1、18 有一块平行四边形的玻璃块,如图所示,假如不小心碰碎了一部分,聪明的技师拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来,你知道他用的是什么办法吗?观察思考观察思考你能说出下列平行四边形性质的逆命题吗？两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.学学 习习 新新 知知追问:你能根据平行四边形的定义证明这些命题的正确性吗?已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:连接AC,如图所示,在ABC和CDA中,ABC CDA(SSS),BAC
2、=DCA,BCA=DAC,ABCD,ADBC,四边形ABCD是平行四边形.,.ABCDACCABCDA数学语言表述这个定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.你能得到什么结论？AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.这个命题你能证明吗?已知:如图所示,四边形ABCD中,A=C,B=D.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:A=C,B=D,A+B=C+D.A+B+C+D=360,A+B+A+B=360,A+B=180.ADBC.同理可得ABDC.四边形ABCD是平行四边形.平行四边形的判定方法:数学语言表
3、述这个定理:A=C,B=D,四边形ABCD是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形已知:如图所示,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:在AOB和COD中,AOB COD(SAS),AB=CD,同理可得AD=CB,四边形ABCD是平行四边形.证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形AO COAOBCODBODO 平行四边形的判定方法:数学语言表述这个定理:OA=OC,OB=OD,四边形ABCD是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.提
4、问:通过以上证明,我们得到了平行四边形的判定定理.这些定理与平行四边形的性质定理有何关系?平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理.平行四边形的定义平行四边形的定义.两组对边分别相等的四边形是两组对边分别相等的四边形是 平行四边形平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四两组对角分别相等的四边形是平行四 边形边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.例：(教材例3)如图所示,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.解析由已知条件可知:OB=OD,OA=OC,因为AE=CF,所以O
5、E=OF,根据平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可证明四边形BFDE是平行四边形.证明:四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,BO=DO.AE=CF,AO-AE=CO-CF,即EO=FO.又 BO=DO,四边形BFDE是平行四边形.解题策略从已知条件入手,分析条件的特征,发现条件AE=CF与ABCD的对角线有密切的关系,因此,根据平行四边形的判定定理,设法证明两条对角线互相平分即可.【变式训练】如图所示,ABCD中,E,F分别是AC上两点,且BEAC于E,DFAC于F.求证四边形BEDF是平行四边形.解析利用条件证明ABE CDF,得AE=CF,连接BD交AC于O,
6、证明四边形BEDF的对角线EF,BD互相平分即可.证明:连接BD交AC于点O,如图所示.四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,OA=OC,OB=OD.BAE=DCF.BEAC于E,DFAC于F,BEA=DFC=90.ABE CDF(AAS).AE=CF.OA-AE=OC-CF,即OE=OF.四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).知识拓展知识拓展判断四边形是否为平行四边形的基本思路有两个:一是从等量关系的角度入手一是从等量关系的角度入手,二是从位置关系的角度入手二是从位置关系的角度入手.课堂小结课堂小结平行四边形的定义平行四边形的定义文字语言文字语言:两组
7、对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.符号语言符号语言:ADBC,ABCD,四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理1文字语言文字语言:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言符号语言:AB=CD,AD=BC,四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理2文字语言:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:A=C,B=D,四边形ABCD是平行四边形.平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理3文字语言文字语言:对角线互相平分的四边形是平行四边形对
8、角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言符号语言:OA=OC,OB=OD,四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.检测检测反馈反馈 1.如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC=cm,CD=cm时,四边形ABCD为平行四边形;解析解析:此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,即可确定BC,CD的长.84(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO=cm,DO=cm时,四边形ABCD为平行四边形.解析解析:此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据对角线互相平分的四边形是
9、平行四边形,即可确定AO,DO的长.452.(2015牡丹江中考)如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件:(只添加一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.解析解析:答案不唯一.所填条件能使AOB COD,或者AOD COB即可.可填:ABCD,ADBC,BAO=DCO,ABO=CDO,ADO=CBO,DAO=BCO等.故可填ABCD.ABCD3.如图所示的是由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察、分析发现:第4个图形中平行四边形的个数为.第8个图形中平行四边形的个数为.6解析解析:根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可以判断图中的平行四边形的个数.通过观察、分析,寻找规律,即可解决问题.20解析解析:要证明EBF=FDE,根据平行四边形的性质,只要证明四边形BEDF是平行四边形即可.由AE,CF在 ABCD的对角线上,可考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,证明EF与BD互相平分即可.4.如图所示,在ABCD中,点E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证EBF=FDE.证明:连接BD交AC于点O,如图所示,四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.AE=CF，OA-AE=OC-CF,即OE=OF.四边形BEDF是平行四边形,EBF=FDE.
