1、标准正态分布标准正态分布2定义定义3 3.4.4若连续型随机变量X的概率密度为则称连续型随机变量X服从标准正态分布标准正态分布,记作XN(0,1)标准正态分布性质标准正态分布性质3标准正态分布的概率密度标准正态分布的概率密度0(x)具有下列性质具有下列性质:性质10(-x)=0(x),说明函数0(x)为偶函数偶函数,图形对称于纵轴;标准正态分布性质标准正态分布性质4性质2计算一阶导数令一阶导数0(x)=0,得到驻点x=0.列表如表标准正态分布性质标准正态分布性质5x(-,0)0(0,+)0(x)+0-0(x)标准正态分布性质标准正态分布性质6性质3计算二阶导数令二阶导数0(x)=0,得到根x=
2、-1与x=1.列表如表标准正态分布性质标准正态分布性质7x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)0(x)+0-0+y=0(x)标准正态分布概率密度曲线标准正态分布概率密度曲线8标准正态分布的概率密度曲线如图标准正态分布标准正态分布函数函数9标准正态分布标准正态分布函数函数10有极限根据反映变上限定积分重要性质的定理,得到一阶导数0(x)=0(x)说明函数0(x)为0(x)的一个原函数标准正态分布概率计算标准正态分布概率计算11由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等于它的概率密度在该区间上的积分它的概率密度在该区间上的积分,因而概率PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=0(b)-0(a)
3、标准正态分布概率计算标准正态分布概率计算12作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率PXa=PXa=1-0(a)标准正态分布函数值标准正态分布函数值14注意到标准正态分布函数0(x)不是初等函数,因而直接计算函数值是很困难的,必须通过查标准正态分查标准正态分布函数布函数表表得到结果表中第一列为x的整数及十分位数,表中第一行为x的百分位数,其纵横交叉处的数值即为函数值0(x)如查表得到函数值0(0)=0.5,0(1)=0.841 3,0(1.96)=0.975 0,0(2)=0.977 2标准正态分布函数值标准正态分布函数值15标准正态分布函数表中x的取值范围为0,3.9),若x3.9,则可取函数
4、值0(x)1若x取值为-a0)查表可以得到函数值0(a),进而计算出函数值0(-a)标准正态分布函数值标准正态分布函数值18应用上述关系式,容易得到概率P|X|k(k0)=P-kXk=0(k)-0(-k)=0(k)-(1-0(k)=20(k)-1标准正态分布概率公式标准正态分布概率公式19综合上面的讨论,得到利用标准正态分布函数表计算标准正态分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从标准正态分布,即连续型随机变量XN(0,1),则概率PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=0(b)-0(a)概率公式特殊情况概率公式特殊情况20作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率PXa=PXa=1-0(a)P|
5、X|0)在计算概率的过程中,用到函数值0(0)=0.50(-a)=1-0(a)(a0)例例1 121已知连续型随机变量已知连续型随机变量X服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1),查查表得函数值表得函数值0(1)=0.841 3,则则概率概率P-1X0=.解:根据标准正态分布概率的计算公式,同时注意到函数值0(0)=0.5,因此概率P-1X0=0(0)-0(-1)=0(0)-(1-0(1)=0(0)+0(1)-1=0.5+0.841 3-1=0.341 30.3413例例2 222已知连续型随机变量已知连续型随机变量XN(0,1),查表得函数值查表得函数值0(2)=0.977 2,求求:(
6、1)概率概率P|X|2;(2)概率概率PX-2.例例2 223解:根据标准正态分布概率的计算公式,所以概率(1)P|X|2=20(2)-1=20.977 2-1=0.954 4(2)PX=0.025,则常数则常数=_.解:根据标准正态分布概率的计算公式,得到概率PX=1-0()例例3 325它应等于所给概率值0.025,有关系式1-0()=0.025即函数值0()=0.975 0查表,得到常数=1.96正态分布正态分布26定义定义3 3.5.5若连续型随机变量X的概率密度为则称连续型随机变量X服从参数为,的正态分布正态分布,记作XN(,2)容易看出容易看出,当参数当参数=0,=1时时,正态分布
7、就化为标准正正态分布就化为标准正态分布态分布,所以标准正态分布所以标准正态分布是正态分布的特殊情况是正态分布的特殊情况.正态分布正态分布27正态分布的概率密度曲线对称于直线对称于直线x=,参数决定曲线的中心位置若参数若参数增大则曲线向右平移增大则曲线向右平移,若参数若参数减少则曲线减少则曲线向左平移向左平移参数参数决定曲线的形状决定曲线的形状,若参数若参数越大则曲线越平坦越大则曲线越平坦,若参数若参数越小则曲线越陡峭越小则曲线越陡峭正态分布正态分布28正态分布的概率密度曲线如图正态分布是最常见也是最重要的一种分布,取中间值可能性大且取两头值可能性小的连续型随机变量通常都服从正态分布正态分布与标
8、准正态分布正态分布与标准正态分布29定理定理3 3.4.4YN(0,1)正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布30正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布31于是得到利用标准正态分布函数表计算正态分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从参数为,的正态分布,即连续型随机变量XN(,2),则概率PaXb=PaXb=PaXb=PaXb正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布32作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布33考虑连续型随机变量XN(,2),计算它在区间(-3,+3)内取值的概率根据正态分布概率的计算公式,有概率P-3X+3=0(3)
9、-0(-3)=0(3)-(1-0(3)=20(3)-1=20.998 7-1=0.997 4正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布34从这个计算结果可以看出:连续型随机变量X的取值几乎全部落在区间(-3,+3)内,落在这个区间外的概率不到0.003尽管服从正态分布的随机变量X的取值范围是(-,+),但往往认为它的取值范围是有限区间(-3,+3),这个结论称为3原则原则正态分布的数学期望与方差正态分布的数学期望与方差35定理定理3 3.5.5如果连续型随机变量X服从参数为,的正态分布,即连续型随机变量XN(,2),则其数学期望与方差数学期望与方差分别为E(X)=D(X)=2正态分布的数学期
10、望与方差正态分布的数学期望与方差36定理3.5说明正态分布中的两个参数与分别是服从正态分布的连续型随机变量的数学期望与标准差.因而若已知数学期望与方差若已知数学期望与方差,则完全确定正态分布则完全确定正态分布.推论如果连续型随机变量推论如果连续型随机变量X服从标准正态分布服从标准正态分布,即即连续型随机变量连续型随机变量XN(0,1),则其数学期望则其数学期望E(X)=0,方方差差D(X)=1例例4 437已知连续型随机变量已知连续型随机变量XN(-3,4),则连续型随机变量则连续型随机变量Y=()N(0,1).解:由于已知连续型随机变量XN(-3,4),说明参数=-3,=2,因此连续型随机变
11、量b例例5 538已知连续型随机变量已知连续型随机变量XN(4,9),查表得函数值查表得函数值0(1.96)=0.975 0,则概率则概率PX0,因此概率P|X-|1.16=20(1.16)-1=20.877 0-1=0.754 0例例7 741已知连续型随机变量已知连续型随机变量XN(40,52),若若概率概率PXa=0.985 0,则常数则常数a=.解:根据正态分布概率的计算公式,得到概率例例7 742它应等于所给概率值0.985 0,即函数值查表,得到关系式因此常数a=50.85例例8 843某大学男生体重某大学男生体重Xkg是一个连续型随机变量是一个连续型随机变量,它服从它服从参数为参
12、数为=58kg,=2kg的正态分布的正态分布,从中任选从中任选1位男生位男生,求这位男生体重在求这位男生体重在55kg60kg的概率的概率.(函数值函数值0(1)=0.841 3,0(1.5)=0.933 2)解:事件55X60表示任选1位男生体重在55kg60kg,根据正态分布概率的计算公式,其发生的概率为例例8 844P55X2 100表示任意调查1位职工月收入高于2 100元,根据正态分布概率的计算公式,其发生的概率为PX2 100=1-0(0.5)=1-0.691 5=0.308 5所以任意调查1位职工月收入高于2 100元的概率为0.308 5,意味着该地区月收入高于2 100元的职
13、工数占全体职工数的30.85%例例111150已知连续型随机变量已知连续型随机变量XN(0,2),则连续型随机变量则连续型随机变量X2的数学期望的数学期望E(X2)=().(a)0(b)1(c)(d)2例例111151解:由于连续型随机变量XN(0,2),因而数学期望E(X)=0,方差D(X)=2再根据2.4定理2.2即计算方差的简便公式D(X)=E(X2)-(E(X)2得到数学期望E(X2)=D(X)+(E(X)2=2+02=2（d）例例121252已知连续型随机变量已知连续型随机变量XN(3,2),则连续型随机变量则连续型随机变量2X+3的方差的方差D(2X+3)=().(a)4(b)7(c)8(d)11解:由于连续型随机变量XN(3,2),因而方差D(X)=2,再根据2.4随机变量方差的性质4,所以方差D(2X+3)=22D(X)=42=8c53
