1、函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 主要内容：主要内容：.I)(,)()(,I2121上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称则称恒有恒有上任意两点上任意两点对于区间对于区间xfxfxfxx .I)(,)()(,I2121上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称则称恒有恒有上任意两点上任意两点对于区间对于区间xfxfxfxx 一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法 xxyyoo)(xfy 0)(xf0)(xfabab)(xfy 从导数的几何意义考察函数的单调性：从导数的几何意
2、义考察函数的单调性：xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xfabBA定理定理1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上单调减少上单调减少在在则则上单调增加上单调增加在在则则内内若在若在内可导内可导上连续，在上连续，在在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 严格单调严格单调,.2121xxbaxx且证:,中值定理得上应用在Lagrange21xx)()()()()(211212xxxxfxfxf ,)(,)(),(00 fxfba内如果在.,)(,)()(上单调增加在则baxfyxfxf012,)(,)(),(00 fxfba内如果
3、在.,)(,)()(上单调减少在则baxfyxfxf012(2)(2)区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性不影响区间的严格单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上严格单调增加上严格单调增加但在但在注意注意:(1)(1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立；论仍然成立；例例1.1.解解.1e的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xyx,1e xy又又,0时时当当 x,0)(xf ;0,(内内单单调调递递减减函函数数在在所所以以 注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质函数的单调性是一个区间上的性质,要用要用),
4、(:D函数的定义域函数的定义域,0时时当当 x,0)(xf ;),0内内单单调调递递增增函函数数在在所所以以 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.导数在这一区间上的符号来判定导数在这一区间上的符号来判定,而不能用而不能用令令,0)(xf得得0 x,0,(),0 把把 分成两个区间分成两个区间),(yxo例例2.332xy 点不可导点不可导在在0 xy32xy ,0时时当当 x,0)(xf ;函函数数单单调调递递减减所所以以,0时时当当 x,0)(xf ;函函数数单单调调递递增增所所以以.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 解解:),
5、(:D函数的定义域函数的定义域单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点也可能是导数不存在的点.说明说明:把函数的定义域区间分成若干个区间，把函数的定义域区间分成若干个区间，总结求单调区间的步骤总结求单调区间的步骤1写出函数的定义域，并求出函数的导数写出函数的定义域，并求出函数的导数2求出导函数的零点、和导数不存在的点求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点不可导点)3以导数等于零的点、不可导点为分点，以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。从而确定函数在每个区间内的单
6、调性。.31292)(323的的单单调调区区间间确确定定函函数数例例xxxxf解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)(xf得得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为,)1,();,2()(xf的的单调减单调减区间为区间为).2,1(12xoy12练习练习.)1()(32的的单单调调区区间间确确定定xxxf 的的零零点点为为 325)(3xxxf ).,(fD的的单单调调性性列列表表如如下下：的的符符号号与与将将 ff x(-,0)0(0,2/5)2/5(2/5,+)f+不存在-0+f 连续 连续 上上单单调
7、调增增。上上单单调调减减；在在上上单单调调增增；在在在在),5252 0,0 ,(f解解5/21。不不存存在在的的点点为为，0 52例例4 4证证.)1ln(,0 成成立立试试证证时时当当xxx ,)1ln()(xxxf 设设,01)(),0(),0 )(xxxfxf上上可可导导且且在在上上连连续续、在在上上单单调调增增；在在),0 )(xf,0)0(f又又时时，当当 0 x,0)1ln()(xxxf).1ln(xx 即即注注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。一些不等式。练习练习.证明证明20 x时时,成立不等式成立不等式.2sin xx证证
8、:令令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,2,0)(内单调递减内单调递减在在因此因此 xf从而从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf因此因此且且二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点ABCDExyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上方。所张弦的上方。xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方。所张弦的下方。问题问题:如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?定义定义1 1 设函数设
9、函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续,21Ixx(1)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称的)(xf图形是图形是凹的凹的;(2)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称的)(xf图形是图形是凸的凸的.yox2x1x221xx yox1x221xx 2x18曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理2 2.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶
10、导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;)(xf(2)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.)(xf证证:,21Ixx 2)()()2(2121xfxfxxf 设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数,21xx 且且只证只证(2)由定义只须证：由定义只须证：)()()2()2(212121xfxfxxfxxf 只须证：只须证：)2()()()2(212121xxfxfxfxxf 只须证
11、：只须证：0 x记作记作)()()()(0210 xfxfxfxf 只须证：只须证：定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;)(xf(2)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.)(xf证证:,21Ixx 2)()()2(2121xfxfxxf 设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数,21xx 且且只证只证(2)由定义只须证：由定义只须证：0 x)()()()(0210 xfxfxfxf 只须证：只须证：分别在区间分别在区间上应用拉格朗日中值定理上应用拉格朗日中值定理 得得,0
12、1xx,20 xx2)()()()(12110110 xxfxxfxfxf 2)()()()(12202202xxfxxfxfxf 011xx 220 xx ,0)(xf由由这说明这说明 在在 I 内单调递减内单调递减.)(xf)()(21 ff 21例例5 判断曲线判断曲线xyln的凹凸性的凹凸性.解解,1xy.12xy,0 y在在定定义义域域内内4xy 故曲线故曲线),0(在在上是凸的上是凸的.),0(ln的的定定义义域域为为函函数数xy22例例6.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为为凸凸的的；曲曲线线在在0,(时，时，当当0 x
13、,0 y.),0为为凹凹的的在在曲曲线线 .)0,0(改改变变是是曲曲线线的的凹凹凸凸性性发发生生了了在在点点注意到注意到,若连续曲线若连续曲线 在其上一点在其上一点的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线 的的拐点拐点.)(xfy)(,(00 xfx)(xfy xyoy=f(x)0 x注：注：拐点是凹弧与凸弧的分界点拐点是凹弧与凸弧的分界点证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf ,)()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在xxf ,由费马引理知由费马引理知.0)(xf.)()(,
14、(,)()2(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意:.)()(,(0)()1(000的的拐拐点点连连续续曲曲线线不不一一定定是是的的点点满满足足xfyxfxxf 例如例如,内是凹的，内是凹的，在在),(4 xy.)0,0(,00不不是是拐拐点点但但虽虽 xy例如例如,0,0,2xxxxy4xy yxoyxo1写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数2求出二阶导函数的零点、和不存在的点求出二阶导函数的零点、和不存在的点3检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性检查这些点左右两侧符号，从
15、而判定曲线的凹凸性 改改变变凹凹凸凸性性的的点点只只可可能能是是二二阶阶导导数数为为零零及及二二阶阶导导数数不不存存在在的的点点.注意注意判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：xxy24362)(3632xx例例7.7.求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1)求求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3)列表判别列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在故该曲线在)0,(),(32及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸,点点(0,1)及及),(
16、271132均为拐点均为拐点.上在),0(32凹凹凹凹凸凸32)1,0(),(271132例例8 8 讨论讨论 的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点.解：解：32)1(xxy,32353132 xxyxyo51521343192910 xxy,9)15(234xx 10;05yxxy 令令解解得得 当当时时,不不存存在在.现现列列表表如如下下：x00不存在不存在y凸凸 拐点拐点凹凹非拐点非拐点凹凹)(xy)51,(51)0,51(),0()25156,51(3 曲线的曲线的凹凸性凹凸性反映的是反映的是不等式不等式关系：关系：)1,0(,21 Ixx)()1()()1(2121xfxfxxf (1)若曲
17、线的图形是若曲线的图形是凹凹的（即的（即 ），则有），则有0)(xf)()1()()1(2121xfxfxxf (2)若曲线的图形是若曲线的图形是凸凸的（即的（即 ），则有），则有0)(xf注：注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。利用凹凸性也可以证明一些不等式。例例9 9.)2()(21 1 0 0 yxyxyxyx 有有，及及，、对对试试证证：解解,)(ttf 令令,)1()(2 ttf则则,0)(0 tft时时有有在在 0。是是凹凹的的时时在在ft 有有且且、对对 ,)(0,yxyx ,)2()()(21yxfyfxf 证证毕毕。即即所所证证不不等等式式成成立立。31证明不等式证明不等式)
18、.0,0(2ln)(lnln证明证明,)(ln)(0zzzzf令令,ln)(1zzf),0(01)(zzzf.)(是凹函数是凹函数因此因此zf).()(21)2(fff从而从而,2ln2)lnln(21即即.2ln)(lnln故有故有例例102.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点拐点 连续曲线上凹凸弧的分界点连续曲线上凹凸弧的分界点小结小结1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递减思考题思考题 若若0)0(f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0,00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)(xxxxxf )212(1kx当当 时，时，0)212(41)(kxf kx21当当 时，时，01)(xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075
