1、10.2双曲线及其性质高考文数高考文数(北京市专用北京市专用)考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程1.(2015北京,12,5分,0.88)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b0)的一个焦点,则b=.22ybA A组组 自主命题自主命题北京卷题组北京卷题组五年高考答案答案3解析解析由双曲线方程x2-=1可得c2=1+b2,由题意可知c=2,故b2=3,而b0,所以b=.22yb32.(2014北京,10,5分,0.78)设双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为.22答案答案x2-y2=1解析解析由双曲线的焦点坐标知c=,且焦点在x轴上,
2、由顶点坐标知a=1,由c2=a2+b2得b2=1.所以双曲线C的方程为x2-y2=1.2评析评析本题考查双曲线的标准方程、几何性质,考查学生的运算求解能力.考点二双曲线的性质考点二双曲线的性质1.(2013北京,7,5分)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是()A.mB.m1C.m1D.m22ym212答案答案C双曲线x2-=1中,a=1,b=,则c=,离心率e=,解得m1.故选C.2ymm1mca11m2评析评析本题考查了双曲线的几何性质、不等式的解法、充分必要条件等知识,熟记双曲线中a、b、c的几何意义是解题的关键.方法总结方法总结求双曲线的离心率的常用方法:(1)求得a,c的值,
3、直接代入e=求解.(2)列出关于a,b,c的齐次方程,然后根据c2=a2+b2消去b,从而转化为关于e的方程,进而求解.ca2.(2018北京,12,5分)若双曲线-=1(a0)的离心率为,则a=.22xa24y52答案答案4解析解析本题主要考查双曲线的标准方程和性质.由题意知c=,e=,又a0,a=4.24a ca24aa523.(2017北京,10,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.2ym3答案答案2解析解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.e=,m=2.ca221ba11m34.(2011北京,10,5分)已知双曲线x2-=1(b0)的一条渐近线的方程为y
4、=2x,则b=.22yb答案答案2解析解析由双曲线x2-=1,得a=1,=2,b=2.22yb1b5.(2016北京,12,5分,0.85)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=;b=.22xa22yb5答案答案1;2解析解析由题可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a.又该双曲线的一个焦点的坐标为(,0),c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.baba55思路分析思路分析利用所给条件得c=,b=2a,代入a2+b2=c2,然后解方程即可.5考点一双曲线
5、的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018天津,7,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb23x29y29x23y24x212y212x24yB B组组 统一命题、省统一命题、省(区、市区、市)卷题组卷题组答案答案A本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,e2=1+=4,=3,即b2=3a2,c2=a2+b2
6、=4a2,不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a),=3,渐近线方程为y=x,则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1=a,d2=a,又d1+d2=6,a+a=6,解得a=,b2=9.双曲线的方程为-=1,故选A.22xa22yb22ba22ba22ba33|2 33|2aa2 332|2 33|2aa2 3322 3322 332323x29y方法归纳方法归纳求双曲线标准方程的方法:(1)定义法:根据题目条件求出a,b的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于参数a,b的方程组,解出a,b的值,即可求得方程.2
7、.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=122xa22yb24x212y212x24y23x23y答案答案D本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程.不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,),所以=,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-=1,故选D.3ba323y方法总结方法总结求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关于a,b的方程组,从而
8、求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.3.(2016天津,4,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=122xa22yb524x24y2320 x235y235x2320y答案答案A由题意可得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.221,25,0,0,baabab24x易错警示易错警示容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的主要原因.
9、评析评析本题主要考查双曲线的几何性质,双曲线标准方程的求法,考查学生对基础知识和基本技能的应用能力,考查方程思想方法的应用.4.(2015天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=122xa22yb29x213y213x29y23x23y答案答案D由题意知,双曲线的渐近线方程为y=x,即bxay=0,因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以=,由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|=,所以b2=3,所以a2=1,故
10、双曲线的方程为x2-=1,故选D.ba22|2|bab3323y5.(2014天津,6,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb25x220y220 x25y2325x23100y23100 x2325y答案答案A由题意知,双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为y=2x,所以=2,即b2=4a2,又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点,所以该焦点的坐标为(-5,0),所以c=5,即a2+b2=25,联立得解得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为-=1
11、,故选A.22xa22ybba22224,25,baab25x220y6.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是.27x23y答案答案210解析解析由-=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2.27x23y10107.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.23y答案答案(2,8)7解析解析PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图).当P在P1点处时,F1P1F2=90,=|F1F2|=|
12、P1F1|P1F2|.由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,得|P1F1|P1F2|=6,此时|PF1|+|PF2|=2.当P在P2点处时,P2F2F1=90,=2,易知=3,此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,1 1 2PF FS121Py1272Px2Py当PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|(2,8).7评析评析找到点P的两个特殊位置是解决本题的关键.8.(2015课标,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当APF周长最小时,该三角形的面积为.28y6答案答案126解析解
13、析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F,则F(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF|=2+|PF|.APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF|AF|+2=17,即当A、P、F三点共线时,APF的周长最小.设P点坐标为(x0,y0),y00,由得+6y0-96=0,所以y0=2或y0=-8(舍去).所以当APF的周长最小时,该三角形的面积S=66-62=12.0022001,36 618xyyx20y6661261266考点二双曲线的性质考点二双曲线的性质1.(2018课标全国,6,5分)双曲线-=1(a0,b0
14、)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb3232232答案答案A本题主要考查双曲线的几何性质.=,双曲线的渐近线方程为y=x.故选A.ba21e 3 1222.(2018课标全国,10,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.222xa22yb223 222答案答案D本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式.e=,且a0,b0,=1,C的渐近线方程为y=x,点(4,0)到C的渐近线的距离为=2.ca21ba2ba|4|223.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点
15、坐标是()A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)23x2222答案答案B本题考查双曲线的标准方程和几何性质.a2=3,b2=1,c=2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).22ab易错警示易错警示求双曲线焦点坐标的易错点(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.4.(2017课标全国,5,5分)若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()A.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)22xa222答案答案C本题考查双曲线的方程和性质.由
16、题意知e=,因为a1,所以e1,所以1e0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.B.C.1D.22xa22yb12222答案答案C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以=,=,因为A1BA2C,所以=0,即(c+a)(c-a)-=0,即c2-a2-=0,所以b2-=0,故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.2,bca2,bca1AB2,
17、bcaa2A C2,bcaa1AB2A C2ba2ba42ba42ba22bababa9.(2015湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2C.对任意的a,b,e1e2D.当ab时,e1e2;当ab时,e1b时,1,e2e1;当ab时,1,e20)的离心率为2,则a=()A.2B.C.D.122xa23y6252答案答案D由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此=4,又a0,所以a=1,故选D.22ca223aa11.(2014湖
18、北,8,5分)设a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.322cosx22siny答案答案A由题意知ab,直线AB的方程为:y-a2=(x-a),即y=(b+a)x-ab.又a,b是方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,a+b=-,ab=0,y=-x,又y=-x是双曲线-=1的一条渐近线,所求的公共点的个数为0,故选A.22babasincossincossincos22cosx22siny评析评析本题考查一元二次方程的根、直线与双曲线的位置关系,得出直线AB是双曲线的
19、一条渐近线是解决本题的关键.12.(2014广东,8,5分)若实数k满足0k5,则曲线-=1与曲线-=1的()A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等216x25yk216xk25y答案答案D若0k0,16-k0,故方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=;方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=.可知两曲线的焦距相等.故选D.216x25yk5k21k214k216xk25y16k521k2116kk评析评析本题考查双曲线的标准方程及几何性质,考查学生运用基本知识求解及计算的
20、能力.利用k的范围判断出曲线类型是解题关键.13.(2014大纲全国,11,5分)双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2B.2C.4D.422xa22yb322答案答案C由已知得e=2,所以a=c,故b=c,从而双曲线的渐近线方程为y=x=x,由焦点到渐近线的距离为得=,解得c=2,故2c=4,故选C.ca1222ca32ba3332c314.(2014重庆,8,5分)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左,右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.4D.22xa2
21、2yb21517答案答案D根据双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a.又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,即(a+b)(4a-b)=0,又a+b0,所以b=4a,所以e=.ca21ba2141715.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是.22xa22yb32答案答案2解析解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,b=c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.22|()bc
22、ba 323234ca16.(2017课标全国,14,5分)双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.22xa29y35答案答案5解析解析由题意可得=,所以a=5.3a3517.(2016山东,14,5分)已知双曲线E:-=1(a0,b0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.22xa22yb答案答案2解析解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以=6c,2b2=3ac,=3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).
23、22ba24ba222ba12评析评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|建立关于离心率e的方程是求解关键.18.(2014山东,15,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.22xa22yb答案答案xy=0解析解析c2=a2+b2,由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知,双曲线过点,即-=1.由|FA|=c,得c2=a2+,由得p2=4b2.将代入,得=2.=2,即=1,故双曲线的渐近线方程为y=x,即xy=0.,2pc22ca224
24、pb24p22ca222ababa评析评析本题考查抛物线、双曲线的标准方程及几何意义,考查学生的运算求解能力.考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程(2013辽宁,15,5分)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.答案答案4429x216yC C组组 教师专用题组教师专用题组 解析解析由-=1得a=3,b=4,c=5.|PQ|=4b=162a.又A(5,0)在线段PQ上,P,Q在双曲线的一支上,且PQ所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知|PF|+|QF|=28.PQF的周长是|PF|+
25、|QF|+|PQ|=28+16=44.评析本题考查了双曲线的定义和性质,注意到|PQ|2a和A点是右焦点是解题的关键.考查了数形结合思想及推理能力.29x216y|26,|26,PFPAaQFQAa考点二双曲线的性质考点二双曲线的性质1.(2013课标全国,4,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb52141312答案答案C由双曲线的离心率e=可知,=,而双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,故选C.ca52ba1222xa22ybba2.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:
26、+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.B.C.D.24x233262答案答案D焦点F1(-,0),F2(,0),在RtAF1F2中,|AF1|+|AF2|=4,|AF1|2+|AF2|2=12,联立可解得|AF2|-|AF1|=2,即2a=2,2c=2,故双曲线的离心率e=,故选D.33223ca32623.(2013山东,11,5分)抛物线C1:y=x2(p0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()A.B.C.D.1
27、2p23x316382 334 33答案答案D抛物线C1的焦点F,双曲线C2的右焦点F(2,0),直线FF为+=1,与y=x2联立得x2+x-p2=0,又y=,设M(x0,y0),则C1在点M处的切线斜率k=.C2的一条渐近线的斜率为,故=,得x0=p,代入解得p=.故选D.评析评析本题考查双曲线、抛物线的概念与几何性质,考查导数的应用等基础知识与基本技能,考查综合运用知识解题的能力和运算求解能力.0,2p2x2yp12p22pxp0 xp330 xp33334 33 4.(2013福建,4,5分)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.1D.12222答案答案B双曲线x
28、2-y2=1的顶点为(-1,0),(1,0),渐近线方程为x+y=0和x-y=0,由对称性不妨求点(1,0)到直线x-y=0的距离,其距离为=.故选B.12225.(2013湖北,2,5分)已知0,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等422sinx22cosy22cosy22sinx答案答案D0,sin0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.22xa22yb答案答案y=x22解析解析本题考查抛物线的定义、双曲线的性质.设A(x1,y1),B(x2,
29、y2).联立消去x得a2y2-2pb2y+a2b2=0,y1+y2=.由抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,又|OF|=,|AF|+|BF|=4|OF|,y1+y2+=4.y1+y2=p.从而=p.=,=.该双曲线的渐近线方程为y=x.222222,1,xpyxyab222pba2p2p2p2p2p2p222pba22ba12ba2222方法小结方法小结利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,注意抛物线的形式.7.(2013陕西,11,5分)双曲线-=1的离心率为.216x29y答案答案54解析解析依题意知a=4,b=3,所以c=5,故离心率e=.22
30、ab2243ca548.(2013湖南,14,5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1PF2,且PF1F2=30,则C的离心率为.22xa22yb答案答案+13解析解析因为PF1PF2,PF1F2=30,所以|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|=c,由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,即c-c=2a,所以离心率e=+1.评析评析本题考查双曲线的定义和几何性质,考查学生的基本运算求解能力,正确利用双曲线的定义是求解本题的关键.123233ca3 考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018北
31、京西城期末,10)已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点是F(2,0).其渐近线方程为y=x,该双曲线的方程是.22xa22yb3三年模拟A A组组 2012016 62012018 8年年高考模拟高考模拟基础题基础题组组答案答案x2-=123y解析因为双曲线-=1的一个焦点是F(2,0),所以c=2,双曲线的渐近线方程为y=x=x,则b=a,又c=2,联立,解得所以双曲线方程为x2-=1.22xa22ybba3322ab1,3,ab23y2.(2017北京海淀二模,9)双曲线x2-=1的实轴长为.29y答案答案2解析解析双曲线方程为x2-=1,a2=1,a=1.实轴长为2a=2.29y3.
32、(2016北京东城二模,11)已知双曲线x2-=1(b0)的虚轴长是实轴长的2倍,则b=.22yb答案答案2解析解析双曲线x2-=1(b0)的实轴长为2,虚轴长为2b.由题意可知2b=22,解得b=2.22yb4.(2016北京西城二模,12)设双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,则其离心率为;若点(4,2)在C上,则双曲线C的方程为.22答案答案;-=16228x24y解析解析由题意知=,=,=.-1=,e2-1=,e=.设双曲线方程为-=(0),点(4,2)在双曲线上,-=,=2,双曲线C的方程为-=1.ba2222ba12222caa1222ca12126224x22y24422
33、228x24y考点二双曲线的性质考点二双曲线的性质1.(2017北京西城期末,4)已知双曲线x2-=1(b0)的一个焦点是(2,0),则其渐近线的方程为()A.xy=0B.xy=0C.x3y=0D.3xy=022yb33答案答案B由题意可得c=2,a2=1,1+b2=4.b=,渐近线方程为y=x.故选B.332.(2018北京海淀期末,9)已知双曲线ax2-y2=1的一条渐近线方程为y=x,则实数a的值为.答案答案1解析解析双曲线ax2-y2=1的一条渐近线方程为y=x,故a=1.故答案为1.a3.(2018北京朝阳二模,10)双曲线-=1的焦点坐标是;渐近线方程是.24x23y答案答案(,0
34、);y=x732解析解析由双曲线方程可知a2=4,b2=3,c2=a2+b2=7,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(,0),渐近线方程为y=x.7324.(2018北京东城期末,10)双曲线x2-=1的渐近线方程为.22y答案答案y=x2解析解析由双曲线方程:x2-=1得a=1,b=,可得渐近线方程为y=x,即y=x,故答案为y=x.22y2ba225.(2016北京石景山一模,9)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.22x答案答案2;y=x322解析解析由双曲线方程-y2=1知a2=2,b2=1,c2=3.故焦距=2c=2,渐近线方程为y=x,即y=x.22x3ba22解析解析双曲线C:-=
35、1的渐近线方程为y=x,又知其中一条渐近线的倾斜角为,故=1,即a=b.又C的右焦点为(2,0),c=2.由a2+b2=c2得a=b=,右顶点为(,0),C的方程为-=1.22xa22ybba4ba2222x22y6.(2016北京海淀一模,11)已知l为双曲线C:-=1(ab0)的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为,C的方程为.22xa22yb4答案答案(,0);-=1222x22y7.(2016北京海淀二模,11)已知双曲线-y2=1(a0)的一条渐近线与直线y=-x+1垂直,则该双曲线的焦距为.22xa答案答案22解析解析双曲线-y2=1(a0)的一条渐近线
36、与直线y=-x+1垂直,这条渐近线的斜率为1,a=1.c=.焦距2c=2.22xa22ab1 122考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017北京西城一模,3)双曲线y2-=1的焦点坐标是()A.(0,),(0,-)B.(,0),(-,0)C.(0,2),(0,-2)D.(2,0),(-2,0)23x2222B B组组 2012016 62012018 8年年高考模拟高考模拟综合题综合题组组答案答案C由题意知,双曲线焦点在y轴上,且c2=a2+b2=1+3=4.c=2,焦点坐标为(0,2),(0,-2).易错警示易错警示本题易误认为焦点在x轴上,故要认真审题.2.(
37、2018北京顺义二模,12)设双曲线C:-=1(a0,b0)经过点(4,1),且与y2-=1具有相同渐近线,则C的方程为,渐近线方程为.22xa22yb24x答案答案-=1;y=x212x23y12解析解析双曲线y2-=1的渐近线方程为y=x,由于双曲线C:-=1(a0,b0)经过点(4,1),且与y2-=1具有相同渐近线,则解得a=2,b=,故C的方程为-=1,渐近线方程为y=x.24x1222xa22yb24x221611,1,2abba33212x23y123.(2017北京东城二模,13)已知双曲线G以原点O为中心,过点(,4),且以抛物线C:y2=4x的焦点为右顶点,那么双曲线G的方
38、程为.5答案答案x2-=124y解析解析由题意知抛物线C:y2=4x的焦点坐标为(1,0),则双曲线右顶点坐标为(1,0),a=1.设双曲线G的方程为x2-=1(b0),将点(,4)代入可得b=2,双曲线G的方程为x2-=1.22yb524y思路分析思路分析根据题意求出抛物线焦点坐标,故可得双曲线方程中的a=1,再根据双曲线过点(,4)求b的值,即可得双曲线方程.5考点二双曲线的性质考点二双曲线的性质1.(2016北京丰台一模,5)已知双曲线的一个焦点为F,点P在双曲线的一条渐近线上,点O为双曲线的对称中心,若OFP为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.623答案答案B不妨
39、设双曲线的焦点在x轴上,一个焦点为F(c,0),方程为-=1(a0,b0),动点P在渐近线y=x上.若OFP为等腰直角三角形,则满足题意的P点有2个:P1和P2.若OFP1为等腰直角三角形,则作P1Hx轴于H,P1H=OH=,P1,代入渐近线方程得a=b.c2=2a2.e=.若FP2O为等腰直角三角形,22xa22ybba2c,2 2c cca2则OF=P2F=c,P2(c,c),代入渐近线方程得a=b.此时,e=.综上,双曲线的离心率为.ca22一题多解一题多解不妨设双曲线的方程为-=1(a0,b0),F(c,0),P在渐近线y=x上.若OFP为等腰直角三角形,则只能是OPF=90或OFP=
40、90.均有POF=45,即有=1.故a=b,c=a.则e=.22xa22ybbaba22ab2ca22.(2018北京石景山一模,10)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.22x答案答案2;y=x322解析解析由题意得a=,b=1,c=,焦距为2c=2,渐近线方程为y=x=x.222ab2133ba223.(2017北京东城一模,11)如果直线l:y=kx-1(k0)与双曲线-=1的一条渐近线平行,那么k=.216x29y答案答案34解析解析由题意知,双曲线-=1的渐近线方程为y=x.由直线l:y=kx-1(k0)与双曲线-=1的一条渐近线平行,可得k=.216x29y34216x29y3
41、4思路分析思路分析求出双曲线的渐近线方程,根据两条直线平行可求出k的值.2.(2018北京石景山一模,10)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.22x答案答案2;y=x322解析解析由题意得a=,b=1,c=,焦距为2c=2,渐近线方程为y=x=x.222ab2133ba223.(2017北京东城一模,11)如果直线l:y=kx-1(k0)与双曲线-=1的一条渐近线平行,那么k=.216x29y答案答案34解析解析由题意知,双曲线-=1的渐近线方程为y=x.由直线l:y=kx-1(k0)与双曲线-=1的一条渐近线平行,可得k=.216x29y34216x29y34思路分析思路分析求出双曲线
42、的渐近线方程,根据两条直线平行可求出k的值.解后反思解后反思正确求出双曲线的渐近线方程是解题关键.4.(2016北京朝阳二模,12)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=8x的准线l的方程是;若双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线与直线l交于M,N两点,且MON的面积为8,则此双曲线的离心率为.22xa22yb答案答案x=-2;5解析解析如图.由抛物线y2=8x,易得准线l的方程为x=-2.双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x.可求得M,N.|MN|=.SMON=8,|MN|2=8,|MN|=8.由得b=2a.e2=5.e=.22xa22ybba22,ba22,ba4ba1222c
43、a222aba2224aaa5思路分析思路分析根据抛物线的方程易得准线方程为x=-2,进而求得点M、N的坐标,由SMON=8可得b=2a,再求e的值.5.(2016北京西城一模,11)若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C:-y2=1(a0)的渐近线相切,则a=;双曲线C的渐近线方程是.22xa答案答案;y=x333解析解析不妨取双曲线C的一条渐近线为y=x,圆(x-2)2+y2=1与y=x相切,圆心(2,0)到y=x的距离等于半径1.=1.a=.故双曲线C的渐近线方程为y=x.1a1a1a2|2|1a333dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53
44、b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi
45、2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0
46、ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8gen56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866
47、666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm￥1111111111111111111111111111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333344444￥
