1、第五节指数与指数函数第五节指数与指数函数学习要求学习要求:1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.指数幂的概念指数幂的概念(1)根式的概念:必备知识 整合根式的概念符号表示备注如果xn=a(aR,n1,nN*),那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数0的n次方根是0当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根nana(2)两个重要公式:=()n
2、=a(注意:a必须使有意义).nnanana2.有理数指数幂有理数指数幂(1)分数指数幂的表示:(i)正数的正分数指数幂:=(a0,m,nN*,n1);mnamna(ii)正数的负分数指数幂:=(a0,m,nN*,n1);(iii)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.mna1mna1mna(2)有理数指数幂的运算性质:(i)aras=ar+s(a0,r,sQ);(ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ);(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质a10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1在(-,+)上是单调增函数在(
3、-,+)上是单调减函数知识拓展知识拓展指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可以得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象越高,底数越大.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)与()n都等于a(nN*).()(2)函数y=23x与y=2x+1都不是指数函数.()(3)若am0,且a1),则mn.()(4)当a0,且a1)的图象必经过点()A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)D解析解析令x-2=0得x=2
4、,则f(2)=a0+1=2,所以f(x)的图象必过点(2,2).3.某种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的年产量y随年数x变化的函数解析式为()A.y=a(1+p%)x(0 xm,xN)B.y=a(1+p%)x(0 xm,xN)C.y=a(1+xp%)(0 xm,xN)D.y=a(1+xp%)(0 xm,xN)B解析解析设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,则y=a(1+p%)x(0 xm且xN).4
5、.,三个数从小到大的排列顺序是.325488328854解析解析=,=,=,所以0时,f(x)0时,(a-1)x1恒成立,所以0a-11,所以1a0)的值是()A.1B.aC.D.(2)+=.345aaa15a1710a32 233(12)44(12)52 6考点一指数幂的运算考点一指数幂的运算关键能力 突破D-13角度二化简求值角度二化简求值典例典例2化简下列各式:(1)+2-2-(0.01)0.5;(2)b-2(-3b-1)(4b-3.0325121245613a12a23a12)解析解析(1)原式=1+-=1+-=1+-=.(2)原式=-b-3(4b-3=-b-3()=-=-=-.141
6、24912110014231101611016155216a23a12)5416a13a32b5412a32b5431ab254abab规律总结规律总结指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数,形式力求统一.1.=.21111332256()a ba bab1a解析解析原式=.11
7、1133221566a b a ba b1 1 13 2 6a 1 1 52 3 6b 1a2.+-=.13320761484223232解析解析原式=1+-=2.13233421421323典例典例3(1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是()(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.考点二指数函数的图象及应用考点二指数函数的图象及应用A-1,1解析解析(1)因为函数f(x)=-3|x|+1,所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.当x=0时,f(0)=-30+1=0,即函数f(x
8、)的图象过原点,故排除C.故选A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1b1.变式探究本典例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.解析解析作出曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由该图得b的取值范围是(0,1).方法技巧方法技巧应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y=ax(a0,a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移
9、、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.11,a1.函数y=ax-(a0,且a1)的图象可能是()1aD解析解析a0,0,函数y=ax需向下平移个单位长度,不过(0,1)点,所以排除A,当a1时,01,所以排除B,当0a1,所以排除C,故选D.1a1a1a1a2.已知函数f(x)=ax-2+7(a0,且a1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是()D解析解析由题意知f(2)=a2-2+7=8,所以定点P的坐标为(2,8),设幂函数g(x)=x,
10、将P(2,8)代入得2=8,故=3,即g(x)=x3,故选D.3.若关于x的方程|ax-1|=2a(a0,且a1)有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.10,2解析解析方程|ax-1|=2a(a0,a1)有两个不相等的实数根等价于函数y=|ax-1|的图象与y=2a的图象有两个交点.当0a1时,如图,所以02a1,即0a1时,如图,而y=2a1,不符合题意.所以0a.1212角度一比较指数幂的大小角度一比较指数幂的大小典例典例4(1)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是()A.cabB.bacC.acbD.abc(2)设a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则a
11、,b,c的大小关系为.23124321212考点三指数函数的性质及应用考点三指数函数的性质及应用Bac,所以,即bac.(2)0.230.320.230.230.320.23120.01,所以acf(3a)的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(1,4)D.(0,4)12x(2)已知91-x,则x的取值范围是.(3)已知4x-2x+1-80,所以ex+11,所以-20,所以-11+m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围.2e1x典例典例7(1)函数f(x)=的单调减区间为.22112xx(-,1解析解析(1)令u=-x2+2x+1,y=为减函数,函数y=的单调减区间即函数u=-x2
12、+2x+1的单调增区间.又u=-x2+2x+1的单调增区间为(-,1,函数f(x)的单调减区间为(-,1.(2)f(x)是R上的单调递增函数.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),a-=-a+,2a=2,a=1,12u22112xx2e1x2e1xf(x)=1-,令t=ex+1,ex0,t1,又g(t)=1-在(1,+)上为增函数,-1g(t)1,即-1f(x)m2-4m+2对任意的实数x恒成立,m2-4m+2-1,即m2-4m+30,1m3,故实数m的取值范围是1,3.2e1x2t规律总结规律总结1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.1.不等式0,a1,x0)的图象经过点(3,0.5).(1)求a的值;(2)求函数f(x)=ax-2(x0)的值域.解析解析(1)函数f(x)=ax-2的图象经过点(3,0.5),a3-2=0.5,a=.(2)由(1)可知f(x)=(x0),00,函数f(x)的值域为(0,4.12212x12212
