.(20192.(2019防城港期中防城港期中)多项式多项式:4a:4a2 2b(a-b)-6abb(a-b)-6ab2 2(b-a)(b-a)中中,各项的公因式是各项的公因式是()A.4abA.4abB.2abB.2abC.ab(a-b)C.ab(a-b)D.2
20、ab(a-b)D.2ab(a-b)D D3.3.下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A.A.多项式多项式mxmx2 2-mx+2-mx+2中各项的公因式是中各项的公因式是m mB.B.多项式多项式7a7a3 3+14b+14b各项没有公因式各项没有公因式C.xC.x2 2+y+y2 2和和x+yx+y的公因式是的公因式是x+yx+yD.D.多项式多项式10 x10 x2 2y y3 3-5y-5y3 3+15xy+15xy2 2中各项的公因式是中各项的公因式是5y5y2 2D D【我要做学霸我要做学霸】确定多项式中各项的公因式确定多项式中各项的公因式,可概括为三可概括为三“定定”:定定系数
21、系数,即确定各项系数的即确定各项系数的_;_;定字母定字母,即确定各项的即确定各项的_因式因式(或相同多项式因式或相同多项式因式););定指数定指数,即确定各项即确定各项_因式因式(或相同多项或相同多项式因式式因式)的指数的最的指数的最_次幂次幂.最大公约数最大公约数相同字母相同字母相同字母相同字母低低知识点二知识点二 提公因式分解因式提公因式分解因式(P97(P97例题拓展例题拓展)【典例典例2 2】(2019(2019市南区期末市南区期末)分解因式分解因式:(1)-2x(1)-2x2 2+18x+18x2 2y-4xyy-4xy2 2.(2)x(2)x2 2(a-1)+x(1-a).(a-
22、1)+x(1-a).【自主解答自主解答】(1)-2x(1)-2x2 2+18x+18x2 2y-4xyy-4xy2 2=-2x(x-9xy+2y=-2x(x-9xy+2y2 2).).(2)x(2)x2 2(a-1)+x(1-a)(a-1)+x(1-a)=x=x2 2(a-1)-x(a-1)(a-1)-x(a-1)=x(a-1)(x-1).=x(a-1)(x-1).【学霸提醒学霸提醒】用提公因式法因式分解的步骤用提公因式法因式分解的步骤【题组训练题组训练】1.1.计算计算(-2)(-2)2 0192 019+(-2)+(-2)2 0182 018所得的结果是所得的结果是()A.-2A.-22
23、0182 018B.-1B.-1C.-2C.-2D.2D.22 0192 019A A2.(20192.(2019迁安市期中迁安市期中)将将-a-a2 2b-2abb-2ab2 2提公因式后提公因式后,另另一个因式是一个因式是()A.-a+2bA.-a+2bB.a-2bB.a-2bC.a+2bC.a+2bD.a+bD.a+bC C3.(20193.(2019汶上期中汶上期中)如图如图,长、宽分别为长、宽分别为a,ba,b的长方的长方形的周长为形的周长为14,14,面积为面积为10,10,则则a a3 3b+abb+ab3 3的值为的值为_._.世世纪金榜导学号纪金榜导学号2902904.(20
24、194.(2019南岸区月考南岸区月考)因式分解因式分解:mn(m-n:mn(m-n)-m(n-)-m(n-m)m)2 2解解:mn(m-n)-m(n-m)mn(m-n)-m(n-m)2 2=mn(m-n)-m(m-n)=mn(m-n)-m(m-n)2 2=m(m-n)n-(m-n)=m(m-n)n-(m-n)=m(m-n)(2n-m).=m(m-n)(2n-m).【火眼金睛火眼金睛】因式分解因式分解:15a:15a2 2+45ab+5a.+45ab+5a.正解正解:15a15a2 2+45ab+5a=5a(3a+9b+1).+45ab+5a=5a(3a+9b+1).【一题多变一题多变】因式分
25、解因式分解:(a-b:(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)(x-y)-(b-a)(x+y)解解:原式原式=(a-b)(x-y)+(x+y)=(a-b)(x-y)+(x+y)=2x(a-b).=2x(a-b).【母题变式母题变式】【变式一变式一】(变换条件变换条件)因式分解因式分解:x x2 2(b+c-d)-4x(d-b-c)(b+c-d)-4x(d-b-c)-4d+4c+4b.-4d+4c+4b.解解:原式原式=x=x2 2(b+c-d)+4x(b+c-d)+4(b+c-d)(b+c-d)+4x(b+c-d)+4(b+c-d)=(b+c-d)(x=(b+c-d)(x2 2+4x+4)+
26、4x+4)=(b+c-d)(x+2)=(b+c-d)(x+2)2 2.【变式二变式二】(变换条件和问法变换条件和问法)(1)(1)因式分解因式分解:(x-y)(3x-y)+2x(3x-y).:(x-y)(3x-y)+2x(3x-y).(2)(2)设设y=kx,y=kx,是否是否存在实数存在实数k,k,使得使得(1)(1)式的化简结果为式的化简结果为x x2 2?求出所有满足条件的求出所有满足条件的k k的值的值.若不能若不能,请说明理由请说明理由.解解:(1)(1)原式原式=(3x-y)(x-y+2x)=(3x-y)(3x-y)=(3x-y)=(3x-y)(x-y+2x)=(3x-y)(3x-
27、y)=(3x-y)2 2.(2)(2)将将y=kxy=kx代入上式得代入上式得:(3x-kx)(3x-kx)2 2=(3-k)x=(3-k)x2 2=(3-k)=(3-k)2 2x x2 2;令令(3-k)(3-k)2 2=1,=1,3-k=3-k=1,1,解得解得:k=4:k=4或或2.2.3公式法【知识再现知识再现】1.4a1.4a2 2=(2a)=(2a)2 2,=(_),=(_)2 2,0.01m,0.01m2 2=(_)=(_)2 2.2.2.整式乘法中平方差公式、完全平方公式整式乘法中平方差公式、完全平方公式:(1)(a+b)(a-b)=_.(2)(a(1)(a+b)(a-b)=_
28、.(2)(ab)b)2 2=_.=_.29a253a50.1m0.1ma a2 2-b-b2 2a a2 22ab+b2ab+b2 2【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P99,P99,归纳结论归纳结论:1.1.因式分解中的平方差公式因式分解中的平方差公式:a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b).公式特征公式特征:(1)(1)公式左边公式左边:(:(是一个将要被分解因式的是一个将要被分解因式的_)_)被分解的多项式含有两项被分解的多项式含有两项(整式整式),),且这两项且这两项_,_,并且能写成并且能写成_的形式的形式(平方的差的形平方的差的形式式).).二项
29、式二项式异号异号()2 2-(-()2 2(2)(2)公式右边公式右边:这两项这两项(整式整式)的的_与这两项与这两项(整式整式)_的的_(_(是分解因式的结果是分解因式的结果).).和和差差积积2.2.因式分解中的完全平方公式因式分解中的完全平方公式:a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2;a;a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=(a-b)=(a-b)2 2.公式特征公式特征:公式左边公式左边:(1):(1)多项式是三项式多项式是三项式;(2);(2)其中有两项其中有两项_,_,且且这两项能写成数或式的平方的形式这两项能写成数或式的平方的形式;(3);(
30、3)另一项是另一项是_的的2 2倍倍.同号同号这两这两数或两式乘积数或两式乘积右边的特点右边的特点:_:_的平方的平方.找完全平方式可以紧扣下列口诀找完全平方式可以紧扣下列口诀:首平方、尾平方首平方、尾平方,首首尾相乘两倍在中央尾相乘两倍在中央.这两数或两式和这两数或两式和(或差或差)【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.下列因式分解正确的是下列因式分解正确的是()A.xA.x2 2+y+y2 2=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)B.xB.x2 2-y-y2 2=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)B BC.xC.x2 2+y+y2
31、2=(x+y)=(x+y)2 2D.xD.x2 2-y-y2 2=(x-y)=(x-y)2 22.2.请补上一项请补上一项,使下列多项式成为完全平方式使下列多项式成为完全平方式.(1)x(1)x2 2+_+y+_+y2 2.(2)4a(2)4a2 2+9b+9b2 2+_.+_.(3)x(3)x2 2-_+4y-_+4y2 2.2xy2xy12ab12ab4xy4xy(4)a(4)a2 2+_+b+_+b2 2.(5)x(5)x4 4+2x+2x2 2y+_.y+_.14ababy y2 23.3.因式分解因式分解:(1)1-36b(1)1-36b2 2.(2)0.49p(2)0.49p2 2
32、-144.-144.略略知识点一知识点一 运用平方差公式因式分解运用平方差公式因式分解(P99(P99例例1 1拓展拓展)【典例典例1 1】(2019(2019东营垦利模拟东营垦利模拟)因式分解因式分解(2a+b)(2a+b)2 2-(a+2b)(a+2b)2 2.【自主解答自主解答】(2a+b)(2a+b)2 2-(a+2b)-(a+2b)2 2=(2a+b-a-2b)(2a+b+a+2b)=(2a+b-a-2b)(2a+b+a+2b)=(a-b)(3a+3b)=(a-b)(3a+3b)=3(a-b)(a+b).=3(a-b)(a+b).【学霸提醒学霸提醒】运用平方差公式必须具备的三个条件运
33、用平方差公式必须具备的三个条件(1)(1)所给多项式为两项所给多项式为两项.(2)(2)两项符号相反两项符号相反.(3)(3)这两项的绝对值可以化成一个数这两项的绝对值可以化成一个数(或整式或整式)的平方形的平方形式式.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019周口市期末周口市期末)下列多项式不能使用平方差公下列多项式不能使用平方差公式分解因式的是式分解因式的是()A.-mA.-m2 2-n-n2 2B.-16xB.-16x2 2+y+y2 2C.bC.b2 2-a-a2 2D.4aD.4a2 2-49n-49n2 2A A2.(20192.(2019神农架期末神农架期末)因式分解因式分
34、解:16x16x4 4-y-y4 4=_._.(4x(4x2 2+y+y2 2)(2x+y)(2x-y)(2x+y)(2x-y)3.3.如图如图,图、图分别由两个长方形拼成图、图分别由两个长方形拼成,其中其中ab.ab.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)用含用含a a、b b的代数式表示它们的面积的代数式表示它们的面积,则则S S=,S S=.(2)S(2)S与与S S之间有怎样的大小关系之间有怎样的大小关系?(3)(3)请你利用上述发现的结论计算式子请你利用上述发现的结论计算式子:2 020:2 0202 2-2 019-2 0192 2.解解:(1)(1)图的面积是图的面积是a a2
35、 2-b-b2 2;图的面积是图的面积是(a+b)(a-b).(a+b)(a-b).答案答案:a a2 2-b-b2 2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)(2)(2)根据根据(1)(1)可得可得:(a+b)(a-b)=a:(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2,即即S S=S=S.(3)2 020(3)2 0202 2-2 019-2 0192 2=(2 020+2 019)(2 020-2 019)=(2 020+2 019)(2 020-2 019)=4 039=4 0391=4 039.1=4 039.知识点二知识点二 用完全平方公式因式分解用完全平方公式因式分解(P101(
36、P101例例3 3拓展拓展)【典例典例2 2】因式分解因式分解16x16x4 4-8x-8x2 2y y2 2+y+y4 4.【自主解答自主解答】16x16x4 4-8x-8x2 2y y2 2+y+y4 4=(4x=(4x2 2)2 2-2-24x4x2 2y y2 2+(y+(y2 2)2 2=(4x=(4x2 2-y-y2 2)2 2 =(2x+y)=(2x+y)2 2(2x-y)(2x-y)2 2.22xy)2xy)(【学霸提醒学霸提醒】运用完全平方公式因式分解必须具备的三个条件运用完全平方公式因式分解必须具备的三个条件(1)(1)所给的多项式为三项所给的多项式为三项.(2)(2)其中
37、有两项符号相同其中有两项符号相同,并且这两项可化为两数并且这两项可化为两数(或整或整式式)的平方的平方.(3)(3)另一项为这两个数另一项为这两个数(或整式或整式)的乘积的乘积(或其乘积相反或其乘积相反数数)的的2 2倍倍.【题组训练题组训练】1.1.下列各式不可以用完全平方公式因式分解的是下列各式不可以用完全平方公式因式分解的是 ()A.aA.a2 2-2ab+b-2ab+b2 2B.4mB.4m2 2-2m+-2m+C.9-6y+yC.9-6y+y2 2D.xD.x2 2-2xy-y-2xy-y2 214D D2.(20192.(2019河南期末河南期末)若若x x2 2-6x+a=(bx
38、-3)-6x+a=(bx-3)2 2,则则a,ba,b的值的值分别为分别为()A.9,1A.9,1B.-9,1B.-9,1C.-9,-1C.-9,-1D.9,-1D.9,-1A A3.(20193.(2019薛城期末薛城期末)一个三角形的两边长分别是一个三角形的两边长分别是4 cm4 cm和和7 cm,7 cm,第三边长为整数第三边长为整数a cm,a cm,且满足且满足a a2 2-10a+21=0,-10a+21=0,则此三角形的面积为则此三角形的面积为_cm_cm2 2.世纪金榜导学号世纪金榜导学号6 5【火眼金睛火眼金睛】已知已知a,b,ca,b,c为为ABCABC的三边的三边,且满足
39、且满足a a2 2c c2 2-b-b2 2c c2 2=a=a4 4-b-b4 4,则则ABCABC是是()A.A.直角三角形直角三角形B.B.等腰三角形等腰三角形C.C.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形正解正解:选选C.C.移项得移项得,a,a2 2c c2 2-b-b2 2c c2 2-a-a4 4+b+b4 4=0,=0,c c2 2(a(a2 2-b-b2 2)-(a)-(a2 2+b+b2 2)(a)(a2 2-b-b2 2)=0,)=0,(a(a2 2-b-b2 2)(c)(c2 2-a-a2 2-b-b2 2)=0,)=0,所以所
40、以a a2 2-b-b2 2=0=0或或c c2 2-a-a2 2-b-b2 2=0,=0,即即a=ba=b或或a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,因此因此,ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形.【一题多变一题多变】(2019(2019宣化期中宣化期中)若若x x2 2-2xy+2y-2xy+2y2 2-8y+16=0,-8y+16=0,求求x x、y y的值的值.解解:xx2 2-2xy+2y-2xy+2y2 2-8y+16=0,-8y+16=0,(x(x2 2-2xy+y-2xy+y2 2)+(y)+(y2 2-8y+16)=0,-8y+16)=0,(x-y)
41、(x-y)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=0,=0,(x-y)(x-y)2 2=0,(y-4)=0,(y-4)2 2=0,=0,y=4,x=4.y=4,x=4.【母题变式母题变式】【变式一变式一】(变换条件和问法变换条件和问法)根据你的观察根据你的观察,探究下列探究下列问题问题:已知已知ABCABC的三边长的三边长a,b,ca,b,c都是正整数都是正整数,且满足且满足a a2 2+b+b2 2-4a-4a-6b+13=0,6b+13=0,求求c c的值的值.解解:aa2 2+b+b2 2-4a-6b+13=0-4a-6b+13=0(a-2)(a-2)2 2+(b-3)+(b-3)2 2=
42、0,=0,a-2=0,b-3=0,a-2=0,b-3=0,a=2,b=3,a=2,b=3,1c5,1c5,cc为正整数为正整数,c=2c=2或或3 3或或4.4.【变式二变式二】(变换条件和问法变换条件和问法)若若ABCABC的三边长的三边长a,b,c,a,b,c,满足满足a a2 2+b+b2 2+c+c2 2-ab-bc-ac=0,-ab-bc-ac=0,请你判断请你判断ABCABC的形状的形状.略略单元复习课第四章因 式 分 解考点考点 用公式法因式分解用公式法因式分解(考查方式考查方式:先提公因式再使先提公因式再使用公式法因式分解用公式法因式分解.).)【教材这样教教材这样教】(P10
43、1P101例例4)4)把下列各式把下列各式因式分解因式分解:(1)3ax(1)3ax2 2+6axy+3ay+6axy+3ay2 2.(2)-x.(2)-x2 2-4y-4y2 2+4xy.+4xy.解解:(1)3ax(1)3ax2 2+6axy+3ay+6axy+3ay2 2=3a(x=3a(x2 2+2xy+y+2xy+y2 2)=3a(x+y)=3a(x+y)2 2.(2)-x(2)-x2 2-4y-4y2 2+4xy=-(x+4xy=-(x2 2+4y+4y2 2-4xy)-4xy)=-(x=-(x2 2-4xy+4y-4xy+4y2 2)=-x=-x2 2-2-2x x2y+(2y)
44、2y+(2y)2 2=-(x-2y)=-(x-2y)2 2.【中考这样考中考这样考】(1)(2018(1)(2018菏泽中考菏泽中考)分解因式分解因式:2x:2x3 3-6x-6x2 2+4x=_+4x=_._.(2)(2018(2)(2018威海中考威海中考)分解因式分解因式:-a:-a2 2+2a-2=+2a-2=_._.1221(a2)22x(x-2x(x-1)(x-2)1)(x-2)【专家这样说专家这样说】正确使用因式分解的各种方法正确使用因式分解的各种方法,按照先提公因式再使用按照先提公因式再使用公式法的次序进行因式分解公式法的次序进行因式分解.在中考当中在中考当中,因式分解多数因式分解多数是以填空题的形式出现是以填空题的形式出现,难度不大难度不大.
