1、6.2概率、统计解答题2高考命题规律高考命题规律1.每年必考考题,多以实际问题为背景,阅读量较大.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有6种命题角度,分布如下表:34高考真题体验典题演练提能离散型随机变量的分布列与期望、方差1.(2019北京17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:5高考真题体验典题演练提能(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A
2、,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.6高考真题体验典题演练提能解:(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有
3、100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.由题设知,事件C,D相互独立,7高考真题体验典题演练提能所以X的分布列为 故X的数学期望E(X)=00.24+10.52+20.24=1.8高考真题体验典题演练提能(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于
4、2 000 元的人答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000 元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.9高考真题体验典题演练提能2.(2019天津16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望
5、;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.10高考真题体验典题演练提能所以,随机变量X的分布列为 11高考真题体验典题演练提能12高考真题体验典题演练提能3.(2018全国20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.14高考真题体验典题演练提
6、能4.(2017山东18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).15高考真题体验典题演练提能16高考真题体验典题演练提能17高考真
7、题体验典题演练提能1.2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为拓展市场,某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计,得到如下数据:18高考真题体验典题演练提能(1)如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”,否则“非优”,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关?(2)如果不考虑其他因素,为拓展市场,甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传.在城市被选中的条件下,求城市也被选中的概率;以X表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数,求随机变量X的
8、分布列及数学期望E(X).下面临界值表供参考:19高考真题体验典题演练提能解:(1)根据题意列出22列联表如下:所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌无关.20高考真题体验典题演练提能21高考真题体验典题演练提能2.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有3个红球和7个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出3个球.(1)设表示摸出的红球的个数,求的分布列和数学期望;(2)为了提高同学们参与游戏的积极性,参加游戏的同学每人可摸球两次,每次摸球后放回,若规定两次共摸出红球的个数不少于n,且中奖概率大于60%时,即中奖,求n的最大值.22高考
9、真题体验典题演练提能23高考真题体验典题演练提能24高考真题体验典题演练提能3.2017年被称为“新高考元年”,随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案,新一轮的高考改革还将继续在全国推进.辽宁地区也将于2020年开启新高考模式,今年秋季入学的高一新生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等6科中任选三科(共20种选法)作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某地区为了顺利迎接新高考改革,在某学校理科班的200名学生中进行了“学生模拟选课数据”调查,每个学生只能从表格中的20种课程组合选择一种学习.模拟选课数据统计如下表:25高考真题体验典题演练提能26高考真题体验典
10、题演练提能为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人要学习生物的概率;(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,记这3人中要学习生物的人数为X,要学习政治的人数为Y,设随机变量=X-Y,求随机变量的分布列和数学期望.27高考真题体验典题演练提能解:(1)选择学习物理且学习化学的学生有9人,其中学习生物的有4人,(2)物化生组合有4人,X的可能取值为0,1,2,3,物化政组合1人,Y的可能取值为0,1,的可能取值为-1,0,1,2,3.28高考真题体验典
11、题演练提能的分布列为 29高考真题体验典题演练提能4.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件,求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率;(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用X表示乙车间的零件个数,求X的分布列与数学期望.30高考真题体验典题演练提能31
12、高考真题体验典题演练提能随机变量X的分布列为 32高考真题体验典题演练提能5.某市有两家共享单车公司,在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车,已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为21.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量,决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验,若每辆单车被抽取的可能性相同.(1)求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色单车的概率;(2)在骑行体验过程中,发现蓝色单车存在一定质量问题,监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测,并规定若抽到的是蓝色单车,则抽样结束,若抽取的是黄色单车,则将其放回市场中,并继续从市场中随机地抽取下一辆单车,并规定抽样的次数最多不超过n(nN
13、*)次.在抽样结束时,已取到的黄色单车以表示,求的分布列和数学期望.33高考真题体验典题演练提能(2)的可能取值为0,1,2,n.所以的分布列为:34高考真题体验典题演练提能35高考真题体验典题演练提能统计图表与数据分析及应用1.(2019全国17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:36高考真题体验典题演练提能记C为事件:“乙离子残留在体内
14、的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.37高考真题体验典题演练提能2.(2018全国18
15、)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.38高考真题体验典题演练提能为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.39高考真题体验典题演练提能利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2
16、000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年40高考真题体验典题演练提能至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得
17、到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)41高考真题体验典题演练提能3.(2016全国19)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:42高考真题体验典题演练提能以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年
18、内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?43高考真题体验典题演练提能解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=2
19、0)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.所以X的分布列为44高考真题体验典题演练提能(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.当n=20时,E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当n
20、=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.45高考真题体验典题演练提能4.(2015全国18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);46高考真题体验典题演练提能(2)根据用户满意度评分,
21、将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.47高考真题体验典题演练提能解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.48高考真题体验典题演练提能(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度
22、等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).49高考真题体验典题演练提能1.(2019北京东城一模)改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).50高考真题体验典题演练提能(1)从2007年至20
23、16年随机选择1年,求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率;(2)从2007年至2016年随机选择3年,设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)51高考真题体验典题演练提能所以X的分布列为:(3)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.52高考真题体验典题演练提能2.某超市计划销售某种食品,现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两
24、个商家提供的返利方案如下:甲商家每天固定返利60元,且每卖出一件食品商家再返利3元;乙商家无固定返利,卖出30件以内(含30件)的食品,每件食品商家返利5元,超出30件的部分每件返利8元.经统计,两个商家的试销情况茎叶图如下:(1)现从甲商家试销的10天中抽取两天,求这两天的销售量都小于30件的概率;(2)若将频率视作概率,回答以下问题:记商家乙的日返利额为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售,如果仅从日平均返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为超市作出选择,并说明理由.53高考真题体验典题演练提能解:(1)记“抽取的两天销售量都小于30件”为事
25、件A,(2)设乙商家的日销售量为a,则当a=28时,X=285=140;当a=29时,X=295=145;当a=30时,X=305=150;当a=31时,X=305+18=158;当a=32时,X=305+28=166.所以X的所有可能取值为:140,145,150,158,166.所以X的分布列为54高考真题体验典题演练提能依题意,甲商家的日平均销售量为:280.2+290.4+300.2+310.1+320.1=29.5.所以甲商家的日平均返利额为:60+29.53=148.5元.由得乙商家的日平均返利额为152.8元(148.5元),所以推荐该超市选择乙商家长期销售.55高考真题体验典题
26、演练提能3.某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在100,150),150,200),200,250),250,300),300,350),350,400)(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.56高考真题体验典题演练提能(1)现按分层抽样从质量为250,300),300,350)的芒果中随机抽取9个,再从这9个中随机抽取3个,记随机变量X表示质量在300,350)内的芒果个数,求X的分布列及数学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出如下两种
27、收购方案:A:所有芒果以10元/千克收购;B:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?57高考真题体验典题演练提能解:(1)9个芒果中,质量在250,300)和300,350)内的分别有6个和3个.则X的可能取值为0,1,2,3.所以X的分布列为 58高考真题体验典题演练提能(2)方案A:(1250.002+1750.002+2250.003+2750.008+3250.004+3750.001)5010 000100.001=25 750(元).方案B:低于250克:(0.002+0.002+0.003)5010 0
28、002=7 000(元),高于或等于250克:(0.008+0.004+0.001)5010 0003=19 500(元),总计:7 000+19 500=26 500(元).由25 750E(X3)E(X1),因此企业应选方案二.69高考真题体验典题演练提能6.某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过1 kg的包裹收费10元;重量超过1 kg的包裹,除1 kg收费10元之外,超过1 kg的部分,每超出1 kg(不足1 kg的按1 kg计算)需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下:公司对近60天,每天揽件数量统计如下表:70高考真题体验典题演练提能以上数据已做近似处理,并将
29、频率视为概率.(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400之间的概率;(2)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人,每人每天揽件不超过150件,工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?71高考真题体验典题演练提能(2)样本中快递费用及包裹件数如下表:故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.72高考真题体验典题演练提能根据题意及,揽件数每增加1,可使前台工资和公司利润增 将题目中的天数转
30、化为频率,得 73高考真题体验典题演练提能故公司平均每日利润的期望值为2605-3100=1 000(元);若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下:74高考真题体验典题演练提能若裁员1人,则每天可揽件的上限为300件,公司每日揽件数情况如下:故公司平均每日利润的期望值为2355-2100=975(元).因9751 000,故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.75高考真题体验典题演练提能统计图表与概率分布列的综合(2019天津15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加
31、扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.76高考真题体验典题演练提能试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.77高考真题体验典题演练提能解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从
32、中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种.由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11种.78高考真题体验典题演练提能1.从某校高中男生中随机选取100名学生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图,如图所示.(1)估计该校的100名同学的平均体重(同一组数据以该组区间的中点值作代表);(2)若要
33、从体重在60,70),70,80)内的两组男生中,用分层抽样的方法选取5人,再从这5人中随机抽取3人,记体重在60,70)内的人数为,求其分布列和数学期望E().79高考真题体验典题演练提能解:(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为:0.05,0.35,0.30,0.20,0.10,故估计100名学生的平均体重约为:450.05+550.35+650.30+750.20+850.10=64.5.(2)由(1)及已知可得:体重在60,70)及70,80)的男生分别为0.30100=30(人),0.20100=20(人).从中用分层抽样的方法选5人,则体重在60,70)内的应选3人,体重在70,
34、80)内的应选2人,从而的可能取值为1,2,3,80高考真题体验典题演练提能其分布列为:81高考真题体验典题演练提能2.(2019河南郑州一月质检)2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量.(1)若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区A
35、QI的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值;(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布,11月份仅有一天AQI在170,180)内.82高考真题体验典题演练提能83高考真题体验典题演练提能郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的AQI为标准,如果AQI小于180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率,求该校周日进行社会实践活动的概率;在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价,设抽取到AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望.84高考真题体验典题演练提能解:(1)设重度
36、污染区AQI的平均值为x,则742+1145+2x=1189,解得x=172.即重度污染区AQI平均值为172.(2)由题意知,AQI在170,180)内的天数为1,由表可知,AQI在50,170)内的天数为17天,故11月份AQI小于180的天数为1+17=18,由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,且 85高考真题体验典题演练提能则X的分布列为 86高考真题体验典题演练提能3.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图所示的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1 mm的茎为27,叶为1.(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小
37、;(只需写出估计的结论,不需说明理由)87高考真题体验典题演练提能(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其他质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.88高考真题体验典题演练提能解:(1)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在 89高考真题体验典题演练提能故的分布列为:90高考真题体验典题演练提能4.为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间
38、进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:91高考真题体验典题演练提能(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数.(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选到的男生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.92高考真题体验典题演练提能解:(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.可估计全校中每天学习不足4小时的人数(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4人,故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.93高考真题体验典题演练提能所以随机变量X的分布列为 94高考真题
39、体验典题演练提能5.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y,制成下图,其中“*”表示甲村贫困户,“+”表示乙村贫困户.95高考真题体验典题演练提能若0 x0.6,则认定该户为“绝对贫困户”,若0.6x0.8,则认定该户为“相对贫困户”,若0.8x1,则认定该户为“低收入户”;若y100,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”.(1)从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能
40、脱贫的绝对贫困户”的概率;(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用表示所选3户中乙村的户数,求的分布列和数学期望E();(3)试比较这100户中,甲、乙两村指标y的方差的大小(只需写出结论).96高考真题体验典题演练提能解:(1)由题图知,在甲村50户中,“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户,所以从甲村50户中随机选出一户,该户为“今年不能脱贫的绝(2)由题图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,依题意,的可能值为0,1,2,3.从而97高考真题体验典题演练提能所以的分布列为:(3)这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差.98高考真题体验典
41、题演练提能6.为选拔选手参加“中国诗词大会”,某中学举行一次“诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在50,60),90,100的数据).99高考真题体验典题演练提能(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“中国诗词大会”,设随机变量X表示所抽取的2名学生中得分在80,90)内的学生人数,求随机变量X的分布列及数学期
42、望.100高考真题体验典题演练提能y=0.100-0.005-0.015-0.040-0.010=0.030.(2)分数在80,90)内的学生有30人,分数在90,100内的学生有10人,抽取的2名学生中得分在80,90)的人数X可能取值0,1,2,101高考真题体验典题演练提能则X的分布列为 102高考真题体验典题演练提能二项分布与正态分布1.(2017全国19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天
43、内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性;103高考真题体验典题演练提能下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:104高考真题体验典题演练提能105高考真题体验典题演练提能解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=
44、1-0.997 4160.040 8.X的数学期望为EX=160.002 6=0.041 6.(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.106高考真题体验典题演练提能107高考真题体验典题演练提能2.(2014全国18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布
45、直方图:108高考真题体验典题演练提能(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求E(X).109高考真题体验典题演练提能s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150)
46、,从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 6.由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知XB(100,0.682 6),所以E(X)=1000.682 6=68.26.110高考真题体验典题演练提能1.为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,随机抽取了某大学的2 000名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:(1)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出Z服从正态分布N(51,152),若该所大学共有学生45 000人,试估计有多少位学生旅游费用支出在8 100元以
47、上;(2)已知样本数据中旅游费用支出在80,100)范围内的9名学生中有5名男生,4名女生,现想选其中3名学生回访,记选出的女生人数为Y,求Y的分布列与数学期望.附:若XN(,2),则P(-x+)=0.682 6,P(-2x+2)=0.954 4,P(-3x+3)=0.997 3.111高考真题体验典题演练提能所以该校旅游费用支出在8 100以上的人数为45 0000.022 8=1 026(人).(2)由题意可得,Y的取值有0,1,2,3,共4种情况,112高考真题体验典题演练提能Y的分布列如下表:113高考真题体验典题演练提能2.(2019山东济宁一模)某学校为了了解全校学生的体重情况,从
48、全校学生中随机抽取了100人的体重数据,结果这100人的体重全部介于45 kg到75 kg之间,现将结果按如下方式分为6组:第一组45,50),第二组50,55),第六组70,75),得到如图(1)所示的频率分布直方图,并发现这100人中,其体重低于55 kg的有15人,这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示,以样本的频率作为总体的概率.114高考真题体验典题演练提能(1)求频率分布直方图中a,b,c的值;(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在55,65)的人数,求X的概率分布列和数学期望;(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重近似服从正态分布N(,2),其中=60,2=25
49、.若P(-20.954 5,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.115高考真题体验典题演练提能解:(1)由图(2)知,100名样本中体重低于50 kg的有2人,可得体重 即c=0.07.116高考真题体验典题演练提能(2)用样本的频率估计总体的概率,可知从全体学生中随机抽取一人,体重在55,65)的概率为0.0710=0.7,随机抽取3人,相当于三次独立重复试验,随机变量X服从二项分布B(3,0.7),则所以,X的概率分布列为:E(X)=30.7=2.1.(3)由N(60,25)得=5,得P(-2+2)=P(500.954 5.所以可以认为该校学生的体重是正
50、常的.117高考真题体验典题演练提能3.(2019山西晋城二模)一年之计在于春,一天之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端,某种植户对一块地的n(nN*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为 ,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.(1)当n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2)当n=4时,用X表示要补播种的坑的个数,求X的分布列与数学期望.118高考真题体验典题演练提能解:(1)对一个坑而言,要补播种的概率 解得5n6,因为nN*,所以n=5,6.119高考真题体验典题演练提能所以X的
