1、1哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲9.2 9.2 实二次型实二次型 2x1,x2,xn(,)()nnnijijijf x xxa x x12111naij,ijjiaa i jn1 23(,),()nnnijijijjiijf x xxa x xaa1211nna xa x xa x x2111121211nnnnnnnnna x xa xa x xa x xa x xa x2212122222211224(,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxxaaa1112112122221212(,),(),nijx xxaXAT12令令(,)()nf x
2、 xx X AXT122AAATR(A)5(,)2221231231 21 32 3324f x x xxxxx xx xx x(,)f x x x123f 3,A13121121212xxx X123f X AXT6,A100 0210 0 0210 0 0210 002(,)x x x xXT1234A(,)xxfx x x xxxX AX1T2123434100 0210 0 0210 0 0210 002x xx x12347B=CTACAB nnABC8APPTAP=P-1AP=A都与都与9A2 0 203 02 0 2(),(),(),()ABCD123413430000()()0
3、 EA20203034202A的特征值为的特征值为0,-3,4.又又AA10 下面研究可以用三种方法化下面研究可以用三种方法化为为ix2ijx x11X=CYTCTACCC C12,CX=CYC(,)2221212nnf yyyk yk yk y(,),(,)nnx xxyyyXYTT1212f=YT Y13对任意对任意n元元 f=XTAXX=PY f=1y12+2y22+nyn2 其中其中 1,2,nAn P唯一唯一?但但P 不唯一不唯一.14P AX=PYf AP 15222123121323444xxxx xx xx xff 1 2 22 1 22 2 1 AA16 EA12221222
4、1A,12351 1=5 42252 4222 4 EA1=(1,1,1)T,()()0 251(2)111131 (5)0EA X1 010 110 0 017 2=-12221 1 12220 0 02220 0 0 EA2=(1,0,-1)T,3=(0,1,-1)T2,32311110,226110EA18123(,)P 511P APT则则X=PYTTTf X AXY P APYT2221235151yyyYY11132612036111326令令1920f 化化2213122fxxx x 212211232fxx xx222211222311()()222xx xxxx2221223
5、11()224xxxx112223312yxxyxyx22222123124fyyy112223312xyyxyxy23123123(,),(,)Xx x xYy yyTT1102010001CCX=CY222123124fyyy24CTAC=,C 的的x12x1x21122123344xyyxyyxyxy25 CPi(i=1,2,s)C=P1P2Ps,2612TTTTs21sC ACPP P APPP12nddd272n nAETC ACCA=CTAC EC2801 01 1 101 1TfXXAa11=0,2901 01 1 101 110 001 000 1AE1 0001 10 100
6、 101 110 011 0 001 00 0 10 1 11 1 00 0 111 11 0 010 101 010 000 1300 1 11 1 0,0 0 1 C令令作可逆线性变换作可逆线性变换X=CY,则则01 01 1 101 1TTfXXY DY222123yyy311 0 201 12 1 1TfXXAa11 0a1103213321 0 21 0001 101 12 1 12 131 0 01 020 1 00 100 0 10 01cccAE13321 0001 10 131 020 100 01rrr 2331 0001 00 121 020 110 01ccc 3322
7、31 0001 00 02.1 020 110 01rrr 1 020 1 10 0 1 P令令作可逆线性变换作可逆线性变换X=PY,则则2221231 0 201 122 1 1TfyyyXX34 21 011 0 01,21,01 2330 2 2ABCA,B,C 哪些相似哪些相似?哪些合同哪些合同?(1)A是对角阵是对角阵,B是上三角阵是上三角阵,且有且有3个个互异特征值与互异特征值与A相同相同,所以所以B 可以相可以相似对角阵化为似对角阵化为A.即即A与与B相似相似.(2)因为因为A是对角阵是对角阵,所以与所以与A合同的矩阵必合同的矩阵必 是对称阵是对称阵,而而B不是对称阵不是对称阵,A与与B不合同不合同.35(3)0E C1232,1,3 C,-1TQQQQQC=CA正正交交故故C AC B C B 不合同不合同,(否则否则C B 合同合同,由由AB 也合同也合同,与与(2)矛盾矛盾)或因为或因为C是对称阵是对称阵,与对称阵合与对称阵合同的矩阵必是对称阵同的矩阵必是对称阵,而而B不是对称阵不是对称阵,所以所以C与与B不合同不合同.36
