1、一、偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法二、偏导数的几何意义及函数偏二、偏导数的几何意义及函数偏 导数存在与函数连续的关系导数存在与函数连续的关系三、高阶偏导数三、高阶偏导数第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.)(0 xf)()(00 xfxxfx0limx0ddxxxyxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx 由偏导数的定义，可以看出由偏导数的定义，可以看出计算计算f关于关于x的偏导数的偏导数,可以先将
2、可以先将y0固定固定,用一元函数用一元函数求导的方法求导求导的方法求导,再代入再代入x0,即可求得即可求得fx(x0,y0)。因此由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函因此由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。数的微分法问题。时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点
3、),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数，记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.偏导数的定义偏导数的定义对自变量对自变量y的偏导数为的偏导数为 ,yxfy.偏导数的概念偏导数的概念可推广到二元以上的函数可推广到二元以上的函数.例如例如,三元函数三元函数 zyxfu,在在 zyx,处的偏导数处的偏导数 ,lim,0 xzyxfzyxxfzyxfxx .注注:上述定义表明上述定义表明,在求多元函数对某个自变量的在求多元函数对某个自变量的只需把其
4、余自变量看作常数只需把其余自变量看作常数,然后直接利然后直接利偏导数时偏导数时,用一元函数的求导公式用一元函数的求导公式之之.及复合函数求导法则来计算及复合函数求导法则来计算如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例1.求223yyxxz解法解法1:xz)2,1(xz解法解法2:)2,1(xz在点在点(1,2)处的偏导数处的偏导数.)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72
5、213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz例例2 设设,)1,0(xxxzy求证求证.zyzxxzyx2ln1 证证因为因为xz 所以所以yzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx 原结论成立原结论成立.yz .2z,1 yyx,xxyln 例例3的偏导数的偏导数求三元函数求三元函数)sin(2zeyxu 解解把把yz和和看作常数看作常数,对对x求导得求导得;)cos(2zeyxxu ;)cos(22zeyxyyu .)cos(2zzeyxezu 把把xz和和看作常数看作常数,对对y求导得求导得把把xy和和看作常数看作常数,对对z求导得求导得,
6、xu ,yu .zu 例例4 求求的偏导数的偏导数.222zyxr 解解 把把yz和和看作常数看作常数,对对求导得求导得xxr 利用函数关于自变量的对称性利用函数关于自变量的对称性,可得可得yr zr 222zyxx ,rx,ry.rz 偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例5.已知理想气体的状态方程求证求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp,pTRV,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数为常数),Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商!此例表明此例表明,整体记号整体记号,有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明1.偏导数偏导数xu 是一
7、个整体记号是一个整体记号,不能拆分不能拆分;2.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;例如例如，xfxffxx 0,00,0lim0,00 00lim0 xx,)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22 yxyxyxxyyxf二元函数二元函数在点在点(0,0)处的偏导数为处的偏导数为有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明 xfxffxx 0,00,0lim0,00 00lim0 xx有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明 yfyffyy 0,00,0lim0,00 00lim0 yy xfxffxx 0,00,0lim0,00 00lim0 x
8、x二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系及函数偏导数存在与函数连续的关系 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率.偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.1 1几何意义几何意义图示图示,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 2.偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0,00,)
9、,(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0,0(处，处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，高阶偏导数高阶偏导数设函数设函数 yxfz,在区域在区域D内具有偏导数内具有偏导数 ,yxfyzx ,yxfyzy 则在则在D内内 yxfx,yxfy,和和都是都是x、y的函数的函数.如果如果这两个函数的偏导数存在这两个函数的偏导数存在,则称它们是函数则称它们是函数 yxfz,的的二阶偏导数
10、二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶偏导数共有下列四个二阶偏导数:,22yxfxzxzxxx ,2yxfyxzxzyxy 高阶偏导数高阶偏导数 ,22yxfxzxzxxx ,2yxfyxzxzyxy ,2yxfxyzyzxyx ,22yxfyzyzyyy 其中第二、第三两个偏导称为其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数混合偏导数.类似地类似地,n可以定义三阶、四阶、可以定义三阶、四阶、.以及以及阶偏导数阶偏导数,我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.例例6设设,yxxyyxxz 223334求求,22x
11、z ,xyz 2,yxz 2.22yz 及及解解xz yz 22xz 22yz yxz 2xyz 2,1361222 yxyx;1632 xyx,yx624 ,x6 ,yx66 .yx66 例例7解解设设,byeuaxcos xu yu 22xu 22yu yxu 2xyu 2求二阶偏导数求二阶偏导数.,byaeaxcos;bybeaxsin ,byeaaxcos2;byebaxcos2 ,byabeaxsin .byabeaxsin 例例8求求的二阶偏导数的二阶偏导数.)ln(yxxz 解解xz 22xz yz 22yz yxz 2xyz 2,yxxyx )ln(,yxx 2)(1yxxyx
12、yx ,2)(2yxyx ,2)(yxx ,2)(yxy 2)(1yxxyx 2)()(yxxyx .2)(yxy 例例9满足拉普满足拉普验证函数验证函数22ln),(yxyxu 拉斯方程拉斯方程.02222 yuxu证证yu 22yu 22lnyx ,)ln(2122yx ,22yxx xu ,22yxy 22222)(2)(yxxxyx 22xu ,22222)(yxxy 22222)(2)(yxyyyx .22222)(yxyx 例例9满足拉普满足拉普验证函数验证函数22ln),(yxyxu 拉斯方程拉斯方程.02222 yuxu证证yu 22yu 22lnyx ,)ln(2122yx
13、,22yxx xu ,22yxy 22xu ,22222)(yxxy .22222)(yxyx 例例9满足拉普满足拉普验证函数验证函数22ln),(yxyxu 拉斯方程拉斯方程.02222 yuxu证证yu 22yu 22lnyx ,)ln(2122yx ,22yxx xu ,22yxy 22xu ,22222)(yxxy .22222)(yxyx 2222yuxu 2222222222)()(yxyxyxxy .0 可以看出关于可以看出关于y的偏导可通过互换变量的偏导可通过互换变量x,y而得到。而得到。2）然后互换然后互换x,y后，后，若将函数的自变量互换后，函数的表达式不变，若将函数的自变
14、量互换后，函数的表达式不变，则称该二元函数具有对称性，即则称该二元函数具有对称性，即1）),(),(xyzyxz若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，则称该二元函数具有反对称性，即则称该二元函数具有反对称性，即),(-),(xyzyxz若若),(yxz具有对称性，计算二阶偏导数时，先具有对称性，计算二阶偏导数时，先计算出计算出22),(xyxzyxyxz),(222),(yyxzxyxz),(变得到变得到yyxz),(xyyxz),(2若若),(yxz具有反对称性，具有反对称性，只需互换只需互换x,y后后,再添加再添加一个负号即可到关于一个负号即可
15、到关于y的三个偏导。的三个偏导。例例10 证明函数证明函数ru1 满足满足Laplace方程方程,0222222 zuyuxu其中其中.222zyxr 证证xu 22xu 由函数关于自变量的对称性由函数关于自变量的对称性,得得22yu 22zu ,3rx xrr 21rxr 21.52331rxr xrrxr 4331,52331ryr .52331rzr x换换y，y换换z，z换换x，表达，表达式不变式不变例例10 证明函数证明函数ru1 满足满足Laplace方程方程,0222222 zuyuxu其中其中.222zyxr 证证22xu 22yu 22zu .52331rxr ,52331r
16、yr .52331rzr 例例10 证明函数证明函数ru1 满足满足Laplace方程方程,0222222 zuyuxu其中其中.222zyxr 证证22xu 22yu 22zu ,52331rxr ,52331ryr .52331rzr 222222zuyuxu 52333rrr .0 52223)(33rzyxr 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx)0,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解因因)0,0(xf当当0 y时时,xx00lim0 ),0(yfx,0,xfxfx)0,0()0,(lim0 .0 xyfyxfx),0()
17、,(lim0 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx,0)0,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解)0,0(xf当当0 y时时,),0(yfx,.0 xyfyxfx),0(),(lim0 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx,0)0,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解)0,0(xf当当0 y时时,),0(yfx,.0 xyfyxfx),0(),(lim0 22220)(limyxyxyx ,y 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx,0)0
18、,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解)0,0(xf),0(yfx,.0,y 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx,0)0,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解)0,0(xf),0(yfx,0,y 所以所以)0,0(xyfyyy0lim0 yfyfxxy)0,0(),0(lim0 ,1 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx,0)0,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解,)0,0(xyf,1 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0
19、,0(),(yx,0)0,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解,)0,0(xyf,1 同理有同理有)0,0(yf)0,(xfy0 x当当时时,22220)(limyxyxxy yfyfy)0,0(),0(lim0 ,0 yxfyxfy)0,(),(lim0 ,x 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx,0)0,0(),(yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解,)0,0(xyf,1 同理有同理有)0,0(yf)0,(xfy,0,x 例例11 设设),(yxf,2222yxyxxy )0,0(),(yx,0)0,0(),(
20、yx试求试求)0,0(xyf及及.)0,0(yxf解解,)0,0(xyf,1 同理有同理有)0,0(yf)0,(xfy,0,x 所以所以)0,0(yxfxxx0lim0 xfxfyyx)0,0()0,(lim0 .1 我们有下面的定理：我们有下面的定理：那么一个函数具有什么条件时，它的二阶混合那么一个函数具有什么条件时，它的二阶混合偏导数与求导的顺序无关呢？偏导数与求导的顺序无关呢？,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx则则),(),(0000yxfyxfxyyx本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立。元函数的高阶混合导数也成立。由上例我们可以看到，同一函数不
21、同顺序的同由上例我们可以看到，同一函数不同顺序的同阶混合偏导数未必相等。阶混合偏导数未必相等。更一般地有如下的定理：更一般地有如下的定理：类似类似,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序。数可以选择方便的求导顺序。),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时
22、,有有而初等而初等例例12 yxqyxqyxqqeCeyCeyxyz2)2()(2122yxeqqqyyx)1(222设设yxeyxz)(22,计算计算qpqpyxz（其中（其中p,q为正整数）。为正整数）。因此，关于因此，关于y用用 Leibniz 公式得公式得解解:,2,1)()(keeyexyxyxkkyxkk关于关于x再用一次再用一次 Leibniz 公式就得：公式就得：22122(1)22p qx yx yx ypppqzxyqyq qeCxeCexy命题：若命题：若f(x,y)在凸区域在凸区域D上连续，对上连续，对(x,y)D，且，且f(x,y)在在D上恒为一常数。上恒为一常数。在
23、一元函数中，函数的导数为在一元函数中，函数的导数为0，则此函数必恒，则此函数必恒为一个常数。则在二元函数中，若它的两个偏导数为一个常数。则在二元函数中，若它的两个偏导数都为都为0，此二元函数是否也恒为常数呢？，此二元函数是否也恒为常数呢？答案是成立的，但要满足一定的条件。答案是成立的，但要满足一定的条件。有有 fx(x,y)=fy(x,y)=0,则则命题：若命题：若f(x,y)在凸区域在凸区域D上连续，上连续，则则 f(x,y)在在D上恒为一常数。上恒为一常数。11211212(,)(,),0,1xyfxx yxfx yyy 221122121211(,)(,)(,)(,)(,)(,)f xy
24、f x yf xyf x yf x yf x y证：证：(x1,y1),(x2,y2)D,利用单变量的拉格朗日定理利用单变量的拉格朗日定理由于在由于在D上，上，fx(x,y)=fy(x,y)=0,便有便有f(x1,y1)=f(x2,y2)。故故 f(x,y)在在D上恒为一常数。上恒为一常数。对对(x,y)D，且，且有有 fx(x,y)=fy(x,y)=0,1.若函若函数数),(yxf在点在点),(000yxP连续，连续，),(yxf在该点的偏导数必定存在？在该点的偏导数必定存在？能否断定能否断定2.设设,),(42yxyxf 是否是否问问与与)0,0(xf)0,0(yf存在？存在？3.设设,arctan)1(sin),(yxxyeyxfzxy 试求试求)1,1(xf与与).1,1(yf课堂练习课堂练习
