1、平面的基本性质及推论PPT教学课件 象这些象这些桌面、桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以_的的印象印象一一.平面的概念：平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.二二.平面的特征：平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。无限延伸的。数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。平面平面ADCB 平面平面、平面、平面ABCD三三.平面的表示方法平面的表示方法几何画法几何画法：通常用平行四边形来表示平面：通常用
2、平行四边形来表示平面 符号表示：符号表示：通常用希腊字母通常用希腊字母 等来表等来表示，如：平面示，如：平面 也可用表示平行四边形的两个也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面相对顶点的字母来表示，如：平面AC,、平面、平面AC（1）水平放置的）水平放置的平面：平面：（2）垂直放置的平）垂直放置的平面：面：a一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图置的平面的直观图（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。可以把遮住部分画成虚线，也可以不画
3、。四四.用数学符号来表示点、线、面之间的用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：位置关系：A AB Ba a 点点A A在直线在直线a a上：上：记为：记为：AaAa点点B B不在直线不在直线a a上：上：记为：记为：BaBa点点A A在平面在平面内：内：记为：记为：AA点点B B不在平面不在平面上：上：记为：记为：B B A AB B(1)(1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：(2)(2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系：(3)(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：直线直线a a上的所有点都在平面上的所有点都在平面上，称直线上，称直线a a在平面在平面内，或称平面
4、内，或称平面通过直线通过直线a.a.记为：记为：a a 直线直线a a与平面与平面只有一个公共点只有一个公共点A A时，称直时，称直线线a a与平面与平面相交。记为：相交。记为：aaA Aa aA Aa a【例例1】已知命题：已知命题：10个平面重叠起来，要比个平面重叠起来，要比5个平面个平面 重叠起来厚；重叠起来厚；有一个平面的长是有一个平面的长是50m，宽是，宽是20m；黑板面是平面；黑板面是平面；平面是绝对的平，没有大小、没有平面是绝对的平，没有大小、没有 厚度，可以无限延展的抽象的数学厚度，可以无限延展的抽象的数学 概念概念.其中正确的的命题是其中正确的的命题是_.如果把桌面看作一个平
5、面，把笔看作是如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？在桌面上？公理公理1.1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。lAB桌面桌面AB观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？五五.平面的基本性质平面的基本性质公理公理1.1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直如果一条直线上两点在一个平
6、面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。lAB,Al BlABl 符号表示：且文字语言：文字语言：图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：,ABAB若直 线一一 是是可以用来判定一条直线是否在平面内可以用来判定一条直线是否在平面内，即，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；点在平面内即可；二二 是是可以用来判定点在平面内可以用来判定点在平面内，即如果直线在，即如果直线在 平面内、点在直线上，则点在平面内平面内、点在直线上，则点在平面内.三三 是是表明平面是表明平面
7、是“平的平的”公理公理2.2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线的一条直线。Pa观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？P天花板天花板墙面墙面墙面墙面公理公理2.2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线的一条直线。PaPlPlP且如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平如果两个平面有一条公共直线，
8、则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线交线。一一 是是判定两个平面相交判定两个平面相交，即如果两个平面有一个，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；公共点，那么这两个平面相交；二二 是是判定点在直线上判定点在直线上，即点若是某两个平面的公，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上共点，那么这点就在这两个平面的交线上.公理2的作用有二：三三.两平面两个两平面两个公共点的连线就是它们的交线公共点的连线就是它们的交线ABCDA1B1C1D1O【例例2 2】在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，画出平面画出平面
9、A1C1D与平面与平面B1D1D的交线的交线.DABCE【例例3】如图画出平面如图画出平面 与平面与平面ADE的交线的交线 画出画出DE与平面与平面 的交点的交点PA变式：如图，已知变式：如图，已知ABC三边所在的三边所在的直线分别交平面直线分别交平面 于点于点P、Q、R，求，求证：证：P、Q、R三点在同一直线上。三点在同一直线上。BCQPR证明：ABPPABP，平面PABC点 在平面与平面 的交线上（公理2）同理可证：QRABC，也在平面与平面 的交线上.PQR，三点共线要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线
10、上交平面内，则落在它们的交线上.ABCQPR 用手指头将一本书平衡地摆方在空用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？间某一位置，至少需要几个手指头？手指的位置需要满足什么条件？手指的位置需要满足什么条件？公理公理3.3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.ACBCBACBA,使有且只有一个平面三点不共线公理公理3.3.过不在同一直线上的三点，有且只过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面有一个平面.ACB或记为平面或记为平面ABCABC公理3是确定平面的依据;判定点或线的共面推论推论1.1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面
11、。一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。aABC.AaAa直线有且只有一个平面，使得，数学语言表示数学语言表示:已知：点已知：点Aa 求证：过点求证：过点A和直线和直线a有且只有一个平面有且只有一个平面.aA 过不共线的三点过不共线的三点A,B,C有一个平面有一个平面（公理（公理3）B ，C a（公理（公理1）过点过点A和直线和直线a有一个平面有一个平面证明证明:（存在性）（存在性）（唯一性）（唯一性）,在在a上任取两点上任取两点B、C，又由公理又由公理3,经过不共线的三点经过不共线的三点A、B、C的平面的平面只有一个只有一个经过经过a和点和点A的平面只有一个的平面只有一个.a ABC推论2.
12、两条相交直线唯一确定一个平面。Cab数学语言表示数学语言表示:.abCab直线有且只有一个平面，使得，推论推论3.3.两条平行直线唯一确定一个平面。两条平行直线唯一确定一个平面。ACBab数学语言表示数学语言表示:/.abab直线有且只有一个平面，使得，思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?【例例4】如图，直线如图，直线AB、BC、CA两两相交，交两两相交，交点分别为点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，判断这三条直线是否共面，并说明理由并说明理由.ABC共面共面 A
13、、B、C三点不在一条直线上三点不在一条直线上证明：证明：过过A、B、C三点可以确定平面三点可以确定平面(公理公理3)A,B AB (公理公理1)同理同理BC ,AC AB、AC、BC共面共面 ABC证法证法2：A 直线直线BC过点过点A和直线和直线BC确定平面确定平面 A,BBC B,AB 同理同理AC AB、AC、BC共面共面 ABC证法证法3：ABAC=A直线直线AB、AC确定一个平面确定一个平面 BAB,CAC,C BBC (推论推论2)(公理公理1)直线直线AB、BC、CA都在平面都在平面 内内即它们共面即它们共面 ABC1.已知下列四个说法：已知下列四个说法：很平的桌面是一个平面很平
14、的桌面是一个平面平面平面ABCDABCD的面积为的面积为10cm10cm2 2平面是矩形或平行四边形平面是矩形或平行四边形空间图形中，后引的辅助线是虚线空间图形中，后引的辅助线是虚线其中正确的命题有其中正确的命题有A.0A.0个个 B.1B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个 个个公公共共点点。（4 4）平平面面与与平平面面.平平面面，则则a a直直线线a a，点点A A（3 3）若若点点A A条条直直线线确确定定一一个个平平面面。（2 2）经经过过同同一一点点的的三三三三点点确确定定一一个个平平面面。（1 1）正正确确：2 2.判判断断下下列列命命题题是是否否相交，它们只有有限经过（
15、）（）（）（）练练3.3.直线直线l l 与过点与过点P P的三条直线的三条直线a a1 1,a,a2 2,a,a3 3 分别分别交于交于 A A，B B，C C三点（三点（A A，B B，C C异于点异于点P P），求证：），求证：这四条直线共面。这四条直线共面。a3ACPa1a2B例例2图图 4根据下列符号表示的语句，说出根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形有关点、线、面的关系，并画出图形BA,)1(ml,)2(l)3(QlQPlP,)4(lAlA点点A在直线在直线l上上点点A在直线在直线l外外AA AA 点点A在平面在平面 内内点点A在平面在平面 外外AlAlll
16、直线直线l在平面在平面 外外直线直线l在平面在平面 内内lll填空填空6.如图找平面如图找平面BA 1C 1与平面与平面B 1AC的交线的交线 ABCDA1B1C1D17.P、Q分别是正方体分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的的棱棱AA1、CC1上的点，画出过上的点，画出过B、P、Q三点三点的截面的截面C1D1QABCDA1B1P想一想想一想:两个平面能将空间分成几部分两个平面能将空间分成几部分?3 或或 4两个平面相交1342132两个平面平行三个平面能将空间分成几部分三个平面能将空间分成几部分?1324 4678 象这些象这些桌面、桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以平静的
17、湖面、镜面、黑板面等都给我们以_的的印象印象一一.平面的概念：平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.二二.平面的特征：平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。无限延伸的。数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。平面平面ADCB 平面平面、平面、平面ABCD三三.平面的表示方法平面的表示方法几何画法几何画法：通常用平行四边形来表示平面：通常用平行四边形来表示平面 符号表示：符号表示：通常用希腊字母通常用希腊字母 等来表等来表示，如：平面示，如
18、：平面 也可用表示平行四边形的两个也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面相对顶点的字母来表示，如：平面AC,、平面、平面AC（1）水平放置的）水平放置的平面：平面：（2）垂直放置的平）垂直放置的平面：面：a一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图置的平面的直观图（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。四四.用数学符号来表示点、线、面之间的用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：位置关系：A AB
19、Ba a 点点A A在直线在直线a a上：上：记为：记为：AaAa点点B B不在直线不在直线a a上：上：记为：记为：BaBa点点A A在平面在平面内：内：记为：记为：AA点点B B不在平面不在平面上：上：记为：记为：B B A AB B(1)(1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：(2)(2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系：(3)(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：直线直线a a上的所有点都在平面上的所有点都在平面上，称直线上，称直线a a在平面在平面内，或称平面内，或称平面通过直线通过直线a.a.记为：记为：a a 直线直线a a与平面与平面只有一个公共点只有一
20、个公共点A A时，称直时，称直线线a a与平面与平面相交。记为：相交。记为：aaA Aa aA Aa a【例例1】已知命题：已知命题：10个平面重叠起来，要比个平面重叠起来，要比5个平面个平面 重叠起来厚；重叠起来厚；有一个平面的长是有一个平面的长是50m，宽是，宽是20m；黑板面是平面；黑板面是平面；平面是绝对的平，没有大小、没有平面是绝对的平，没有大小、没有 厚度，可以无限延展的抽象的数学厚度，可以无限延展的抽象的数学 概念概念.其中正确的的命题是其中正确的的命题是_.如果把桌面看作一个平面，把笔看作是如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，一条直线的话，你觉得
21、在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？在桌面上？公理公理1.1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。lAB桌面桌面AB观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？五五.平面的基本性质平面的基本性质公理公理1.1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。线上的所有的点都在这个平面内（即直线在
22、平面内）。lAB,Al BlABl 符号表示：且文字语言：文字语言：图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：,ABAB若直 线一一 是是可以用来判定一条直线是否在平面内可以用来判定一条直线是否在平面内，即，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；点在平面内即可；二二 是是可以用来判定点在平面内可以用来判定点在平面内，即如果直线在，即如果直线在 平面内、点在直线上，则点在平面内平面内、点在直线上，则点在平面内.三三 是是表明平面是表明平面是“平的平的”公理公理2.2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有如果两个平面有一个公共点，那么它们
23、还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线的一条直线。Pa观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？P天花板天花板墙面墙面墙面墙面公理公理2.2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线的一条直线。PaPlPlP且如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线交线。一一 是
24、是判定两个平面相交判定两个平面相交，即如果两个平面有一个，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；公共点，那么这两个平面相交；二二 是是判定点在直线上判定点在直线上，即点若是某两个平面的公，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上共点，那么这点就在这两个平面的交线上.公理2的作用有二：三三.两平面两个两平面两个公共点的连线就是它们的交线公共点的连线就是它们的交线ABCDA1B1C1D1O【例例2 2】在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，画出平面画出平面A1C1D与平面与平面B1D1D的交线的交线.DABCE【例例3】如图画出平面如图画出平面 与平面与平
25、面ADE的交线的交线 画出画出DE与平面与平面 的交点的交点PA变式：如图，已知变式：如图，已知ABC三边所在的三边所在的直线分别交平面直线分别交平面 于点于点P、Q、R，求，求证：证：P、Q、R三点在同一直线上。三点在同一直线上。BCQPR证明：ABPPABP，平面PABC点 在平面与平面 的交线上（公理2）同理可证：QRABC，也在平面与平面 的交线上.PQR，三点共线要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上交平面内，则落在它们的交线上.ABCQPR 用手指头将一本书平衡地摆方在空用手指头将一本书平衡地摆方
26、在空间某一位置，至少需要几个手指头？间某一位置，至少需要几个手指头？手指的位置需要满足什么条件？手指的位置需要满足什么条件？公理公理3.3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.ACBCBACBA,使有且只有一个平面三点不共线公理公理3.3.过不在同一直线上的三点，有且只过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面有一个平面.ACB或记为平面或记为平面ABCABC公理3是确定平面的依据;判定点或线的共面推论推论1.1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。aABC.AaAa直线有且只有一个平面，使得，数学语言表示数学
27、语言表示:已知：点已知：点Aa 求证：过点求证：过点A和直线和直线a有且只有一个平面有且只有一个平面.aA 过不共线的三点过不共线的三点A,B,C有一个平面有一个平面（公理（公理3）B ，C a（公理（公理1）过点过点A和直线和直线a有一个平面有一个平面证明证明:（存在性）（存在性）（唯一性）（唯一性）,在在a上任取两点上任取两点B、C，又由公理又由公理3,经过不共线的三点经过不共线的三点A、B、C的平面的平面只有一个只有一个经过经过a和点和点A的平面只有一个的平面只有一个.a ABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。Cab数学语言表示数学语言表示:.abCab直线有且只有一个平面，使得，
28、推论推论3.3.两条平行直线唯一确定一个平面。两条平行直线唯一确定一个平面。ACBab数学语言表示数学语言表示:/.abab直线有且只有一个平面，使得，思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?【例例4】如图，直线如图，直线AB、BC、CA两两相交，交两两相交，交点分别为点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，判断这三条直线是否共面，并说明理由并说明理由.ABC共面共面 A、B、C三点不在一条直线上三点不在一条直线上证明：证明：过过A、B、C三点可以确定平面三点可以确定平面
29、(公理公理3)A,B AB (公理公理1)同理同理BC ,AC AB、AC、BC共面共面 ABC证法证法2：A 直线直线BC过点过点A和直线和直线BC确定平面确定平面 A,BBC B,AB 同理同理AC AB、AC、BC共面共面 ABC证法证法3：ABAC=A直线直线AB、AC确定一个平面确定一个平面 BAB,CAC,C BBC (推论推论2)(公理公理1)直线直线AB、BC、CA都在平面都在平面 内内即它们共面即它们共面 ABC1.已知下列四个说法：已知下列四个说法：很平的桌面是一个平面很平的桌面是一个平面平面平面ABCDABCD的面积为的面积为10cm10cm2 2平面是矩形或平行四边形平
30、面是矩形或平行四边形空间图形中，后引的辅助线是虚线空间图形中，后引的辅助线是虚线其中正确的命题有其中正确的命题有A.0A.0个个 B.1B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个 个个公公共共点点。（4 4）平平面面与与平平面面.平平面面，则则a a直直线线a a，点点A A（3 3）若若点点A A条条直直线线确确定定一一个个平平面面。（2 2）经经过过同同一一点点的的三三三三点点确确定定一一个个平平面面。（1 1）正正确确：2 2.判判断断下下列列命命题题是是否否相交，它们只有有限经过（）（）（）（）练练3.3.直线直线l l 与过点与过点P P的三条直线的三条直线a a1 1,a,a2
31、 2,a,a3 3 分别分别交于交于 A A，B B，C C三点（三点（A A，B B，C C异于点异于点P P），求证：），求证：这四条直线共面。这四条直线共面。a3ACPa1a2B例例2图图 4根据下列符号表示的语句，说出根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形有关点、线、面的关系，并画出图形BA,)1(ml,)2(l)3(QlQPlP,)4(lAlA点点A在直线在直线l上上点点A在直线在直线l外外AA AA 点点A在平面在平面 内内点点A在平面在平面 外外AlAlll直线直线l在平面在平面 外外直线直线l在平面在平面 内内lll填空填空6.如图找平面如图找平面BA 1C 1与平面与平面B 1AC的交线的交线 ABCDA1B1C1D17.P、Q分别是正方体分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的的棱棱AA1、CC1上的点，画出过上的点，画出过B、P、Q三点三点的截面的截面C1D1QABCDA1B1P想一想想一想:两个平面能将空间分成几部分两个平面能将空间分成几部分?3 或或 4两个平面相交1342132两个平面平行三个平面能将空间分成几部分三个平面能将空间分成几部分?1324 4678
