1、1 习题课 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 2 求和 展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;nnba,(3 一、数项级数的审敛法 1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2.正项级数审敛法 必要条件 0lim?nnu不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim?n1?nunu?根值审敛法?nnnulim1?收 敛 发 散 1?不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 1?4 3.任意项级数审敛法 为收
2、敛级数 Leibniz 判别法:若 且 则交错级数 收敛,概念概念:且余项 若 收敛,称 绝对收敛 若 发散,称 条件收敛 5 例例1.1.若级数 均收敛,且 证明级数 收敛.证:nnnnabac?0?,),2,1(?n则由题设)(1nnnab?收敛)(1nnnac?收敛)(1nnnnaac?)(1nnnac?1nna收敛 6 例2.判别下列级数的敛散性:提示:(1),1lim?nnn?11nn据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,0N?7 利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数 因 n 充分大时,ln1110nn?原级数发散.:2cos)3(132?nnnn?:)0,0()
3、5(1?sanansn用比值判别法可知:时收敛;时,与 p 级数比较可知 时收敛;1?s时发散.再由比较法可知原级数收敛 .1?s1?a时发散.1?a1?a发散,收敛,8 例3.设正项级数 和 也收敛.提示:因,0limlim?nnnnvu?存在 N 0,又因)(222nnvu?利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数 当n N 时 9 例4.设级数 收敛,且 是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数 提示:对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛,nnnuv?lim收敛,级数 发散.nnn)1(lim1?1?例如,取 nnvnn1)1(?10;1ln)1
4、()3(1?nnnn例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;sin)1()2(1111?nnnn?提示提示:(1)P 1 时,绝对收敛;0 p 1 时,条件收敛;p0 时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛.故 ,111收敛?nn?11?11ln)1()3(nnnn因 单调递减,且 但 nnn1ln1?nknkk1ln)1ln(lim)1ln(lim?nn所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛;12?11!)1()1()4(nnnnn因?nnuu11)111(12?nnnn?n所以原级数绝对收敛 .13 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方
5、法?标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论 Rx?非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性.例7.求下列级数的敛散区间:14 1?解解:nnnnnna)11(limlim?当 ex1?因此级数在端点发散 ,enn?1)11(nneu?nn)11(?)(01?ne.)1,1(ee?e?时,1eR?exe11?即时原级数收敛.故收敛区间为 15)()(lim1xuxunnn?解解:因 22x?,122?x当时，即22?x,2时当?x故收敛区间为.)2,2(?级数收敛;一般项 nun?不趋于0,?nlim级数发散;16?求部分和式极限 三、幂级数和函数的求法三、幂
6、级数和函数的求法 求和?映射变换法 逐项求导或求积分 nnnxa?0)(*xS对和式积分或求导)(xS难 直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值 求部分和等?初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）?数项级数 求和 nnnxa?017 例1.求幂级数 法法1 易求出级数的收敛域为 x,cos2sin21xxx?18 法法2 先求出收敛区间 则 21xxsin2?,cos2sin21)(xxxxS?设和函数为 19 例2.解解:(1)(21121?nnnx原式)120(2?x?12)2(1nnxx?222211xxx?22xx222)2(2xx?显然 x=0 时上式也正确,故和
7、函数为 而在 2?xx0 求下列幂级数的和函数：级数发散,20 nnxnn?1111?xnnttx01d1tttxxd110?0?x)1(ln11xx?)1(ln)11(1xx?)10(?x21,)1(ln)11(1xx?显然 x=0 时,和为 0;根据和函数的连续性 ,有 10?xx=?1 时,级数也收敛.即得 22?00!)12()1(!)2()1(21nnnnnn例例3:解解:原式=?0!)12()1(nnn1cos21?的和.?1)12(?n211sin?求级数 23)1,0()0,1?x)(xS因此由和函数的连续性得:?)(xS而,1)1(lnlim0?xxx,)1ln(1xx?,1
8、0?x)10(?x及 24 例8.解:设,1)(22?nnnxxS则?2112nnnxx?21121nnnxx?12nnnxx?321nnnxxnnxnnxS?111121)(225 四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法?直接展开法?间接展开法 例题例题:1.将函数 展开成 x 的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式 解解:?xx21)2(12?21121x?0221nnnx,22111?nnnxn1.函数的幂级数展开法 26 2.将 在x=0处展为幂级数.解解:?)1ln(x)32)(1(322xxxx?1nnnx)11(?x)1ln(23x?nnnxn)(23)1(
9、11?)(3232?xnnnxn)(112ln231?)(3232?x因此 2ln)(?xf?1nnnxnnnxn)()1(2311?27 3.设,将 f(x)展开成 x 的幂级数,的和.(01考研)解解:211x?,)1(02?nnnx)1,1(?xxarctan?xxx02d11,12)1(012?nnnxn1,1?x)(xf?1212)1(1nnnxn?02212)1(nnnxn于是 并求级数 28?02212)1(nnnxn?12112)1(nnnxn)(xf?1212)1(1nnnxn?1212)1(1nnnxn?12121121)1(1nnnxnn,41)1(21122?nnnxn
10、29 五、五、函数的付式级数展开法函数的付式级数展开法 系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法 xyo?),?上的表达式为 将其展为傅氏级数 .?na?1xnxexdcos0?21)cossin(1nnxnxnex?0?),2,1,0(11)1(12?nnen?例题1.设 f(x)是周期为2?的函数,它在 解答提示解答提示 30 xnxebxndsin10?21)cos(sin1nnxnnxex?0?),2,1(1)1(12?nnenn?21)(?exf?11n?),2,1,0,(?kkx?思考:如何利用本题结果求级数 根据付式级数收敛定理 ,当 x=0 时,有?21?e?11n?2)0()0(?ff21?提示:
