1、泊松分布泊松分布2定义定义3 3.2.2若离散型随机变量X的概率分布用公式表示为则称离散型随机变量X服从参数为的泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布3泊松分布是一种常见分布,在实际问题中,服从泊松分布的离散型随机变量很多 如一匹布上疵点的个数 一本书一页上印刷错误的个数 在一天中进入某商店的人数 某段时间内电话交换台收到呼唤的次数 某段时间内候车室里旅客的人数泊松分布的数学期望与方差泊松分布的数学期望与方差4定理定理3 3.2.2如果离散型随机变量X服从参数为的泊松分布,则其数学期望与方差数学期望与方差分别为E(X)=D(X)=例例1 15一页书上印刷错误的个数一页书上印刷错误的个数X是一个离散型
2、随机变量是一个离散型随机变量,它服从参数为它服从参数为的泊松分布的泊松分布,一本书共一本书共300页页,有有21个个印刷错误印刷错误,求任取求任取1页书上没有印刷错误的概率页书上没有印刷错误的概率.例例1 16事件X=0表示任取1页书上没有印刷错误,其发生的概率为例例2 27一个铸件上砂眼的个数一个铸件上砂眼的个数X是一个离散型随机变量是一个离散型随机变量,它它服从参数为服从参数为=0.8的泊松公布的泊松公布,规定砂眼个数不多于规定砂眼个数不多于1个的铸件为合格品个的铸件为合格品,求铸件的合格品率求铸件的合格品率.解:事件X1表示砂眼个数不多于1个,即铸件为合格品注意到在X1范围内,离散型随机
3、变量X的可能取值只有两个,即X=0与X=1例例2 28有概率PX1=PX=0+PX=1=e-0.8+0.8e-0.8=1.8e-0.80.808 8所以铸件的合格品率为1.8e-0.80.808 8例例3 39每分钟内电话交换台收到呼唤的次数每分钟内电话交换台收到呼唤的次数X是一个离散是一个离散型随机变量型随机变量,它服从参数为它服从参数为的泊松分布的泊松分布,平均每分钟平均每分钟内电话交换台收到内电话交换台收到3次呼唤次呼唤,求任意一分钟内电话交求任意一分钟内电话交换台收到呼唤次数超过换台收到呼唤次数超过2次的概率次的概率.解:由于平均每分钟内电话交换台收到3次呼唤,即离散型随机变量X的数学
4、期望E(X)=3又由于离散型随机变量X服从参数为的泊松分布,说明离散型随机变量X服从参数为=E(X)=3的泊松分布例例3 310事件X2表示一分钟内电话交换台收到呼唤次数超过2次,注意到在X2范围内,离散型随机变量X的可能取值有无限可列个,即X=3,X=4,因此考虑它的因此考虑它的对立事件对立事件事件X2的对立事件是事件X2,注意到在X2范围内,离散型随机变量X的可能取值只有三个,即X=0,X=1及X=2例例3 311根据1.2加法公式的特殊情况,事件X2发生的概率为PX2=1-PX2=1-(PX=0+PX=1+PX=2)例例3 312例例4 413某种花布一匹布上疵点的个数某种花布一匹布上疵
5、点的个数X是一个离散型随机是一个离散型随机变量变量,它服从参数为它服从参数为的泊松分布的泊松分布,已知一匹布上有已知一匹布上有8个疵点与有个疵点与有7个疵点的可能性相同个疵点的可能性相同,问一匹布上平均问一匹布上平均有多少个疵点有多少个疵点?解:由于已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同,即概率PX=8=PX=7例例4 414又由于离散型随机变量X服从参数为的泊松分布,从而有关系式即有例例4 415注意到0,因此得到参数=8于是数学期望即均值E(X)=8所以一匹布上平均有8个疵点例例5 516某种商品日销售量某种商品日销售量X百件是一个离散型随机变量百件是一个离散型随机变量,它服从参数
6、为它服从参数为=2的泊松分布的泊松分布,求求:(1)这种商品任这种商品任1日销售量恰好为日销售量恰好为2百件的概率百件的概率;(2)这种商品任这种商品任4日销售量皆为日销售量皆为2百件的概率百件的概率.例例5 517解:(1)事件X=2表示这种商品任1日销售量为2百件,其发生的概率为所以这种商品任1日销售量恰好为2百件的概率为2e-20.2706.例例5 518(2)这种商品任4日销售量中销售量为2百件的日数Y是一个离散型随机变量,它服从参数为n=4,p=2e-2的二项分布,即离散型随机变量YB(4,2e-2)事件Y=4表示这种商品任4日销售量皆为2百件,其发生的概率为所以这种商品任4日销售量
7、皆为2百件的概率为16e-80.0048例例6 619已知离散型随机变量已知离散型随机变量X服从参数为服从参数为=4的泊松分布的泊松分布,则概率则概率PX=2=.解:由于离散型随机变量X服从参数为=4的泊松分布,因此概率0.1465例例7 720设离散型随机变量设离散型随机变量X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布,且已且已知它取值为零的概率知它取值为零的概率PX=0=e-1,求求:(1)参数参数值值;(2)概率概率PX=3.例例7 721解:(1)由于离散型随机变量X服从参数为的泊松分布,因此概率它应等于所给概率值e-1,有关系式e-=e-1所以得到参数=1例例7 722(2)由于离散型
8、随机变量X服从参数为=1的泊松分布,所以概率例例8 823设离散型随机变量设离散型随机变量X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布,且已且已知有概率等式知有概率等式PX=1=PX=2,求求:(1)参数参数值值;(2)概率概率P2X0,所以得到参数=2例例8 825(2)由于离散型随机变量X服从参数为=2的泊松分布,注意到在2X6范围内,离散型随机变量X的可能取值只有三个,即X=3,X=4及X=5所以概率P2X6=PX=3+PX=4+PX=5例例8 826(3)数学期望E(X)=2(4)方差D(X)=2例例9 927已知离散型随机变量已知离散型随机变量X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布
9、,则则离散型随机变量离散型随机变量X2的数学期望的数学期望E(X2)=().(a)(b)2(c)-2(d)+2解:根据2.2定理2.1即计算方差的简便公式D(X)=E(X2)-(E(X)2得到数学期望E(X2)=D(X)+(E(X)2=+2d例例101028已知离散型随机变量已知离散型随机变量X,Y皆服从泊松分布皆服从泊松分布,若数学期若数学期望望E(X)=16,E(Y)=3,则下列方差计算结果中则下列方差计算结果中()正正确确.例例101029解:由于离散型随机变量X,Y皆服从泊松分布,因而方差D(X)=E(X)=16D(Y)=E(Y)=3根据2.4随机变量方差的性质3,于是方差D(-Y)=(-1)2D(Y)=13=330考虑离散型随机变量X,它服从参数为n,p的二项分布,即离散型随机变量离散型随机变量XB(n,p)当n10,p0.1,且使得=np5时,则离散型随机变量X近似服从参数为=np的泊松分布在计算泊松分布的概率时,可以查泊松分布概率值表泊松分布概率值表31在表中第一行找到给定的参数值,再在表中第一列找到离散型随机变量X的取值i,其纵横交叉处的数值即为所求概率值如已知离散型随机变量X服从参数为=5的泊松分布,查附表一可以得到概率PX=2=0.084 2PX=5=0.175 532
