1、21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 直接开平方法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p0)的方程.(重点）导入新课导入新课复习引入平方根1.如果 x2=a,则x叫做a的 .2.如果 x2=a(a 0),则x=.3.如果 x2=64,则x=.a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法的概念一 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完1
2、0个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 106x2=1500，由此可得x2=25根据平方根的意义，得即x1=5，x2=5.可以验证，5和5是方程 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.（2）当p=0
3、 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；（3）当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ，；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得 x=30，x1=30,x2=30.典例精析6,x1266xx，在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5，得得用直接开平方法解方程二对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流35,x 3
4、535.xx，或123535xx ，或于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解下列方程：（x1）2=2；典例精析 解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24=0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.典例
5、精析 x1=，547.4 x2=例2 解下列方程：(3)12（32x）23=0.典例精析解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2=p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求
6、解.2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=3,x1=;4741x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1、下列解方程的过程中，正确的是（）2(A)x2=-2,解方程，得x=(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 .(2)方程2x2=18的根是 .(3)方程(2x-1)2=9的根是 .3.解下列方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)
7、2=4.x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x21解：x19,x29；解：x15,x25；解：x11,x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy 能力拓展：方程x2+6x+4=0可以用直接开平方法解吗？如果不能，那么请你思考能否将其转化成平方形式？课堂小结课堂小结直接开平方法概 念步 骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=
8、p(p 0)或（x+n)2=p（p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法见本课时练习课后作业课后作业21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 配方法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.想一想：练一练:1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p
9、(p0)的形式，再利用开平方讲授新课讲授新课配方的方法一问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）43x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？探究交流22232342422()323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+()2=(x+)22p2p配方的方法用配方法解方程二探究交流怎样解方程(2)x2+6x+4=
10、0问题1 方程(2)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程
11、降次，转化为一元一次方程求解配方法解方程的基本步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22一次项系数（）典例精析45,x 例1 解下列方程：21810 xx；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得即配方，得2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx 2 2213 xx；解：移项，得2x23x=1,方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以将方程各项的系数除以二次项系数即移项和二次项系数化为1这两
12、个步骤能不能交换一下呢?配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得2364,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 33640.xx为什么方程两边都加12？即即配方法的应用二典例精析例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k24k5的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以k24k5的值必定大于零.归纳总结配方法的应用 类别类别 解题策略解题策略1.求最值或求最值或证明代数式证明代数式的值为恒正的
13、值为恒正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.2.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方利用配方构成非负数构成非负数和的形式和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.当堂练习当堂练习1.解下列方程：（
14、1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；233024xx解：，2321().416x12321321,44xx；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.2.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整
15、理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.3.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.解：（1）2x2-4x+5 =2(x-1)2+3 当x=1时有最小值3 （2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4 当x=2时有最大值-4课堂小结课堂小结配方法定 义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.方 法在方程两边都配上2.2二次项系数（）步 骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22二次项系数（）特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+
16、q=0的形式.应 用求代数式的最值或证明见本课时练习课后作业课后作业21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.2 公式法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.导入新课导入新课复习引入1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?讲授新课讲授新课 求根公式的推导一 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2
17、+bx+c=0 ()能否也用配方法得出()的解呢？用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).方程两边都除以a 解:移项，得配方，得222.22bbcbxxaaaa 即2224.24bbacxaa 2axbxc ，2bcxxaa，用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).24.2bbacxa 24.22bbacxaa 即一元二次方程一元二次方程的求根公式的求根公式特别提醒a 0,4a20，当b2-4ac 0时，用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).a 0,4a20，当b2-4ac 0时，22240.24bbacxaa 而
18、x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.2.42bbacxa 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0)，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.注意 公式法解方程二 例1 用公式法解方程程 5x2-4x-12=0解：a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.242bbacxa 242b
19、bacxa典例精析(4)25641628=25105 1262,5xx 242bbacxa 例2 解方程：232 3xx化简为一般式：22330 xx 1-2 33.abc、解：（），2242 34130bac 即：123.xx 这里的a、b、c的值是什么？（-2 3）2 303.2 12x 例3 解方程：4x2-3x+2=0224,3,2.4(3)4 4 2932230.abcbac 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤 1.变形:化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算:b2-4ac的值;4.判断：若b2-4ac 0
20、，则利用求根公式求出;若b2-4ac 0 =0 0.所以所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.这里这里a=5,b=-8,c=1，能力提升：在等腰ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求ABC 的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以所以=b24ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；）；所以所以AB
21、C 的三边长为的三边长为4，4，5，其周长为，其周长为4+4+5=13.课堂小结课堂小结公式法求 根公 式步 骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.242bbacxa根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式见本课时练习课后作业课后作业21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.3 因式分解法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次
22、方程.（难点）导入新课导入新课情境引入我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（）（x1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x5）=0的解吗？讲授新课讲授新课因式分解法解一元二次方程一问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10 x-4.9x2 =0 解：2100049xx，22210050500494949xx ，22
23、50504949x，50504949x，50504949x ，20.x 解：a=4.9,b=-10,c=0.242bbacxa 10102 4.9，b24ac=(10)244.90 =100.110049x，20.x 公式法解方程10 x-4.9x2=0.配方法解方程10 x-4.9x2=0.10 x-4.9x2=0.110049x，因式分解如果a b=0，那么 a=0或 b=0.10,x 21002.0449x 两个因式乘积为 0，说明什么或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？10 x-4.9x2 =0 x(10-4.9x)=0 x=0 10-4.9x=
24、0 上述解法中,由到的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移-方程的右边=0;二分-方程的左边因式分解;三化-方程化为两个一元一次方程;四解-写出方程两个解;简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解试一试：下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；(1)x1=0,x2=2；(2)(y+2)(y-3)=0；(2)y1=-2,y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；(3)x1=-2,x2=2；(4)x2=x.(4)x1=0,x2=1.例1 解下列方程：22
25、1220;132522.44x xxxxxx解：（1）因式分解，得于是得x20或x1=0,x1=2，x2=1.(2)移项、合并同类项，得2410.x 因式分解，得 (2x1)(2x1)=0.于是得2x1=0或2x1=0,1211,.22xx(x2)(x1)=0.可以试用多种方法解本例中的两个方程.典例精析灵活选用方法解方程二典例精析例2 用适当的方法解方程：（1）3x（x+5）=5（x+5）；（2）（5x+1）2 =1；分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.解：化简 (3x-5)(x+5)=0.即 3x -5=0 或 x+5=0.5.,35 21xx分析：方程一边以平方形
26、式出现，另一边是常数，可直接开平方法.解：开平方,得 5x+1=1.解得,x 1=0,x2 =（3）x2 -12x=4 ;（4）3x2=4x+1；分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.解：配方,得 x2-12x+62=4+62,即 (x-6)2 =40.开平方,得 解得 x1=,x2=分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.解：化为一般形式 3x2 -4x+1=0.=b2-4ac=28 0,填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.拓展提升一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0（p2-4q 0）(x+m
27、)2n（n 0）ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)(x+m)（x+n）01.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ax2+bx=0），），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.要点归纳解法选择基本思路 x2-3x+1=0 ；3x2-1=0 ；-3t2+t=0 ；x2-4x=2；2x2-x=0；5(m+2)2=8；3y2-y-1=0；2x
28、2+4x-1=0；(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法 ；适合运用因式分解法 ；适合运用公式法 ；适合运用配方法 .当堂练习当堂练习1.填空 2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18.解:原方程化为：(x-5)(x+2)=18 .由x-5=3,得x=8;由x+2=6,得x=4;所以原方程的解为x1=8或x2=4.3.解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=,x2=.x2+x-2=0-21解:原方程化为：x2 -3x-28=0，(x-7)(x+4)=0，x1=7，x2=-4.221363
29、241210.xxx；解：化为一般式为因式分解，得x22x+1=0.(x1)(x1)=0.有 x 1=0 或 x 1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x 11)=0.有 2x+11=0 或 2x 11=0，121111,.22xx 4.解方程：5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径解：设小圆形场地的半径为r，根据题意 (r+5)2=2r2.因式分解，得52520.rrrr 于是得2+50250.rrrr或1255,().2112rr舍去答：小圆形场地的半径是5m.21课堂小结课堂小结因式分解法概 念步 骤简记歌诀：右化零 左分
30、解两因式 各求解如果a b=0，那么，那么a=0或或b=0.原 理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).见本课时练习课后作业课后作业21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课导入新课复习引入1.一元二次
31、方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0 时,方程无实数根.讲授新课讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一 算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两 根关 系x1x2x2+3x-4=0 x2-5x+6=02x2+3x+1
32、=0-412312-1x1+x2=-3 x1 x2=-4x1+x2=5x1 x2=6231022xx1232xx 1212x x 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？u重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1 x2=q.猜一猜 （2）如果一元二
33、次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？12bxxa 12cx xa22124422bbacbbacxxaa 22442bbacbbaca 22ba.ba证一证：22124422bbacbbacxxaa 22244bbaca244aca.ca一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么12bx+x=-a12cx xa注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.1.x2-2x-15=0；例例1 口答下列方程的两根之和与两根之积.2.x2-6x+4=0；3.2x2+3x-5=0；4
34、.3x2-7x=0；5.2x2=5.x1+x2=-p,x1 x2=q.x1+x2=2,x1 x2=-15.x1+x2=6,x1 x2=4.235+-=022xx12123522xxx x ，1212703xxx x，22-50 x1212502xxx x，ax2+bx+c=0(a0)两边都除以a20bcxxaa12bxxa 12cxxa一元二次方程的根与系数的关系的应用二典例精析121.3xx121x x 1222.3xx1233.2xx 124.0 xx1223x x 1213x x 120 x x 下列方程的两根和与两根积各是多少？x23x+1=0；3x22x=2；2x2+3x=0；3x2
35、=1.在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用x1+x2=时，“”不要漏写.ba注意例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一个根是 ，k=-7.,5k3.53()5356,5已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1x2=1
36、5=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,3m例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22xxxx 解：根据根与系数的关系可知：22212112212,xxxx xx2221212122xxxxx x231132;224 121212113123.22xxxxx x 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).411412221)(xx2221xxu 总结常见的求值:12111.xx1212;xxx x124.(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx22121
37、2xxx x2121212()2;xxx xx x125.xx212()xx21212()4.xxx x2221212122.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳当堂练习当堂练习1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p=,q=.1-232-33.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根据根与系数的关系 所以
38、（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；12,xxk1 21.2kx x1()1 4,2kk （2）因为k=-7,所以 则：1 24.xx 127,x x22212121 2()()474(4)65.xxxxxx 课堂小结课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内 容如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应 用常见变形222121212()2xxxxx x22121212()()4xxxxx x12121211xxxxxx12bxxa 12cx xa见本课时练习课后作业课后作业
