1、绝密启用前2022年数学期末模拟卷2难度：中档偏上 范围：必修第二册一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是 A. 的虚部为B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限C. 的共轭复数D. 2. 设向量，则 A. B. C. 与的夹角为D. 3. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则； 若，则其中真命题的个数是 A. B. C. D. 4. 已知直线，平面，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 某高校调查了名学生每周的自习时间单位：小时，制成
2、了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是A. B. C. D. 6. 史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各匹，且双方各自随机选匹马进行场比赛，则田忌的马获胜的概率为A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点若点在线段上，且满足平面，则的值为A. B. C. D. 8. 已知平面向量，对任意实数，都有，成立若，则的最大值是 A.
3、B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知向量，设的夹角为，则 A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为的正方体中 A. 与的夹角为B. 二面角的平面角的正切值为C. 与平面所成角的正切值D. 点到平面的距离为11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成如图所示，若它的所有棱长都为，则 A. 平面B. 该二十四等边体的体积为C. 该二十四等边体外接球的表面积为D. 与平面所成角的正弦值为12. 下列命题正确的是A. 复数
4、，的模相等，则，互为共轭复数B. ，都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数C. 复数是实数的充要条件是是的共轭复数D. 已知复数，是虚数单位，它们对应的点分别为，为坐标原点，若，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数在复平面内对应的点在射线上，且，则复数的虚部为_14. 已知的面积为，则15. 某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品则一个零件经过检测，为合格品的概率是16. 在三棱锥中，底面是正三角形且，是
5、的中点，且，底面边长，则三棱锥体积为，三棱锥外接球的表面积为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知复数是虚数单位，且为纯虚数是的共轭复数求实数及；设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围18. 已知平面向量， 若，求；若，求与所成夹角的余弦值19. 某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求名职工每天晚上上传手机计步截图，对于步数超过的予以奖励，图为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率；请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于的人数，
6、并估计全体职工在该天的平均步数；如果当天甲的排名为第名，乙的排名为第名，试判断图是星期几的频率分布直方图20. 如图，在长方体中，为的中点，为的中点 求证：平面；求点到平面的距离21. 在中，角，所对的边分别为，若，求的面积；若，求的面积的最大值22. 年月日，我国发表了人类减贫的中国实践白皮书，白皮书提到占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提前年实现减贫目标为帮助村民巩固脱贫成果，某村委会积极引导村民种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售已知这种袋装中药的质量以某项指标值为衡量标准，值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如下表所示：质量指标值等级
7、三级二级一级优级出厂价元袋该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了袋，测量了每袋中药成品的值，得到如图所示的频率分布直方图视频率为概率，求该药材加工厂所生产的袋装中药成品的质量指标值的平均数同一组中的数据用该组区间中点值作代表；现将该种袋装中药放在某药店出售，在某天进店的甲、乙、丙位顾客中，购买此款袋装中药的概率分别为，且三人是否购买互不影响，试求这人中恰有人购买此款袋装中药的概率；假定该中药加工厂一年的袋装中药的产量为万袋，且全部都能销售出去，若每袋袋装中药的成本为元，工厂的设备投资为万元，问；该中药加工厂是否有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资？
8、并说明理由答案和解析1.【答案】【解析】【分析】 本题主要考查的是复数的概念及运算，属于基础题 先求出复数 ，再逐项进行判断即可 【解答】 解：因为 ， 的虚部为 ，所以 A 错误； 复数 在复平面内对应的点位于第二象限 ，所以 B 错误； ，所以 C 错误； ，所以 D 正确 故选 D 2.【答案】【解析】【分析】 本题考查向量的模、夹角，向量共线、垂直的判定以及向量的坐标运算，属于基础题 根据向量的模判断 ，计算 的坐标判断 ，利用向量夹角公式计算 ，利用 是否等于 判断 即可 【解答】 解：因为 故 A 错误 因为 ， ，所以 ，所以 与 不共线，故 B 错误 因为 ， ， 所以 因为
9、，所以 ，故 C 错误 因为 ， ，所以 ， 所以 ，故 D 正确 故选 D 3.【答案】【解析】【分析】 本题考查了线面平行的性质，线面垂直的性质，空间直线与平面的位置关系，线面垂直的判定，面面垂直的判定，面面平行的判定和线面平行的判定利用线面平行的性质和线面垂直的性质得为真命题；利用空间直线与平面的位置关系得不是真命题利用线面垂直的判定和线面平行的性质及面面垂直的判定得是真命题；利用线面平行的性质和判定及面面平行的判定得是真命题，从而得结论【解答】 解：因为，所以在内必存在一条直线，使得又因为，所以，因此，因此为真命题；因为，则或，因此不是真命题；因为，所以又因为，所以在内存在由得，所以，
10、因此是真命题；因为，由，得在内必存在，且与相交，使得，又因为，所以，所以，因此是真命题故答案为4.【答案】【解析】解：若，过直线作平面，交平面于直线，又，又，若，过直线作平面，交平面于直线，又，故“”是“”的充要条件，故选：过直线作平面，交平面于直线，由可推出，由可推出，故“”是“”的充要条件本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键5.【答案】【解析】【分析】 本题考查的知识点是频率分布直方图，属于基础题 根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 小时的频率，进而可得自习时间不少于 小时的频数 【解答】 解：自习时间不少于 小时的频率为： ，
11、 故自习时间不少于 小时的频数为： 故选 D 6.【答案】【解析】解：田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各匹，且双方各自随机选匹马进行场比赛，基本事件总数，分别为：田忌的上等马对阵齐王的上等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的下等马对阵齐王的中等马，田忌的下等马对阵齐王的下等马，田忌的马获胜包含的基本事件有种情况，分别
12、为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为故选：基本事件总数，利用列举法求出田忌的马获胜包含的基本事件有种情况，由此能求出田忌的马获胜的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.【答案】【解析】解：连接，交于，连接，如图， 平面，平面平面，点，分别为棱，的中点是的重心，故选：连接，交于，连接，由平面，得到，由点，分别为棱，的中点，得到是的重心，由此能求出结果本题考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、运算能力等数学核心素养，是中
13、档题8.【答案】【解析】【分析】 本题考查平面向量的加减运算、数量积运算及几何意义的应用，同时考查平面向量的几何表示，属于较难题 由已知得 ， ，记 ， ， ，则 ， 都在以 为直径的圆上，然后画出图形，结合数量积的几何意义进行求解即可 【解答】 解： 如下图， 因为任意 都有 ， 所以由图知 ， 同理 ， 记 ， ， ， 则 ， 都在以 为直径的圆上，如下图， 则 ， 先将 视为定点，设 ， ， 连接 ，则 ， ， 如图，过圆心 作 的平行线交圆 于 ，交 于 ，垂足为 ， 又知当 ， 在 的同侧时， 最大， 设 在 上的射影点为 ，当 确定时， 为定点，则当点 落在 处时， 长度最大， 可
14、知 ，最大值为 ， 又 ，所以 ， 所以 的最大值为 ， 所以当 ，即 时， 的最大值为 ， 即 的最大值是 ， 故选 A 9.【答案】【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标形式的运算，涉及向量夹角、向量的模以及共线向量和向量垂直的问题，属于基础题 根据各选项设计相关知识即可判断出结果 【解答】 解：根据题意， ， ， 则 ， ，依次分析选项： 对于 ， ， ，则 不成立， 错误； 对于 ， ， ，则 ，即 ， 正确； 对于 ， ， ， 不成立， 错误； 对于 ， ， ，则 ， ， ，则 ，则 ， 正确； 故选： 10.【答案】【解析】【分析】 本题考查直线和平面的夹角，二面角，异面直线之
15、间的夹角等知识，属于中档题通过线面垂直的判定即可得出选项错误，再逐一验证其他选项即可【解答】 解：连接，交于，则，且，又，所以平面，又平面，所以与的夹角为，故A错误；因为，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，故B正确；平面，所以与平面所成角是与所成角的余角，所以，故C正确；到面的距离为，所以点到平面的距离为，故D正确故选BCD11.【答案】【解析】【分析】 本题考查空间几何体的结构特征，线面角与球的表面积计算，属于中档题 解题时先将正方体补全，然后逐一结合图形判断选项即可 【解答】 解：将正方体补全如图所示，二十四等边体是正方体切割掉 个三棱锥的剩下部分， 选项 A ：因为 与 不垂直，所以
16、 平面 是错误的； 选项 B ：因为二十四等边体所有棱长都为 ，则正方体的棱长为 ， 所以该二十四等边体的体积为 ，故 B 对； 选项 C ：该二十四等边体外接球即为四棱柱 的外接球，即 为其直径， 设其外接球半径为 ，则 ，外接球表面积 ，故 C 对； 选项 D ：由图形可知， 与平面 所成角为 ，故其正弦值为 ，故 D 对 故选 BCD 12.【答案】【解析】【分析】 本题考查复数的定义和相关概念，属于中档题本题的关键是正确理解复数的有关概念根据共轭复数的定义，举例判断；根据是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断选项；分别判断充分和必要条件；利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得，的
17、值【解答】 解： 模相等的复数不一定是共轭复数，比如： ， ，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故 A 不正确； B. 设 ， ， ， ， ， ，若 是虚数， ，两个复数的虚部不互为相反数，所以 不是 的共轭复数，故 B 正确； C. 设 ， ，若 ，则 ，所以复数 是实数，若 是实数，则 则 ，所以 C 正确； D. 由条件可知 ， ， 若 ， 则 ， 所以 ，解得： ， ， 所以 ，故 D 正确 故答案选： 13.【答案】【解析】【分析】 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 复数 对应的点在射线 上，设 ， ，由 ，可得 ，解得 【解答】 解：复
18、数 对应的点在射线 上， 设 ， ， ， ，解得 ，则复数 复数 的虚部为 故答案为： 14.【答案】【解析】【分析】 本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化利用面积公式求得的值，利用余弦定理求得的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应边的比值，从而求得答案【解答】 解： ， ，解得，所以，由正弦定理知：，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】 本题考查概率的计算，解题时注意各个事件之间的相互关系以及事件之间概率的关系，属于中档题设、两项技术指标达标的概率分别为，根据题意，可得关于，的二元方程组，求得的值可得答案【解答】 解：设 ， 两项技术指标
19、达标的概率分别为 ， ， 由题意，得解得所以一个零件经过检测为合格品的概率故答案为16.【答案】【解析】【分析】 本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，棱锥体积与球的表面积求解，属于较难题 设棱锥的高为 ，则由正三角形中心的性质可得 ， ，于是 平面 ，得 ，结合 可证 平面 ，同理得出 ， ， 两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积，外接球的球心 在直线 上，设 ，则 ，利用勾股定理列方程解出 【解答】 解：易知该三棱锥为正三棱锥， 设 为 在底面 的投影， 则 为等边三角形 的中心， 平面 ， 平面 ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ，
20、， 平面 ， 所以 ， 根据正三棱锥对称性，则 ， ， 两两垂直， ， ， ， 三棱锥的体积 设外接球球心为 ，则 在 上， ， ， 设外接球半径为 ， 则 ， ， ， ， 解得 ， 外接球的表面积 故答案为 ； 17.【答案】解：因为，又为纯虚数，；，因为复数所对应的点在第二象限，解得【解析】本题考查复数的综合问题，属于较易题利用共轭复数和纯虚数的概念求出的值，利用复数的求模公式计算；先化简，再利用对应的点在第二象限得到关于的不等式组，求出的取值范围18.【答案】解：，即：，；依题意，即，解得，设向量与的夹角为，【解析】本题考查了向量平行和垂直的充要条件，考查了向量夹角的求解以及向量的坐标的
21、运算，属于基础题利用平行的充要条件得，解出即可；首先求出，再利用垂直充要条件求出，进而得到，利用向量夹角公式求出结果19.【答案】解：由统计图可知甲乙两人步数都超过的有星期一、星期二、星期五、星期天，记星期一到星期天分别为，从这一周任选两天的情况数有，共种情况，两天全部获奖的有，共种，设事件为甲乙两人两天全部获奖，则由图可知，所以，人，该天运动步数不少于的人数为人，千步，估计全体职工在该天的平均步数为千步，假设甲的步数，乙的步数，乙的步数接近千步，比千步大，比千步少，甲的步数接近千步，比千步多，千步少，由频率分布直方图估计为星期二的步数统计【解析】本题考查频率分布直方图、折线图、平均值古典概率
22、的计算，考查读图能力、计算能力，属中档题由统计图可知甲乙两人步数超过的有星期一、星期二、星期五、星期天，由古典概率公式即可求甲乙两人两天全部获奖的概率；由图求出，即可求出该天运动步数不少于的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；求出，由频率分布直方图估计为星期二的步数统计20.【答案】解：证明：如图，连、相交于点，连，四边形为平行四边形，可得平面，平面，平面由题知，平面，是点到平面的距离又平面，设点到平面的距离为，则，解得【解析】本题考查线面平行的判定，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间中直线和直线，直线和平面的位置关系，三棱锥的体积公式，属于中档题连、相交于点，连，由题可知，即四边形为
23、平行四边形，可得结合平面，平面，即可得证平面由题知平面，即是点到平面的距离根据平面，可得，利用等体积法即可求出点到平面的距离21.【答案】解：，由正弦定理得，可得，；，又，当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题通过正弦定理得，再由余弦定理得出、，再由三角形的面积公式可得结果可得，进行求解即可22.【答案】解：平均数为，故可以估计该中药加工厂生产的袋装中药的质量指标值的平均数为这人中恰有人购买此款袋装中药的概率为设每袋袋装中药的销售利润为元，则样本中每袋的平均利润为：元利用样本平均数估计总体平均数可得该厂一年内生产该袋装中药的盈利约为元万元，因为万元万元，故该中药加工厂有可能在一年内通过加工该牧装中药收回投资【解析】本题考查频率分布直方图，考查平均数求法，考查概率的求法，属于中档题利用频率分布直方图中平均数的求法求解即可；这人中恰有人购买此款袋装中药的概率为，求解即可；先求出每袋袋装中药的平均销售利润，进而求出总的利润估计值，即可求解
