1、第五节 最小公倍数定义 1212121212,.nnnnna aaa aaa aaa aaa aa整数的公共倍数称为的公倍数的正公倍数中的最小的一个叫做的最小公倍数记为定理11212(1),1|,|;(2),;(3),|,|,|;(4)|,|.nnaaa aaa bb aa aaaaaa ba bb若则:(1),(2);证明显然11221211211212(3),|,|,|,|,|.|,;nniima aamaaaamammmmmmm设则由推出即同理可得故(4)|,|,|,|,0,|,|.a b b ba m b m mbma bb 显然又若则故有定理2,.(,)aba ba ba b对任意正
2、整数有121212111:,.(,)(,)(,)1,(,)(,)(,),(),.(,)(,),(,),(,)1,mabmak mbkabakbkkka ba babbka ba ba bbabkt tmakta ba btabmtmaba bababmta bt 证明 设 是 和 的一个公倍数 则于是即是整数 从而另一方面 对于任意的整数由所确定的 显然是 与 的公倍数因此 与 的公倍数必是的形式当时 得到最小公,.(,)aba ba b倍数推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.:,(,)1,.abmtaba bt证明是 与 的公倍数的形式且时 是最小公倍数结论成立推论2,.
3、m a bma mbm a b设是正整数 则2:,(,),.(,)(,)ma mbma mbma mbm abmabm a bm a ba b证明定理312122233-2-1-1-112,(2),.nnnnnnnnna aan na amm ammammama aam若是个正整数记则122233-111212121223312:,2,3,1,2,3,;,21,21.,.,nnniiiinnnnnna amm ammamm mina m a m inma aama aaa m a mm ma mm mm mmmma aa证明 由知且故是的一个公倍数反之 设 是的任一公倍数 则故由定理 推论又同
4、样由定理 推论 得依此类推 最后可得因此故.n例题1525,231.求2221,391,136.求525 231525 231:525,2315775.(525,231)211解:221,391,136221,391,136221 3915083 136,1365083,13640664.(221,391)(5083,136)2解 3.求正整数a,b,使得a+b=120,(a,b)=24,a,b=144.3.ab=(a,b)a,b=24144=3456,又a+b=120,a=48,b=72或a=72,b=48.4,(,).a b ca b c ab bc caabc例 设是正整数则:3,(,)
5、,(,)(,)(,(,)(,(,)(,)(,)(,),.aba b ca b ca ba ba b ca b ca b ca b cab bc caab bc caab c a babcab a b abcab a b caba ba ba b证明 由定理 知又又以上两式相乘可知结论成立(,):,(,)(,)(,).(,(,)(,)(,)abcaba ba b ca b ccaba bca babcabcabcab a b cab ac bcab bc ca另证 例5 设a,b是正整数,证明(a+b)a,b=ab,a+b.():(),(),(,)(,)(),(,),(,)(,),(),(,),
6、(),(,)abb abab a babaa ba bb abb ab b abb aba bb abb ab a bb abb aba b证明而即结论成立思考问题1,:(,)(,)(,)1.a b cabca bb cc a的充要条件是2(0),(,).,m mmm ma baba b设是的公倍数 则3(,)1,(,)1.a bab ab若则 4.判断下列结论是否成立.22232222(1)(,)(,),;(2)(,)(,),(,)(,);(3)|,|,|;(4)|,|;(5)(,)(,);(6)(,)(,),(,).a ba ca ba ca ba ca b ca bd a d abd b
7、aba baab ba ba b ca ba c若则若则若则若则 5.给出四个整数,它们的最大公约数是1,但任何三个数都不既约.-16,:(1)|,1,2,1;(2),|;(3)(,)1,|1.jppppp cjpa p aaa pp a设 是素数 证明对任意正整数若则1:(,)(,)(,)1,(,)(,),)(,),)(,)1,3,.(,),3(,)1,(,)1,(,)(,(,)(,)(,)1,(,)1,a bb cc aab bc caab bc cab a c cab caabca b cab bc caa b cabcab bc caa bdab bc caab b a cab dca
8、b dda b证明 若则由第 题得若由第 题得假设则产生矛盾 故同(,)1,(,)1.b cc a理可得2:(,)(,)(,),(,)(,).,m mabmb mam a babm ma bmmababa b证明 因为所以3:(,)1,(,)1,(,)1,(,)1.a ba abb abab ab证明 由得同样所以 4.(1)不成立.如a=b=1,c=2;(2)成立;(3)不成立.如d=4,a=4,b=2;(4)不成立.如a=8,b=4;(5)成立;(6)成立.2 3 530,2 3 742,2 5 770,3 5 7105.!18:(1),!(-)!(-)!|!.,!(-)!|(-1)!|;
9、jpjppcjpjjpjppjpjpp c证明是整数又 为素数111111(2).11,.2,|.1,(1)(1)11(),|,1,2,1,|,|(1)(1).1.1,2,|;ppppppppppppjppppaanp nnannnnc ncnnnnc ncnp cjpp nnpnnanap aa 用数学归纳法当时 结论成立假设当时 结论成立 即则当时且即时结论成立由知 对于任意正整数有-1-1(3)|,|(-1),(,)1,|1.pppp aap a aa pp a 即又挑战自我 四位数aabb是平方数，求出这样的数。课后作业21.121212,.nnnZ证明不整除2.,17|23,17|95.x yZxyxy设则3.,:(,)(,).kkkkaba b设 是正整数 证明
