1、数学物理方法李禄山西大学物理电子工程学院理论物理研究所感兴趣的方向n光学传输理论n非线性动力学n孤子理论n计算物理办公室一楼118房间电话7011314数学物理方法n复变函数n数学物理方程参考文献n数学物理方法，吴崇试n数学物理方法，梁昆淼n数学物理方法，郭本宏nMethods of Mathematical Physics，H.Jeffeys and B.Jeffeys，Third Edtion，Cambridge University Press,1972 nMatLab工程数学应用，许波，刘征编著nMathematica 4.0使用教程，刘元高，刘耀儒nMaple计算机代数系统应用及程序
2、设计，李世奇，杜慧琴第一章 复数与复变函数n第一节 复数及运算n第二节 区域n第三节 复变函数n第四节 复变函数的极限和连续性第一节 复数及运算n复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴22|yxrz模zzkArgarg2幅角复数不能比较大小主幅角n复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=r(cos+isin)指数表示：z=rexp(i)注意在三角表示和指数表示下，两个复数
3、相等当且仅当模相等且幅角相差2kn复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1 z2=(x1 x2)+i(y1 y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z2乘法运算)(iexp )sin(i)cos()(i)(21212121211221212121rrrryxyxyyxxzz两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算)(iexp )sin(i)cos(i2121212121222212212222212121rrrryxyxyxyxyyxxzz两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy共
4、轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点n复球面无穷远点举例*212121,4i3,5 i5zzzzzz和求设)Re(2iy,iy212121222111zzzzzzxzxz证明：为两个任意复数，设用复数形式来表述。的直线方程将过两点222111iy,iyxzxz4100i1)i1(和求第二节 区域n区域的概念邻域平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的-邻域|z-z0|0|z-z0|z0z0开集设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。Gz0区域平面点集D称
5、为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。边界设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用D来表示。闭区域区域D连同它的边界D一起构成闭区域，记为DDz1z2pRz|x yORx yORRz|x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imz21argzxO y21n单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域举例2
6、|z|bzaz1Re|zz用复数表示的平面点集2/1Rez22Reaz bzazRe,arg4arg0iziz111zz第三节 复变函数n复变函数之定义设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。说明1如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。说明2复变函数=f(z)可以看作是z平面到平面上的一个映射。复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中是
7、z=x+iy=f(z)z平面平面举例求0,0r1经=iz变换后在平面上的图形。z平面平面=iz=zexp(i/2)n复变函数举例基本初等函数指数函数yiyeexzsincosyxzi性质yeeezxzArg ,isinycosy,0;,0iyxzexeey时时)exp()exp()exp(2121zzzz)exp()2iexp(zz举例求z平面上带形区域-Rez+,0Imz经=ez 变换后在平面上的图形。0,00,veuyRxx=ez注意0,0,veuyRxx根式函数22sini22coskkrz是主幅角其中,1,0,krezi记2sini2cos0r2sini2cos1r注意根式函数是多值函
8、数限制值域单值化的主要途径限制值域或扩大定义域限制值域的幅角范围为,2)限制值域的幅角范围为0,)01扩大定义域2sini2cosrRiemann面举例1设 ，规定0arg(z-1)2，求(2),(i),(0),(-i)。1z,45)1arg(,)1arg(,43)1arg(,0)1arg(02izzizzzzzz arg02)1arg(0z1)2(8/3 iexp2)(4ii2/iexp)0(8/5 iexp2)(4i0,i2)1arg(iexp|1|)(kkzzz举例2设 ，规定(2)=1,讨论z沿C1或C2连续变化到原点时，函数(0)的值。1z当z沿C1移动到z=0时，arg(z-1)|
9、z=0=i)2/iexp()0(,2)1arg(21arg00zzz当z沿C2移动到z=0时，arg(z-1)|z=0=-i)2/iexp()0(,2)1arg(21arg00zzz对数函数,2,1,0,2argilnLnkkzzz的主幅角是其中zzarg的主值被称为zzzzLniarglnln值值，有无穷多个给定一个zz:Ln性质1单值化的主要途径限制值域或扩大定义域限制值域Riemann面性质2注意符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别恒等式21212121LnLn/LnLnLnLnzzzzzzzz下列式子不成立znzzzzzznznLn/1LnlnlnlnLnLnn2121举例计算Ln
10、2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)O x y1+i2-i-1三角函数izizeeiz21sinizizeez21coszzzcossintanzzzsincoscot性质周期性恒等式非有界函数举例1.求解sinz=0的全部根2.求解sinz=2的全部根,2,1,0,22)32ln(i,2,1,0,nnznnz反三角函数1iLnArccos2zzz21iLnArcsinzizziz-1iz1Ln2iArctanz双曲函数zzeez21coshzzeez21sinhzzzzeeeeztanh性质1.以2i为周期2.与正弦函数、余弦函数的关系3.恒等式反双曲函数1LnsinhArc2zz
11、z1LnArccosh2zzzz-1z1Ln21sinhArcz幂函数zzLnexp第四节 复变函数的极限和连续性n复变函数的极限设函数=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0，()0，使当0|z-z0|时，有|f(z)-A|，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，记为Azfzz)(lim0定理1定理2设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z=x0+iy0，那么Azfzz)(lim000),(lim),(lim0000vyxvuyxuyyxxyyxx，那么，如果BzgAzfzzzz)(lim)(lim00BAzgzfzz)()(lim0BAzgzfzz)()(lim00,/)(/)(lim0BBAzgzfzz举例的极限求122lim21zzzz zz不存在证明极限zzz0limn复变函数的连续性称函数=f(z)在z=z0点连续，如果1.f(z0)存在；2.;)(lim0存在zfzz)()(lim.300zfzfzz定理3设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。定理4连续函数的四则运算仍连续。举例的连续性，讨论函数 0 ,|Re0 0)(zzzzzf
