1、解直角三角形的应用解解直直角角三三角角形形1.1.两锐角两锐角之间的关系之间的关系:2.2.三边三边之间的关系之间的关系:3.3.边角边角之之间的关系间的关系A+B=90A+B=90a a2 2+b+b2 2=c=c2 2CAB的邻边的对边正切函数：斜边的邻边余弦函数：斜边的对边正弦函数：AAAAAAAtancossin 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做角的过程，叫做解直角三角形解直角三角形.温故知新修路、挖河、开渠和筑坝修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要标明时，设计图纸上都要标明斜坡的倾斜程度斜坡的倾斜程
2、度.hli铅垂高度l水平长度坡面的铅垂高度坡面的铅垂高度（h h）和水平长度和水平长度（l）的比叫做坡面的比叫做坡面坡度坡度（或（或坡比坡比）.记作记作i i,即即i i=.=.lh坡度通常写成坡度通常写成11m m的形式，如的形式，如 i=16i=16.坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作叫做坡角，记作，有，有i i=tantan.显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.试一试试一试1.1.如图如图（1 1）若）若h=2cmh=2cm，l=5cm=5cm，则，则i=i=；（2 2）若）若i=1:1.5i=1:1.5，h=2mh=2m，则，则
3、l=；ABhlC2.2.水库的横断面是梯形水库的横断面是梯形ABCDABCD，迎水坡，迎水坡ABAB的坡度的坡度i=1i=1：2 2，坝，坝高高h=20mh=20m，迎水坡的水平宽度，迎水坡的水平宽度=，tantan=；3m3m40m40m5221例例1 1、水库堤坝的横断面是梯形、水库堤坝的横断面是梯形.测得测得BCBC长为长为6 6 m,CDm,CD长为长为60 m,60 m,斜坡斜坡CDCD的坡比为的坡比为1:2.5,1:2.5,斜坡斜坡ABAB的坡比为的坡比为1:3,1:3,求求:(1)(1)斜坡斜坡CDCD的坡角的坡角D D和坝底的宽和坝底的宽(角度精确到角度精确到1,1,宽度精确到
4、宽度精确到0.1m);0.1m);A AB BD DC CF FE E【解析解析】作作BEAD,BEAD,CFAD.CFAD.在在RtRtCDFCDF中中,tanDtanD 0.4,0.4,CFCFDFDF1 12.52.5D21D214848CFCFCDCDsinDsinD6060sin21sin214822.28(m)4822.28(m)DFDFCDCDcosDcosD6060cos21cos214855.71(m)4855.71(m)BEBEAEAE 1 13 3 AE AE3BE3BE 3CF3CF66.84(m),66.84(m),ADADAEAEBCBCDFDF66.8466.84
5、6 655.7155.71128.55128.6(m).128.55128.6(m).A AB BD DC CF FE E【解析解析】设横断面面积为设横断面面积为S mS m3 3.则则S S (BC(BCAD)AD)CFCF1 12 21 12 2 (6(6128.55)128.55)22.28 22.28 1 498.9(m1 498.9(m2 2),),需用土石方需用土石方V Vs s l(2)(2)若堤坝长若堤坝长 150m,150m,问建造这个堤坝需用多少土石方问建造这个堤坝需用多少土石方?(?(精确到精确到1 m1 m3 3)l1498.91498.9150150224 835(m
6、224 835(m3 3)答答:斜坡斜坡CDCD的坡角约为的坡角约为212148,48,坡底宽约为坡底宽约为128.6m,128.6m,建造这个堤建造这个堤坝需用土石方约坝需用土石方约224 835m224 835m3 3.例例1 1 水库堤坝的横断面是梯形水库堤坝的横断面是梯形.测得测得BCBC长为长为6m,CD6m,CD长为长为60m,60m,斜坡斜坡的坡比为的坡比为1:2.5,1:2.5,斜坡斜坡ABAB的坡比为的坡比为1:3,1:3,求求:1.1.某人沿着坡角为某人沿着坡角为4545的斜坡走了的斜坡走了310 m310 m，则此人的，则此人的垂直高度增加了垂直高度增加了_m._m.22
7、.2.已知堤坝的横断面是等腰梯形已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCDABCD，上，上底底CDCD的宽为的宽为a a，下底，下底ABAB的宽为的宽为b b，坝高为，坝高为h h，则堤坝的坡度则堤坝的坡度i i=_=_（用（用a a,b b,h h表示）表示）.ADCB310310abh2练一练练一练例例2 2、体育项目、体育项目400 m400 m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45 m.45 m.在弯道处，以跑道离内侧在弯道处，以跑道离内侧0.3 m0.3 m处的弧线（如图中的处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程虚线）的长度作为相邻两栏架之间
8、的间隔路程.已知跑道的已知跑道的内侧线半径为内侧线半径为36 m36 m，问在设定，问在设定A A栏架后，栏架后，B B栏架离栏架的距栏架离栏架的距离是多少（离是多少（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到0.1 m0.1 m）?363636.336.3O OA AB B36.336.33636O OA AB B4545【解析解析】连结连结AB,AB,由题意得由题意得ABAB45m,OB45m,OB36.3m36.3m由弧长公式由弧长公式l nRnR180180 得得 n n180 180 lnn 71.06(71.06(度度).).18018045453.143.1436.336.3作
9、作OCABOCAB于于C.C.OAOAOB,OB,ABABACAC且且AOCAOC1 12 2 AOBAOB35.5335.53ACACOAsinAOCOAsinAOC36.336.3sin35.53sin35.5321.09(m)21.09(m)ABAB2AC2AC2221.0921.0942.2(m).42.2(m).答答:B:B栏架离栏架离A A栏架的距离约为栏架的距离约为42.2m.42.2m.C C1.1.如图是一污水管的横截面如图是一污水管的横截面,已知污水管的内径为已知污水管的内径为70 cm.70 cm.污水污水的高度为的高度为10cm.10cm.求污水截面面积求污水截面面积s
10、.s.1010单位单位:厘米厘米【解析解析】A AB BC CD DE EO O在在RtRtAOEAOE中中,OAOA3535,OE,OE35-1035-1025 25.coscosAOEAOE 25253535AOE44.4AOE44.4,AOC88.8AOC88.8SSS S扇形扇形OACOACS SAOCAOCS S扇形扇形OACOAC88.888.835352 2360360AEAE 35352 225252 2 24.5,24.5,S SAOCAOC 2 224.524.525251 12 2948.8(948.8(),),612.5(612.5(2 2)948.8948.8612.
11、5612.5336(336(2 2)答答:污水截面面积约为污水截面面积约为336 336 2 2.702.2.如图如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形燕尾槽的横断面是一个等腰梯形ABCD,ABCD,其中燕尾角其中燕尾角B=55B=55,外口宽外口宽AD=188 mm,AD=188 mm,燕尾槽的深度是燕尾槽的深度是70 mm,70 mm,求它的里求它的里口宽口宽BC(BC(结果精确到结果精确到1 mm).1 mm).A AB BC CD D3.3.一个锥形零件的轴截面如图所示，已知倾角一个锥形零件的轴截面如图所示，已知倾角=5.2=5.2,零件的长度零件的长度l=20 cm=20 cm，大头直径
12、，大头直径D=10 cmD=10 cm，求小头直径，求小头直径d d（精（精确到确到0.1 cm0.1 cm）.D Dd dL L2.01:2.51:2B CA D E F例例1 1 如图如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度坡度由原来的由原来的1:21:2改成改成1:2.5,1:2.5,已知原背水坡长已知原背水坡长BD=13.4BD=13.4米米,求求:(1)(1)原背水坡的坡角原背水坡的坡角 和加宽后的背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角 .(2)(2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少加宽后水坝的横截面面积增加了多少(精确到精确到0.01 m0.01
13、 m2 2)?)?探探究究题题如图，在进行测量时，如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.知识小贴士知识小贴士例例2 如图，为了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度ABAB，在离电线杆，在离电线杆22.722.7米的米的C C 处，用高处，用高1.201.20米的测角仪米的测角仪CDCD测得电线杆顶端测得电线杆顶端B B的仰的仰角角2222，求电线杆，求电线杆ABAB的高（精确到的高（精确到0.10.1米）米）你会解吗？你会解吗？例例2在在RtRtBDE
14、BDE中，中，【解析解析】如图，为了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度ABAB，在离电线杆，在离电线杆22.722.7米米的的C C处，用高处，用高1.201.20米的测角仪米的测角仪CDCD测得电线杆顶端测得电线杆顶端B B的仰角的仰角2222，求电线杆，求电线杆ABAB的高（精确到的高（精确到0.10.1米）米）9.179.171.201.2010.410.4（米）（米）ACACtantanCDCDABABBEBEAEAE BEBEDEDEtantan ACACtantan 答答:电线杆的高度约为电线杆的高度约为10.410.4米米A A1 2001 200米米B BC C3030
15、试一试试一试1.1.如图，某飞机于空中如图，某飞机于空中A A处探测到目标处探测到目标C C，此时飞行高度，此时飞行高度AC=1 200AC=1 200米，从飞机上看地平面控制点米，从飞机上看地平面控制点B B的俯角的俯角=30=30度，度，求飞机求飞机A A到控制点到控制点B B距离距离 .2.如图所示，站在离旗杆如图所示，站在离旗杆BEBE底部底部1010米处的米处的D D点，目测旗杆的顶点，目测旗杆的顶部，视线部，视线ABAB与水平线的夹角与水平线的夹角BACBAC为为3434，并已知目高，并已知目高ADAD为为1 1米算出旗杆的实际高度（精确到米算出旗杆的实际高度（精确到1 1米）米）
16、.例例3 3、海防哨所、海防哨所0 0发现发现,在它的北偏西在它的北偏西3030,距离哨所距离哨所500 m500 m的的A A处有一艘船向正东方向行驶处有一艘船向正东方向行驶,经过经过3 3分时间后到达哨所东北方分时间后到达哨所东北方向的向的B B处处.问船从问船从A A处到处到B B处的航速是多少处的航速是多少km/h(km/h(精确到精确到1km/h)?1km/h)?北北东东3045O OAB B500500北北东东30304545OA AB BC C【解析解析】在在RtRtAOCAOC中中,OAOA500 m,AOC500 m,AOC3030,ACACOAsinAOCOAsinAOC5
17、00sin30500sin30500500 250 (m).250 (m).3 32 23 3在在RtRtBOCBOC中中,BOC,BOC4545,5005000.50.5250(m)250(m)OCOCOAcosAOCOAcosAOCBCBCOCOC250 (m).250 (m).3 3ABABAC+BCAC+BC250+250+250 250 3 3250(1+)250(1+)3 360603 33 3250(1+)(m).250(1+)(m).14 000(m/h)14 000(m/h)14(km/h)14(km/h)答答:船的航速约为船的航速约为14km/h.14km/h.303045
18、458 8千米千米A AB BC CD D1.1.某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A A处测得某岛在北偏东处测得某岛在北偏东6060的的方向上，前进方向上，前进8 8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东4545的方向的方向上，问（上，问（1 1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？（2 2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？做一做做一做24mDACB分析分析:过过D D作作DEBC,DEBC,E问题可化归为解直角三角问题可化归为解直角三角形形.例例4 4、如图，两建筑物的水平距离、如图，两建筑物的水平距离BCBC为为24m,24m,从点从点
19、A A测得点测得点D D 的的俯角俯角3030,测得点测得点C C 的俯角的俯角6060,求求AB AB 和和CD CD 两座建两座建筑物的高（结果保留根号）筑物的高（结果保留根号）.F已知已知:BC:BC24 m,24 m,3030,6060.求求:AB,CD:AB,CD的高的高.【解析解析】过过D D作作DEBC,DEBC,则则DEAB,DEAB,E在在RtRtABCABC中中,ACBACBFACFAC6060,ABABBCBCtanACBtanACB在在ADEADE中中,ADEADEDAFDAF3030,DEDEBCBC24,24,AEAEDEDEtanADEtanADE3 3 2424
20、tan30tan308 824tan6024tan602424 3 3CDCDABABAEAE24 24 8 83 33 316 16 3 3答答:两座建筑物的高分别两座建筑物的高分别为为24 m24 m和和16 m.16 m.3 33 3F FE EA A303015m15m2.2.小华去实验楼做实验小华去实验楼做实验,两幢实验楼的高度两幢实验楼的高度AB=CD=20 m,AB=CD=20 m,两两楼间的距离楼间的距离BC=15mBC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为，已知太阳光与水平线的夹角为3030，求，求南楼的影子在北楼上有多高？南楼的影子在北楼上有多高？北北A AB BD DC C
21、2020m m1515m m30E EF F南南练一练练一练探究活动探究活动CAB思考：思考：当三角形变成平行四边形时当三角形变成平行四边形时,平行四边形的两邻边分别平行四边形的两邻边分别为为a,ba,b,这组邻边所夹的锐角为这组邻边所夹的锐角为时，则它的面积能否用这三时，则它的面积能否用这三个已知量来表示呢？个已知量来表示呢？如图如图,在在ABCABC中中,A,A为锐角为锐角,sinAsinA=,AB+AC=6 cm,=,AB+AC=6 cm,设设AC=x cm,AC=x cm,ABCABC的面积为的面积为y cmy cm2 2.(1)(1)求求y y关于关于x x的函数关系式和自变量的函数
22、关系式和自变量x x的取值范围的取值范围;(2)(2)何时何时ABCABC的面积最大的面积最大,最大面积为多少最大面积为多少?D D321.1.通过实践了解仰角和俯角在解直角三角形中的作用通过实践了解仰角和俯角在解直角三角形中的作用.2.2.解直角三角形的应用是数学中的应用问题，反映现实领解直角三角形的应用是数学中的应用问题，反映现实领域特征的问题情景，它包含着一定的数学概念、方法和结域特征的问题情景，它包含着一定的数学概念、方法和结果果.3.3.通过对实际问题的抽象提炼，分辨出解直角三角形的基通过对实际问题的抽象提炼，分辨出解直角三角形的基本模式，用常规的代数方法解决问题本模式，用常规的代数方法解决问题.回顾整理回顾整理 归纳小结归纳小结再 见！
