1、 第 - 1 - 页 共 7 页 - 1 - 专题复习检测专题复习检测 A 卷 1(2019 年东北三校联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，F( 2，0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2，则椭圆 C 的方程为( ) Ax 2 4 y2 31 Bx 2 4 y2 21 Cx 2 3 y2 21 Dx 2 3y 21 【答案】B 【解析】由题意得 c 2， b2 a 1， a2b2c2， 解得 a2， b 2. 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 21. 2(2019 年福建福州模拟)抛物线 C 的顶点为原点，焦点在 x 轴上，直线 xy0
2、 与抛物 线 C 交于 A，B 两点，若 P(1,1)为线段 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为( ) Ay2x2 By22x Cx22y Dy22x 【答案】B 【解析】由题意可知 A，B 两点中必有一点是原点，不妨设 A(0,0)由 P(1,1)是线段 AB 的中点，可得 B(2,2)设抛物线方程为 y2ax，将 B(2,2)代入，可得 222a，解得 a2，即抛 物线方程为 y22x. 3若一个圆的圆心是抛物线 x24y 的焦点，且该圆与直线 yx3 相切，则该圆的标准 方程是( ) A(x1)2y21 Bx2(y1)21 C(x1)2y22 Dx2(y1)22 【答案】D 【解析】抛
3、物线 x24y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是 x2(y1)2 r2(r0)该圆与直线 yx3 相切，r|13| 2 2.该圆的标准方程是 x2(y1)2 2. 4(2019 年上海嘉定区期末)过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2y 2 21 交于 A，B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样的直线( ) A存在一条，方程为 2xy10 B存在两条，方程为 2x (y1)0 C存在无数条 第 - 2 - 页 共 7 页 - 2 - D不存在 【答案】D 【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22，y1y22，x211 2y 2 11，x 2
4、21 2y 2 21. 两式相减，得(x1x2)(x1x2)1 2(y1y2)(y1y2)0，所以 x1x2 1 2(y1y2)，即 kAB2.故所求 直线方程为 y12(x1)，即 y2x1.联立 y2x1， x21 2y 21， 化简得 2x24x30，无解， 故这样的直线不存在故选 D 5过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点 F 作斜率为 1 的直线交椭圆于 A，B 两点若向量 OA OB 与向量 a(3，1)共线，则该椭圆的离心率为( ) A 3 3 B 6 3 C 3 4 D 2 3 【答案】B 【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(c,0)直线 l 的方
5、程为 yxc，联立 yxc， x2 a2 y2 b21， 化简得(a2b2)x22ca2xa2c2a2b20，x1x22ca 2 a2b2，y1y2x1x22c 2cb2 a2b2.向 量OA OB 2ca2 a2b2， 2cb2 a2b2 .向量OA OB 与向量 a(3， 1)共线， 2ca 2 a2b23 2cb2 a2b2 0，a23b2，ec a 1b 2 a2 6 3 .故选 B 6(2019 年江西南昌模拟)已知 P(1,1)为椭圆x 2 4 y2 21 内一定点，经过 P 引一条弦交椭圆 于 A，B 两点，且此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为_ 【答案】x2y30 【解
6、析】易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y1k(x1)，A(x1，y1)，B(x2， y2)由 y1kx1， x2 4 y2 21， 消去 y，得(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0.x1x2 4kk1 2k21 .又x1x22，4kk1 2k21 2，解得 k1 2.故此弦所在的直线方程为 y1 1 2(x 1)，即 x2y30. 7双曲线 C：x 2 3y 21 的左、右焦点分别为 F 1，F2，直线 l 过 F2，且交双曲线 C 的右 第 - 3 - 页 共 7 页 - 3 - 支于 A，B 两点(点 A 在点 B 上方)，若OA 2OB 3OF1 0，则直线 l 的
7、斜率 k_. 【答案】 11 【解析】由题意知双曲线的焦点为 F1(2,0)，F2(2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB： yk(x2)，代入双曲线方程，整理得(13k2)x212k2x12k230，x1x2 12k2 13k2， x1x212k 23 13k2 . OA 2OB 3OF1 0，x12x260. 由可得 k 11或 k 11(舍去) 8设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果 直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|_. 【答案】8 【解析】由题意，直线 l 的方程为 x2，焦点 F 为(2,0)，设 A 点
8、的坐标为(2，c)，则 c0 22 3，解得 c4 3.又 PAl，P 点的纵坐标为 4 3.由(4 3) 28x，得 x6.|PF| xp 28. 9已知 M(3，y0)(y00)为抛物线 C：y22px(p0)上一点，F 为抛物线 C 的焦点，且|MF| 5. (1)求抛物线 C 的方程； (2)MF 的延长线交抛物线于另一点 N，求 N 的坐标 【解析】(1)|MF|3p 25，p4. 抛物线方程为 y28x. (2)由题意知 MF 不垂直于 x 轴，故设 MF 所在直线方程为 yk(x2)， 联立 ykx2， y28x， 整理得 k2x2(4k28)x4k20. xM xN4k 2 k
9、2 4.xM3，xN4 3. N 为 MF 的延长线与抛物线的交点，可知 yN0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB ，F 1B F2B 0，则 C 的离心 率为_ 【答案】2 【解析】如图，由F1A AB ，可得点 A 为 BF 1的中点又点 O 为 F1F2的中点，所以 OA BF2.由F1B F2B 0，可得 BF1BF2，所以 OABF1.因为渐近线 OA，OB 的方程分别为 y b ax，y b ax，所以直线 BF1的斜率为 a b. 方法一：直线 BF1的方程为 ya b(xc) 第 - 6 - 页 共
10、7 页 - 6 - 联立 ya bxc， yb ax， 解得 x a2c a2b2， y abc a2b2， 即 A a2c a2b2， abc a2b2 .联立 ya bxc， yb ax， 解得 x a2c b2a2， y abc b2a2， 即 B a2c b2a2， abc b2a2 .又由点 A 为 BF1的中点， 可得 abc b2a22 abc a2b2， 化 简得 b23a2，所 以 c2a2b24a2，e c2 a2 4a2 a2 2. 方法二：由直角三角形的性质可得BOF22BF1F2，所以 tan BOF2tan 2BF1F2， 即b a 2a b 1 a b 2，化简得
11、 b 23a2，以下同方法一 14(2019 年北京)已知抛物线 C：x22py 经过点(2，1) (1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直 线 y1 分别交直线 OM， ON 于点 A 和点 B.求证： 以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 【解析】(1)抛物线 C：x22py 经过点(2，1)，可得 42p，即 p2， 所以抛物线 C 的方程为 x24y，准线方程为 y1. (2)证明：抛物线 C：x24y 的焦点为 F(0，1) 设直线 l 方程为 ykx1(k0) 由 x24
12、y， ykx1， 可得 x24kx40. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得 x1x24k，x1x24. 直线 OM 的方程为 yy1 x1x. 令 y1，得 xx1 y1，即 A x1 y1，1 . 同理可得 B x2 y2，1 . 设 y 轴上的点 D(0，n)，则DA x1 y1，1n ，DB x2 y2，1n ， 第 - 7 - 页 共 7 页 - 7 - 则DA DB x1x2 y1y2(n1) 2 x1x2 x 2 1 4 x 2 2 4 (n1)2 16 x1x2(n1) 24(n1)2. 令DA DB 0，即4(n1)20，则 n1 或3. 综上所述，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点(0,1)和(0，3)
