1、1一二三四一、子集与真子集1.观察下面实例:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B为这个班全体学生组成的集合;设A=x|x是两条边相等的三角形,B=x|x是等腰三角形;A=x|x是长方形,B=x|x是平行四边形;A=x|x3,B=x|x2;A=x|(x+1)(x+2)=0,B=-1,-2.(1)上面的每个例子中的两个集合,集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗?提示:是.称集合A是集合B的子集.一二三四(2)反过来,上述各对集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示:两对集合中,集合B中的元素也都是集合A中的元素(集合相等);这四对集
2、合中,集合B中有些元素不是集合A的元素.称集合A是集合B的真子集.(3)上述集合A,B的关系能不能用图形直观形象地表示出来?提示:能.如图,在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.一二三四(4)Venn图有什么要求?必须是椭圆形吗?提示:表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是矩形、圆、椭圆等,也可以是其他封闭曲线.(5)用Venn图表示集合有什么优点和缺点?提示:优点在于易产生清晰的视觉印象,能直观地表示集合中元素的构成以及集合之间的关系,缺点在于集合中元素的公共特征性质不明显.一二三四2.填空 一二三四3.做一做(1)已知集合P=-1,0,1,2,Q=
3、-1,0,1,则()A.PQB.PQC.QPD.QP(2)已知集合A=x|-1x2,B=x|0 x1,则()A.BAB.ABC.BAD.AB(1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以QP.答案:C(2)解析:由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,BA.答案:A一二三四二、集合相等1.(1)在子集的定义中,能否理解为子集A是集合B中的“部分元素”所组成的集合?提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素).(2)本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?提示:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.(3)本课时“一”中提出的各
4、对集合中,这两对集合中的元素一样吗?它们之间存在什么样的包含关系?提示:中,由于“两条边相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合A中任何一个元素都是集合B中的元素,则A是B的子集;同时,集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素,则B也是A的子集,即A和B两集合中的元素都是相同的.也就是说集合A与B相等.同理可以说明中两个集合的元素也完全相同,即两集合相等.一二三四2.填空一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若AB,且BA,则A=B.3.做一做已知集合A=1,-m,B=1,m2,且A=B,则m的值
5、为.解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.答案:0一二三四三、空集1.(1)观察下面四个集合:方程x2+1=0的实数根组成的集合;不等式3x2+28且x4答案:B一二三四四、子集与真子集的性质1.在实数中有如下结论:(1)对于任何一个实数a,有aa;(2)对于实数a,b,c,如果ab,且bc,那么ac.你能类比这两个结论,写出两个集合之间的类似关系吗?提示:任何一个集合是它本身的子集,即AA.对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.2.上个问题中得到的第(2)条性质可以推广到真子集吗?提示:可以.对于集合A,B,C,如
6、果AB,且BC,那么AC.探究一探究二探究三探究四思想方法写出写出给定集合的子集给定集合的子集例1(1)写出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为;含有一个元素的子集为0,1,2;含有两个元素的子集为0,1,0,2,1,2;含有三个元素的子
7、集为0,1,2.故集合0,1,2的所有子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2.其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法(2)由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论
8、可在选择题或填空题中直接使用.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1若1,2,3A1,2,3,4,5,则满足条件的集合A的个数为()A.2B.3C.4D.5解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同时集合A又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5.答案:B随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练已知已知集合的交集、并集求参数集合的交集、并集求参数例例3已知aR,集合A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9,若9AB,则实数a的值为.分析:9AB说明9A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要
9、代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.解析:9AB,9A且9B,2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3.当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,符合题意;当a=3时,A=-4,5,9,B不满足集合中元素的互异性,故a3;当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,符合题意.综上可得a的值为5或-3.答案:5或-3探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进
10、行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究延伸探究 例3中,将“9AB”改为“AB=9”,其余条件不变,求实数a的值及AB.解:AB=9,9A.2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3.当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,由于AB=-4,9,不符合题意,故a5;当a=3时,A=-4,5,9,B不满足集合中元素的互异性,故a3;当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,且AB=9,符合题意.综上可得a=-3.此时AB=-8,-4,-7,4,9.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练例例4集合A=x|-1x1,
11、B=x|xa.(1)若AB=,求a的取值范围;(2)若AB=x|x1,求a的取值范围.分析:利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件数形结合列出参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)A=x|-1x1,B=x|xa,且AB=,如图1所示.数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,a-1.(2)A=x|-1x1,B=x|xa,且AB=x|x1,如图2所示,数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.-1-1.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练集合集合相等关系的应用相等关系的应用例4已知集合A=
12、2,x,y,B=2x,2,y2,且A=B,求实数x,y的值.分析:根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.解:A=B,集合A与集合B中的元素相同,探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究延伸探究若将本例已知条件改为“集合A=x,xy,x-y,集合B=0,|x|,y,且A=B”,求实数x,y的值.解:0B,A=B,0A.又由集合中元素的互异性,可知|x|0,y0,x0,xy0,故x-y=0,即x=y.此时A=x,x2,0,B=0,|x|,x,x2=|x|,解得x=1.当x=
13、1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,x=-1,即x=y=-1.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练由由集合间的关系求参数的范围集合间的关系求参数的范围例5 已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若AB,求实数a的取值范围.分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)若a=-1,则B=x|-5x
14、-3.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,BA.(2)由已知AB.当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立.当B时,2a-3a-2,解得a1.由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)涉及“AB”或“AB,且B”的问题,一定要分A=和A两种情况进行讨论,其中A=的
15、情况容易被忽略,应引起足够的重视.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究延伸探究(1)【例5】(2)中,是否存在实数a,使得AB?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.(2)若集合A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且AB,求实数a的取值范围.解:(1)因为A=x|-5x2,所以若AB,则B一定不是空集.(2)当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立.当B时,2a-3a-2,解得a1.由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-32或a-2-5,解得a 或a-3.又因为a1,所以a-3.综上,实数a的取值范围为a1或a-3.探究一探究二探究三探究四思想
16、方法随堂演练分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数(字母),若AB或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.(1)分类讨论是指:AB在未指明集合A非空时,应分A=和A两种情况来讨论.因为集合中的元素是无序的,由AB或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.(2)数形结合是指对A这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圈,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.特别提醒 此类问题易错点有
17、三个:忽略A=的情况,没有分类讨论;在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性.所求参数能否取到端点值需要单独验证.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练典题已知集合A=x|1ax2,B=x|x|1,是否存在实数a,使得AB.若存在,求出实数a的取值范围.分析:对参数a进行讨论,写出集合A、B,借助于数轴,求出a的取值范围.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练探究一探究二探究三
18、探究四思想方法随堂演练1.集合x,y的子集个数是()A.1B.2C.3D.4解析:(法1)集合x,y的子集有,x,y,x,y,共有4个.(法2)集合内有2个元素,子集个数为22=4个.答案:D2.下列正确表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0关系的Venn图是()解析:由N=-1,0,知NM,故选B.答案:B探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练3.已知集合C=x|x是奇数,D=x|x是整数,则CD.解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以CD.答案:4.已知集合A=x,2,集合B=3,y,若A=B,则x=,y=.解析:A=B,A,B中元素相同,x=3,y=2.答案:32探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练5.已知集合P=x|-2x3,Q=x|x-a0.若PQ,求实数a的取值范围.解:Q=x|x-a0=x|xa,PQ,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.由图可得a-2.故实数a的取值范围是a-2.
