1、栏目索引高考导航第第2222讲讲 三角函数应用题三角函数应用题栏目索引高考导航基础易错再练第22讲三角函数应用题1.如图,某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,已知A为120,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若AP+AQ=200米,如何使得三角形地块APQ面积最大?(2)已知竹篱笆长50米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方米100元,求围墙总造价的取值范围.3栏目索引高考导航基础易错再练解析解析(1)设AP=x米,则AQ=(200-x)米,所以SAPQ=x(200-x)sin 120=2 500(米2),当且
2、仅当x=200-x时取等号,即AP=AQ=100(米),Smax=2 500(米2).(2)由=,得AP=100sinAQP,AQ=100sinAPQ,故围墙总造价y=100(AP+2AQ)=10 000(sinAQP+2sinAPQ)=10 000cosAQP,12342200233sinAPAQPsinAQAPQsinPQA3栏目索引高考导航基础易错再练因为0AQP,cosAQP,所以y(5 000,10 000).答:围墙总造价的取值范围为5 00010 000元.332333333栏目索引高考导航基础易错再练2.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=
3、200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.(1)若甲乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲乙两人之间的距离;(2)设CEF=,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且DEF=,请将甲乙之间的距离y表示为的函数,并求甲乙之间的最小距离.3栏目索引高考导航基础易错再练解析解析(1)依题意得BD=300 m,BE=100 m,在ABC中,cos B=,B=,在BDE中,由余弦定理得:BCAB123栏目索引高考导航基础易错再练DE2=BD
4、2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-2300100=70 000,DE=100.答:此时甲乙两人之间的距离为100 m.(2)由题意得EF=2DE=2y,BDE=CEF=,在直角三角形CEF中,CE=EFcosCEF=2ycos,在BDE中,由正弦定理得=,即=,y=,0,所以当=时,y有最小值50.1277sinBEBDEsinDEDBE2002 cossinysin60y100 33cossin50 3sin3263答:甲乙之间的最小距离为50 m.3栏目索引高考导航核心题型突破题型一三角函数与解三角形的综合应用题题型一三角函数与解三角形的综合应用题例例1 (2018南京
5、高三第三次模拟)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧组成,其中AC为200米,ACBC,A为.若在半圆弧,线段AC,线段AB上各建一个观赏亭D,E,F,再修两条栈道DE,DF,使DEAB,DFAC.记CBD=.(1)试用表示BD的长;(2)试确定点E的位置,使两条栈道长度之和最大.BC3BC32栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)连接DC.在ABC中,AC=200米,ACBC,A=,所以CBA=,AB=400米,BC=200米.因为BC为直径,所以BDC=,所以BD=BC cos=200cos 米.(2)在BDF中,DBF=+,BFD=,BD=200co
6、s,36323633栏目索引高考导航核心题型突破所以=,所以DF=400cos sin,BF=400cos2,所以DE=AF=400-400 cos2,所以DE+DF=400-400cos2+400cos sin=sin 2-cos 2+3=200sin+300.因为,所以2-0,直线BN的方程为y=(x-2)tan+12,则xN=-+20).则年总产值为4k800(4sin cos+cos)+3k1 600(cos-sin cos)=8 000k(sin cos+cos),.设f()=sin cos+cos,.则f()=cos2-sin2-sin=-(2sin2+sin-1)=-(2sin-
7、1)(sin+1),1,140,20,2栏目索引高考导航核心题型突破令f()=0,得=,当时,f()0,所以f()为增函数;当时,f()0,记APB=,CPD=,则tan=,tan=,由tan(+)=tan 45=1,6021t207t604t15ttantan1tantan22015730017ttt栏目索引高考导航核心题型突破化简得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-(舍去),所以AC=AP+PC=2120+420=500米.答:两索塔之间桥面AC的长度为500米.(2)设AP=x米,点P处的承重强度之和为L(x).则L(x)=60,且x(0,500),即L(x)=60ab,
8、x(0,500),记l(x)=+,x(0,500),则l(x)=+,15722(500)ababxx2211(500)xx21x21(500)x32x32(500)x栏目索引高考导航核心题型突破令l(x)=0,解得x=250,当x(0,250)时,l(x)0,l(x)单调递增;所以x=250时,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值,最小值为.答:两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为.63 125ab63 125ab栏目索引高考导航核心题型突破题型三解三角形与导数的应用题题型三解三角形与导数的应用题例例3 (2018扬州高三第三次调研)如图,某生态农庄内有一直角梯形区域A
9、BCD,ABCD,ABBC,AB=3百米,CD=2百米.该区域内原有道路AC,现新修一条直道DP(宽度忽略不计),点P在道路AC上(异于A,C两点),BAC=,DPA=.(1)用表示直道DP的长度;(2)计划在ADP区域内种植观赏植物,在CDP区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元,种植经济作物的成本为每平方百米1万元,新建道路DP的成本为每百米1万元,求以上三项费用总和的最小值.6栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)过点D作DD垂直线段AB,垂足为D.在RtABC中,因为ABBC,BAC=,AB=3百米,所以BC=百米.在RtADD中,易知AD=1百米,DD=百米
10、,所以AD=2百米,则sinDAD=,故DAD=,又BAC=,所以DAP=,63332366栏目索引高考导航核心题型突破在ADP中,由正弦定理得=,所以DP=,.(2)在ADP中,由正弦定理得=,sinADsin6DP1sin656sinAPADPsinAD栏目索引高考导航核心题型突破所以AP=,.所以SAPD=APPDsin=sin=,.又SADC=ADDCsinADC=22sin=.所以SDPC=SADC-SAPD=-,.设三项费用总和为f(),2sinsinADP52sin6sin656121252sin6sin1sin5sin6sin656121223335sin6sin656栏目索引
11、高考导航核心题型突破则f()=2+1+1=+=+,.所以f()=,令f()=0,则=.5sin6sin5sin63sin1sin35sin16sin1cos12sin3 3265621cos2sin65623栏目索引高考导航核心题型突破列表:所以当=时,f()min=2.答:三项费用总和的最小值为2 万元.f()-0+f()22,632325,3632333【核心归纳】利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等建立目标函数,再利用导数研究函数的单调性、极值与最值.栏目索引高考导航核心题型突破3-1 (2018盐城高三年级第三次模拟)如图所示的是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为400米,AOB=
12、,且OL平分AOB.现拟在OC上选取一点P,修建三条路PO,PA,PB供游人行走观赏,设PAO=.(1)将三条路PO,PA,PB的总长表示为的函数l(),并写出此函数的定义域;(2)试确定使得l()最小的的值.2栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)在APO中,由正弦定理,得=,即=,从而AP=,OP=.所以l()=OP+PA+PB=OP+2PA=+2,sinAPAOPsinOPPAOsinAOAPOsin4APsinOP400sin4200 2sin4400sinsin4400sinsin4200 2sin4栏目索引高考导航核心题型突破故所求函数为l()=,.(2)记f()=,因为f()
13、=,由f()=0,得sin=-,又,所以=.400(2sin)sin430,82sinsin422sinsincos30,822cos(sincos)(22sin)(cossin)(sincos)22 2sin24(sincos)41230,812栏目索引高考导航核心题型突破列表如下:所以,当=时,f()取得最小值,l()也取得最小值.f()-0+f()递减极小递增0,12123,12812dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98
14、sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9
15、f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698y
16、v98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8gen56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666g
17、jfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm￥1111111111111111111111111111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333344444￥
