1、3.3 向量组的秩向量组的秩3.3.1 向量组的极大线性无关组与秩向量组的极大线性无关组与秩3.3.4 欧氏空间欧氏空间3.3.2 向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标3.3.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换012:,rA 线性无关向量组线性无关向量组,定义定义3.16简称为简称为极大无关组极大无关组或或最大无关组最大无关组.12,r 若向量组若向量组A的一个部分组的一个部分组A0:满足满足(1)向量组向量组线性无关线性无关;(2)向量组向量组A中的中的任意向量均可由任意向量均可由12,r 线性表示线性表示.则称向量组则称向量组A0:12,r 为向量组为向量组A的一个的一个极大极大
2、由极大无关组的定义可得由极大无关组的定义可得:(2)012:,rA 则向量则向量组组A的的任意线性无关部分组所含向量的个数至多为任意线性无关部分组所含向量的个数至多为r 个个.这是因为这是因为A中任意中任意r+1个向量均可由个向量均可由 012:,rA 线性表示线性表示,根据定理根据定理3.11可知可知:这这r+1个向量线性相关个向量线性相关.(1)向量组向量组A与它的极大无关组与它的极大无关组A0等价等价.是向量组是向量组A的极大无关组的极大无关组,在全体在全体n维向量构成的向量组维向量构成的向量组Rn 中中,n维单位坐标向量组维单位坐标向量组 12,n 线性无关线性无关,且且Rn 中任一向
3、量均可由中任一向量均可由,n 线性表示线性表示,故故 12,n 是是Rn 的一个极大无关组的一个极大无关组.12,事实上事实上,若若n维向量组维向量组 12,n 对任意对任意n 线性无关线性无关,维向量维向量 ,由于由于n+1个个n维向量维向量12,n 线性相关线性相关,故故 可由可由 12,n 线性表示线性表示.所以所以12,n 也是也是Rn 的一个极大无关组的一个极大无关组.Rn 中任意中任意n个线性无关向量组个线性无关向量组12,n 也是也是Rn 的的一个极大无关组一个极大无关组.向量组的极大线性无关组不唯一向量组的极大线性无关组不唯一,定理定理3.12向量组的极大线性无关组向量组的极大
4、线性无关组所含向量的个数所含向量的个数相同相同.两个极大无关组等价两个极大无关组等价,证明证明定理定理3.11推论推论2可知可知:这两个极大无关组所含向量的个数相同这两个极大无关组所含向量的个数相同.设向量组设向量组12I:,s 和和12II:,t 都是向量组都是向量组A的极大无关组的极大无关组,由于一个向量组的由于一个向量组的任何任何故向量组故向量组I与与II等价等价.根据根据故故s=t.但我们有如下定理但我们有如下定理:称为称为向量组的秩向量组的秩向量组的向量组的极大线性无关组所含的向量的个数极大线性无关组所含的向量的个数定义定义3.17全体全体n维向量构成的向量组维向量构成的向量组Rn
5、的秩为的秩为如如:n.向量组向量组线性无关线性无关的的充要条件充要条件是其是其秩等于秩等于向量向量定理定理3.13组所含组所含向量的个数向量的个数.证明证明必要性必要性 设向量组设向量组12,s 线性无关线性无关,则该向量组的极大线性无关组就是其本身则该向量组的极大线性无关组就是其本身,的秩为的秩为s,故向量组故向量组即为向量个数即为向量个数.充分性充分性 若向量组若向量组 12,s 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数s,则该向量组的极大线性无关组由则该向量组的极大线性无关组由s个向量构成个向量构成,本身本身,故为其故为其从而向量组从而向量组 12,s 线性无关线性无关.例例3.23 若向量
6、组若向量组A的秩为的秩为r,12,r 是向量组是向量组A中中r 个个线性无关线性无关的向量的向量,则则 12,r 线性无关组线性无关组.是向量组是向量组A的极大的极大证明证明任意向量任意向量 ,由于向量组由于向量组A的秩为的秩为r,无关部分组所含向量的个数至多为无关部分组所含向量的个数至多为r.则向量组则向量组A的的任意线性任意线性故对向量组故对向量组A中中12,r 必线性相关必线性相关.r+1个向量个向量又又12,r 线性无关线性无关,从而从而 必可由必可由12,r 线性表示线性表示.故故12,r 是向量组是向量组A的极大线性无关组的极大线性无关组.向量组向量组线性相关线性相关的的充要条件充
7、要条件是其是其秩小于秩小于向量向量推论推论组所含组所含向量的个数向量的个数.定理定理3.14 若向量组若向量组A可由可由向量组向量组B线性表示线性表示,的秩为的秩为r,向量组向量组A向量组向量组B的秩为的秩为s,则则.rs 设向量组设向量组A的极大无关组为的极大无关组为 证明证明12,r 向量组向量组B的极大无关组为的极大无关组为 12,s 可由向量组可由向量组B线性表示线性表示,由于向量组由于向量组A则向量组则向量组 12,r 组组B线性表示线性表示,可由向量可由向量而向量组而向量组B可由其极大线性无关组可由其极大线性无关组 12,s 线性表示线性表示,从而向量组从而向量组12,r 可由向量
8、可由向量12,s 线性表示线性表示.又向量组又向量组 12,r 线性无关线性无关,由定理由定理3.11推论推论1可知可知:.rs 推论推论 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.若两个向量组有相同的秩，若两个向量组有相同的秩，例如例如,向量组向量组(I)110,0 201,0 向量组向量组(II)101,0 200,1 向量组向量组(I)和和(II)的秩均为的秩均为2,但这两个向量组不等价但这两个向量组不等价.则它们则它们不一定等价不一定等价.两个向量组的两个向量组的秩相等秩相等,它们满足什么条件等价它们满足什么条件等价?注注证明证明分析分析 由由A组与组与C组等价组等价,B组与组与C
9、组等价组等价A组与组与B组等价组等价.只需证明只需证明:A组与组与(A,B)组等价组等价,B组与组与(A,B)组等价组等价.设设A组与组与B组的秩为组的秩为r,C=(A,B).所以所以 A组可由组可由C组线性表示组线性表示.因为因为 B组可由组可由A组线性表示，组线性表示，所以所以 C组可由组可由A组线性表示组线性表示.因为因为A组是组是C的的部分组部分组，所以所以 A组与组与C组等价组等价.因此因此C组的秩也为组的秩也为r.因因B组的秩为组的秩为r,故故B组的组的极大无关组极大无关组B0含有含有r个向量，个向量，因此因此B0组也是组也是C组组的极大无关组的极大无关组.从而从而C组与组与B0组
10、等价组等价.由由B0组与组与B组等价组等价.故故A组与组与B组等价组等价.例例3.24 若向量组若向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示,且它们的且它们的秩相等秩相等,则向量组则向量组A与向量组与向量组B等价等价.定义定义3.18若若V中存在向量组中存在向量组 12,m 满足满足(1)向量组向量组12,m 线性无关线性无关;(2)V中任意向量均可由向量组中任意向量均可由向量组12,m 线性表示线性表示.则称向量组则称向量组 12,m 为向量空间为向量空间V的基的基,记作记作dim(V)=m.量的个数量的个数m称为称为向量空间向量空间V的维数的维数,基中所含向基中所含向这时也称这时也称V
11、为为m维向量空间维向量空间.对对V中任意向量中任意向量,组数组数 存在一存在一12,mk kk使得使得1122,mmkkk称称12,mk kk为向量为向量 在基在基12,m 下的下的坐标坐标.设设V为实数域上的为实数域上的向量空间向量空间,(1)只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间称为称为0维向量空间维向量空间,说明说明(2)若把向量空间若把向量空间 V 看作看作向量组向量组,(3)向量空间向量空间V 的的基不唯一基不唯一.因此它没有基因此它没有基量组的量组的极大无关组极大无关组,那么那么V 的的基基就是该向就是该向V 的的维数维数就是该向量组的就是该向量组的秩秩.(4)注意区分注意区
12、分向量空间向量空间V的维数的维数与与V中向量的维数中向量的维数.(5)若若dimV=r,则则V中任意中任意r+1个向量均线性相关个向量均线性相关.(6)若若W为为V的子空间的子空间,则有则有dimdim.WV nRnR123,n nnR12,n 故故Rn 称为称为 n 维向量空间维向量空间.对任意对任意12(,),Tnna aaR 有有1122,nnaaa12,na aa就是向量就是向量 在基在基12,n 下的下的坐标坐标.n维向量的全体维向量的全体Rn,的极大无关组的极大无关组:的的秩秩为为:(任意任意n个个线性无关线性无关的的n维向量组都是维向量组都是Rn的的极大无关组极大无关组)是一个向
13、量空间是一个向量空间,是向量空间是向量空间Rn的基的基,数数n称为向量空间称为向量空间Rn的的维数维数.(任意任意n个线性无关的个线性无关的n维向量组都是维向量组都是Rn的基的基)由向量组由向量组12,m 所生成的向量空间所生成的向量空间112212,mmmR 显然向量空间显然向量空间V与向量组与向量组12,m 等价等价，所以向量组所以向量组12,m 的的极大无关组极大无关组就是就是V 的一个基的一个基.向量组向量组12,m 的的秩秩12span,mV 若向量组若向量组12,r 是是V的的一个基一个基，则则V可以表示为可以表示为12span,rV 该表达式清楚地显示出该表达式清楚地显示出向量空
14、间向量空间V 的结构的结构.112212,rrrR 就是就是V 的的维数维数.那么那么,同一个向量同一个向量在在不同的基下的坐标有什么关系不同的基下的坐标有什么关系呢呢都可以作为都可以作为V 的一个基的一个基在在 n 维向量空间维向量空间V 中，中，问题问题：坐标是不同的坐标是不同的对于对于不同的基不同的基，任意任意n 个线性无关的向量个线性无关的向量换句话说，换句话说，随着基的改变随着基的改变，向量的坐标如何改变向量的坐标如何改变呢呢1)基变换基变换同一个向量同一个向量的的1212,nn 及及设设11112121212122221122,nnnnnnnnnnppppppppp 称此公式为称此
15、公式为基变换公式基变换公式且有且有P 11121211,22,112222,nnnnnnnnppppppppp 是向量空间是向量空间nR的的两个基两个基,1212,nnP 的的过渡矩阵过渡矩阵.1212,nnP n ,21n ,21中，中，在基变换公式在基变换公式矩阵矩阵P 称为从基称为从基到基到基当然也存在当然也存在n阶方阵阶方阵Q=(qij),使得使得 1112121122222121,nnnnnnnnqqqqqqqqq 的的过渡矩阵过渡矩阵.n ,21n ,21矩阵矩阵Q 称为从基称为从基到基到基Q即过渡矩阵即过渡矩阵P 是可逆的是可逆的由于由于 12,n 12,nP 12,nQP 而而
16、同一向量在确定的基下坐标是唯一的同一向量在确定的基下坐标是唯一的,所以所以nQPE 若若两个基两个基满足关系式满足关系式 1212,nnP 则有则有坐标变换公式坐标变换公式2112,nnyyPxxxy 21121.nnPxxyxyy 或或12,nx xx12,nyyy结论结论12,n 12,n 旧坐标旧坐标新坐标新坐标旧坐标旧坐标新坐标新坐标设设Vn中的中的向量向量 ,在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为证明证明 12,n 2121,nnP 1212.,nnyyPy 1212,nnxxx 12,n 12nxxx12nyyy由于在确定的基下由于在确定的基下,坐标是唯一的，所以
17、坐标是唯一的，所以1212.nnyyPxxyx 例例3.26 已知已知 12,与与 12,均为均为 2R的基，的基，其中其中12121211,;,1313 (1)求从基求从基 12,到基到基 12,的过渡矩阵的过渡矩阵(2)求向量求向量 38 在基在基 12,及基及基 12,下的坐标下的坐标 解解(1)设从基设从基 12,到基到基 12,的过渡矩阵为的过渡矩阵为P,则有则有1212()()P,即即1 11 21 31 3P,从而从而11 21 11 31 3P3 21 1151 11 31 91.52 2(2)设设 在基在基 12,下的坐标为下的坐标为 12,x x即即1122(),xx 12
18、31 2,81 3xx从而从而 1121 231 38xx 3 23151 185.1 设设 在基在基 12,下的坐标为下的坐标为 12,y y则由坐标变换公式得则由坐标变换公式得11122yxPyx 2 9514 2 1111.4 11引入：引入：axxxbyyy123123,，内积内积：a b332211yxyxyx 长度长度:夹角夹角：|aa a222123xxx cos|a bab abO 定义定义3.191122,nnababab(,)称称(,)为向量为向量 与与 的的内积内积.(,)1212,nnbba aabT 1 122nna ba ba bT 1)内积定义内积定义设有设有n维
19、向量维向量令令内积的运算性质内积的运算性质(1)(,)(3),(2),0(4),;(,),;,;(以下以下,为为n维向量维向量,为实数为实数)(分配律分配律)(对称性对称性)且当且当 0时时,有有(,)0;当当 =0时时,有有(,)=0;(正定性正定性)|(,)定义定义3.20 令令 (1)向量模定义向量模定义22212,naaa称称|为为n维向量维向量 的的模模(或或长度长度).(2)向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：;|.|(,|)|0|,|.22212()()()naaa当当 0时时,有有|0;当当 =0时时,有有|=0.非负性非负性齐次性齐次性三角不等式三角不等式定理定理
20、3.15 柯西柯西-施瓦茨施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式不等式|,(,)|()F 对任意对任意 有有,0 而而()F ,2,2,0,bac 24 22(,)4(,)(,)0 2(,)(,)(,).即即222(,)|.|(,)|.|分析分析显然当显然当 =0时时,(,)=0,|=0,命题成立命题成立.当当 0时时,证明证明2(,)(,)(),单位向量单位向量|1.若若0,则则|0,且且1|是单位向量是单位向量.定义定义3.20 定义了定义了内积运算的实数域上的向量空间内积运算的实数域上的向量空间称为称为欧氏空间欧氏空间(Euclid空间空间)几何空间是欧氏空间几何空间是欧氏空间,R
21、n的子空间的子空间在如上定义的在如上定义的内积下内积下,均成为欧氏空间均成为欧氏空间.(1)引入引入(2)夹角定义夹角定义|(,)|,|(,)|1|0,0当当时，时，(,)arccos|记作记作,其中其中,0,.定义定义3.210,0当当时时,称为称为n维向量维向量 与与 的的夹角夹角.(3)正交正交则则零向量与任何向量都正交零向量与任何向量都正交.记为记为.定义定义3.22当当(,)=0时时,称向量称向量 与与 正交正交,由定义知由定义知:若若 =0,则则(,)=0.证明证明 例例3.27 设设1232122,2,1,122 则则 123,两两正交两两正交 由于由于121323(,)0,(,
22、)0,(,)0,所以所以 123,两两正交两两正交 4)正交矩阵正交矩阵定义定义3.23 若若n阶矩阵阶矩阵A,满足满足,TAAE 则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.正交矩阵的性质正交矩阵的性质:1A 1.n阶正交矩阵阶正交矩阵A可逆可逆,且且 n阶正交矩阵阶正交矩阵A的行列式的行列式|A|n阶正交矩阵阶正交矩阵A的的行列行列具有如下性质具有如下性质:.TA 例例3.28证明证明,TA AE.E 12TTTn 12,n 12,n ，Tijij 1,ij 当当0,ij 当当i jn(,1,2,)即方阵即方阵A为正交矩阵的为正交矩阵的充要条件充要条件为为A的的列向量组都是列向量组都是单位向量且两两正
23、交单位向量且两两正交.组都组都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交方阵方阵A为正交矩阵为正交矩阵的的充要条件充要条件是是A的的列列(行行)向量向量设设A由由得得 11T 12T 1 Tn 21T 22T 2 Tn 1Tn 2Tn Tnn (1)正交向量组的定义正交向量组的定义是一组是一组非零非零的的 n 维向量维向量,12:,mA 12:,mA 则称向量组则称向量组为为正交向量组正交向量组.设设定义定义3.24若若ij,都有都有 i与与 j正交正交,正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.(2)正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理3.16证明证明12:,rA 12,r ,11220,
24、rr 两边与两边与i 1122(,)(,0),irri 11(,)i (,)0,iii 所所以以2,)(|,0iii 0i 因因为为0,i 12.0 r12,r 故故作内积作内积(,)iii (,)0rir 1,2,.ir 设设为正交向量组为正交向量组,并设有数并设有数使得使得线性无关线性无关.(3)标准正交基标准正交基(规范正交基规范正交基)12,e e12,re ee,re定义定义3.25设设()nVR 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基,若若12,re ee是两两正交是两两正交,且都是单位向量且都是单位向量,则称则称是向量空间是向量空间V的的标准正交基标准正交基或或规范正交基规范正交
25、基.(1)标准正交基唯一吗标准正交基唯一吗(2)引入标准正交基的作用是什么引入标准正交基的作用是什么求规范正交基的方法求规范正交基的方法12,r r ,21正交化正交化单位化单位化r ,21施密特正施密特正交化方法交化方法12,i 12,i 12,r 121212,|rrreee12,re ee重点重点(1)ir设设是向量空间是向量空间V的一个的一个基基,为正交向量组为正交向量组与与等价等价是向量空间是向量空间V的一个的一个标准正交基标准正交基.定理定理3.17 若向量组若向量组 12,r 线性无关线性无关,向量组向量组 则存在正交则存在正交12,r 使得向量组使得向量组 12,i 与向量组与
26、向量组12,i 等价等价(1,2,).ir 证明证明 取取11 1222111(,),说说明明12,12,12,221k设设120(,)由由1211(,)(,),k 1211(,)(,)k 1 12,可由可由线性表示线性表示12,可由可由线性表示线性表示12,12,与与等价等价正交正交分析分析11 1222111(,),132333121122,331122kk同同理理设设 3132(,)0,0由由,1323121122,kk 说说明明123,123,123,123,可由可由线性表示线性表示123,可由可由线性表示线性表示123,123,与与等价等价正交正交11,1222111(,),1323
27、33121122,1,r1 r r 1 2 r 1(,)r 2(,)r 11(,)22(,)11(,)rr1(,)rr 施密特正交化方法施密特正交化方法.1,r则则两两正交两两正交,1,r1,r与与等价等价.且且上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组1,r构造出正交向量组构造出正交向量组的方法称为的方法称为解解11;22110 01;0 1 11(,)12(,)100 正交化正交化例例3.291231110,1,1,001 331 2 13(,)23(,)11(,)22(,)111 100 试将试将R3的基的基123,化为化为正交向量组正交向量组.已知已知R3的一个基的一个基010 001
28、123,就是就是R3的一个的一个正交向量组正交向量组.定义定义3.25 设设 12,m L L为欧氏空间为欧氏空间 V的一组基，的一组基，若若(1,2,)iim L L两两正交，两两正交，且每一个向量均为单位向量，且每一个向量均为单位向量，称称 12,m L L为为 V的的标准正交基标准正交基 设设 12,m L L为欧氏空间为欧氏空间 V的标准正交基，的标准正交基，对任意的对任意的 V,若若 在这组基下的坐标为在这组基下的坐标为 12,mk kkL L则有则有1122,mmkkkL L用用 T(1,2,)iim L L左乘等式的两端得左乘等式的两端得 T(1,2,),iik im L L即在
29、标准正交基下，即在标准正交基下，向量向量 的坐标分别是向量的坐标分别是向量 与基中与基中向量向量 i 的内积的内积 例例3.30 设设 TTT123(3,1,1,1),(1,3,1,1,),(1,1,3,1),T4(5,3,3,1)所生成的向量空间为所生成的向量空间为V,求求V的一组的一组标准正交基标准正交基解解 由于向量组由于向量组 123,线性无关，线性无关，而而 4123,故向量组故向量组 123,是是V的一组基，的一组基，只要将这组向量只要将这组向量正交化，正交化，再单位化就可得出再单位化就可得出V 的一组标准正交基的一组标准正交基 令令 113,1,1,1,T 2122111,41,3,1,13,1,1,112TT 10,8,4,4,3T 313233121122,411,1,3,13,1,1,10,8,4,4126TTT 0,0,2,2.T 于是于是 123,两两正交，两两正交，令令1111 2221 3331 则则 123,是向量空间是向量空间 V的一组的一组标准正交基标准正交基 T13,1,1,1,2 3T60,2,1,1,2T10,0,1,1.2
