1、与三角板相关的探究问题三角板这个三角板是有一个角是C=30角的直角三角形。这个三角板是有一个角是C=45角的等腰直角三角形。关于一块三角板的问题1，（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ 分别经过点B、C。ABC中，A=30，则ABC+ACB=（）度，XBC+XCB=（）度；（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么ABX+ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ACX的大小。2，等腰直角三角板ABC中，BD平分ABC交AC于D，过D作DEBC于E，,若B
2、C=16，求三角形DCE的周长。3，如图所示：已知AOB=90，在AOB的平分线OM上有一个点C，将一个含30角的三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于D，E。当CDOA时，易证OD+OE=2OC。变式一：变式一：当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在下面这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明。若不成立，线段OD，OC，OE之间又有怎样的数量关系。变式一解答变式一解答：OE+OD=2OC.理由：过点C作CFOA，CGOB，易证CFDCGE（AAS或ASA），FD=GE.变式二：变式二：当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在下面这种情况下，上述结论是否
3、还成立？若成立，请给予证明。若不成立，线段OD，OC，OE之间又有怎样的数量关系。变式二解答：OE-OD=2OC.理由：过点C作CFOA，CGOB，易证CFDCGE（ASA），FD=GE，FD-OD=OF=OG，OE-OD=2OG=2OC。变式二另解：OE-OD=2OC.理由：过点C作CMOC，交OB于点M，易证CODCME（ASA），OD=ME，OE-OD=OM=2OC。4再变：再变：如图所示，正方形ABCD的对角线交于点I，直角三角板的直角顶点与I重合，IGAB于G，IMBC于M，已知AD=4，求1：四边形BHIG的面积。2：I G=I H，3 求 证：B G+B H=2 O I。变式一变
4、式一：如图所示，正方形ABCD的对角线交于点I，直角三角板的直角顶点与I重合，两直角边分别于AB，BC交于G，H。已知AD=4，求1：四边形BHIG的面积。2：IG=IH，3求证：BG+BH=2OI。解答解答：过点I作IKAB，ILBC，易证IKGILM（ASA）。变式二：变式二：正方形ABCD的对角线BD上有点I（不是中点），直角三角板的直角顶点与I重合，两直角边与AB交于G，另一边过点C，求证：IG=IC.解答解答：过点I作IHAB，IKBC，易证IHGIKC（ASA）。变式三：变式三：正方形ABCD的对角线BD上有点I，ID=3BI,直角三角板的直角顶点与I重合，两直角边于AD交于G，另
5、一边交BC于N，过I作BC的垂线分别交AD，BC于O，N。若AD=4，令MN=x，OG=y。求：y与x的函数关系式。5再变，再变，如图所示：已知AOB=120，在AOB的平分线OM上有一个点C，将一个含30角的三角板的60角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于D，E。当CDOA时，易证：1，CD=CE;2,OE+OD=OC。变式一变式一：已知AOB=120，在AOB的平分线OM上有一个点C，将一个含30角的三角板的60角顶点与C重合，它的两条边分别与OA，OB相交于D，E。当CD与OA不垂直时，CD=CE,OE+OD=OC还成立吗？若成立，请证明。若不成立，说明理由。解答解答：过
6、点C作CHAO，CIOB，易证CHDCIE（ASA）。变式二变式二：已知AOB=120，在AOB的平分线OM上有一个点C，将一个含30角的三角板的60角顶点与C重合，它的两条边分别与OA，OB相交于D，E。当CD与AO延长线相交时，CD=CE,OE+OD=OC还成立吗？若成立，请证明。若不成立，说明理由解答：解答：在OB上截取ON=OC 易证CODCNE（ASA）。也可以过C分别作OA，OB的垂线段证明。6，如图所示，过等腰直角三角板ABC的直角顶点A作一条直线KL，当BDKL于D,CEKL于E时，那么，BD，DE，CE有怎样的数量关系？变式一：变式一：过等腰直角三角板ABC的直角顶点A作一条
7、直线KL，当BDKL于D,CEKL于E时，那么BD，DE，CE还有怎样的数量关系？变式二变式二：过等腰直角三角板ABC的直角顶点A作一条直线KL，当BDKL于D,CEKL于E时，M为BC中点，连接MD、ME.（1）求证：MED为等腰直角三角形。（2）BD，CE，ME有怎样的数量关系？解答：连接MA，ABD=MAD=MCE，证明MDAMEC（SAS）变式三变式三：过等腰直角三角板ABC的直角顶点A作一条直线KL，当BDKL于D,CEKL于E时，那么BD，CE，ME有怎样的数量关系？解答：BD=AE=AD+DE=CE+2ME变式四：变式四：如图所示，过等腰直角三角板ABC的直角顶点A，作一条直线K
8、L，当BDKL于D,CEKL于E时，M是BC的中点。那么，BD，DM，CE有怎样的数量关系？解法：解法：连接MA，ME，DBMEAM（SAS）。DME是等腰直角三角形，BD+CE=DE=2DM。两块同类的三角板1，如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合（1）三角尺旋转了多少度_度；（2）连接CD，试判断CBD的形状；_（3）求BDC的度数_度2，将B=60的三角板ABC绕点A旋转一定角度后，使B点落在BC边上的点D处，已知AC=3，求CD的长。3，如图用两个相同的等腰直角三角板，围成了一个等腰三角形，分别取BD，CE，BC的中点M，N，
9、G.连接GM，GN.线段GM与GN有怎样的数量关系和 位置关系.变式一：变式一：如图，把两个相同的等腰直角三角板换成两个不相同的等腰直角三角板，其中，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.变式二：变式二：如图，在（2）的基础上，又作了进一步的探究.改变两个不相同的等腰直角三角板的位置，其它条件不变，试判断GMN的形状，并给予证明.解答解答：AEBACD（SAS）GM，GN分别是中位线4，ABC，ADE是两个等腰直角三角板，图中是否有相似的三角形，有，请写出来;没有，说明理由。5，如图，两个不同的等腰直角三角板ABC和DEF，B A C=F E D=9 0 ，D 为 A C 的
10、一 点，E为BC的一点,点F在AB上，求证：（1）AF=CD,（2）BF=AD（3）BE=CE,解答：过F作FPBC于P，DQBC于Q。FPEEQD，FPEDAF（两角）。变式一：如图，两个不同的等腰直角三角板ABC和DEF，BAC=FDE=90，点D在AC上，点E在BC上，过点F作FLBC于L，求证：FL=CE解答：在HE上截取HN=HF，过E作BC的垂线交AC于M。ENFDME，变式二：变式二：如图，两个等腰直角三角板ABC和DEF，BAC=FED=90，D为AC的中点，连接AF,点H为BC的中点。求证：AFBC，AF=HE解答：过F作FNBC于N，EMAC于M。FNDDME（AAS），从
11、而FAN=45，三线合一。解答：连接AH（AFH共线）FHEDNF，相似比K=2:1，HK=2NF=AF变式三：变式三：如图，两个等腰直角三角板ABC和DEF，BAC=FED=90，D为AB的中点，连接AF,BF,求证：AF=BF解答：分别作AB，BC的中点H，O，连接DH,HF,DO.DHFDOE，相似比K=2:1，FHD=EOD=45 FHAB，H是AB的中点。变式四：如图，两个等腰直角三角板ABC和DEF，BAC=FED=90，点F在AB上，D为AC的一点,连接AE，求证：AF=AD+2AE解答：解答：在AF上作AP=AD，连接DP，EADFPD（两边及其夹角），FP=2AE变式五：变式
12、五：如图，大小不同的两块等腰直角三角板ABC和CDE，BAC=CDE=90，连接BE，O为BE的中点，连接OA、OD.求证：OA=OD解答：解答：分别作BC，CE的中点H，I，连接AH，HO，OI，DI。得AHOOID（SAS）变式六：变式六：如图，两个等腰直角三角板ABC和DEF，BCA=EDA=90，点D在直线BC上，过E点作AC的垂线交AC的延长线于M.求证：EM=DB解答：解答：延长AM至N，使AM=MN，ADBAEN（两角），BD：EN=AD：AE=1：2。6，两块两块直角三角板ABC和ADE，ACB=DAE=90，BAC=ADE=30，点D在直线BC上，点F，G分别为DE，AB的中
13、点，连接FG，FC；求证：FG=FC解答：解答：连接FA，FB，FAB+FDB=180，AFDB共圆，FA=FD，FBG=FBC=30，FBGFBC。7，两个全等的含30度角的三角板如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M,连接ME，MC。试判断三角形EMC的形状，并说明理由。解答：解答：连接MA，AD=AB且DAB=90，DAB使等腰直角三角形，AM=DM，AMDM，MDEMAC（SAS）。一副三角板1,把一副三角板如图所示拼在一起，那么ABC=_2，将一副三角板如图摆放，若AEBC，求AFD的度数3,如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中ONM=30，O
14、CD=45（1）将图中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求CEN的度数；（2）将图中的三角板OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在MON的内部，如图，且OD恰好平分MON，CD与MN相交于点E，求CEN的度数；4,如图所示，正方形ABCD的边BC在直线JI上，等腰直角三角板CGH的边CG在直线JI上，一个含30角的三角板的一直角边过点A，直角顶点在正方形ABCD的边BC上，另一条直角边与CH交于点F。求证：AE=EF。解答：在 B A 上 截 取 B K=B E，则 K A=E C，AKEECF解答：解答：过F作FKCH于K，则ABEEKF
15、（两角）设AB=1，FK=a，EC=b，则a:（1-b）=（a+b）：1，化简得b（1-a-b）=0。ABEEKF。变式一：变式一：如图所示，正方形ABCD的边BC在直线JI上，等腰直角三角板CGH的边CG在直线JI上，一个含30角的三角板的一直角边过点A，直角顶点在正方形ABCD的边BC的延长线上，另一条直角边与CH交于点F。求证：AE=EF。解答：解答：延长BA至K，使AK=CE，K=FCE=45DAE=CEAAKEECF变式二：变式二：如图所示，正方形ABCD的边BC在直线JI上，等腰直角三角板CGH的边CG在直线JI上，一个含30角的三角板的一直角顶点与点A重合，直角顶点在正方形ABCD的边CB的延长线上，另一条直角边与HC的延长线交于点F。求证：AE=EF。解答：解答：延长AB至K，使BK=BE K=FCE=45，KAE=CEF，AKEECF
