1、北京市顺义区2020-2021学年第一学期期末质量监测高一数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（4分）已知全集U1，3，5，7，9，A1，3，则UA（）A1，3B5，7，9C1，3，5，7，9D2（4分）设命题P：xR，x+10，则P为（）AxR，x+10BxR，x+10CxR，x+10DxR，x+103（4分）已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）ABa2b2Cba0D|b|a|a|b4（4分）三个实数a0.33，b20.3，clg0.3的大小关系是（）AabcBbacCcbaDcab5（4分）函数f（
2、x）lnx+2x3的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）6（4分）“sin”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（4分）单位圆O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是（）ABCD8（4分）在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线yx对称，若，则sin（）ABCD9（4分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小
3、，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（）A11%B22%C33%D100%10（4分）如图，已知OPQ是半径为r，圆心角为的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则关于ABC的周长说法正确的是（）A有最大值，有最小值B有最大值，无最小值C无最大值，有最小值D无最大值，无最小值二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上11（5分）sin（） 12（5分）函数f（x）ln（x1）+的定义域是 13（5分）已知是第三象限角，且co
4、s，sin 14（5分）若函数f（x）在其定义域上单调递增，且零点为2，则满足条件的一个f（x）可能是 （写出满足条件的一个f（x）即可）15（5分）已知函数f（x）的图象如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f（x）的说法：f（f（1）3；f（2）f（0）；f（x）2|x1|x+1，x0，4；a0，不等式f（x）a的解集为其中正确的说法有 （写出所有正确说法的序号）三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（14分）已知集合Ax|1x3，Bx|2x4，Cx|0xa（1）求AB，AB；（2）若AC，求实数a的取值范围17（14分）已知不等式ax25x+20的解集是
5、M（1）若1M，求实数a的取值范围；（2）若，求不等式ax2+（2a+3）x60的解集18（14分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：R（1）将利润P（x）（单位：元）表示为月产量x的函数；（利润总收入总成本）（2）若称g（x）为月平均单件利润（单位：元），当月产量x为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？19（14分）已知函数（1）当xR时，求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相应x的值20（15分）已知函数是定义在
6、（2，2）上的奇函数（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（2，2）上是减函数；（3）解不等式f（t1）+f（t）021（14分）设集合SN*，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：TN*，且T中至少有两个元素；对于任意x，yS，当yx，都有xyT；对于任意x，yT，若yx，则；则称集合T为集合S的“耦合集”（1）若集合S11，2，4，求集合S1的“耦合集”T1；（2）若集合S2存在“耦合集”T2，集合S2p1，p2，p3，p4，且p4p3p2p1，求证：对于任意1ij4，有；（3）设集合Sp1，p2，p3，p4，且p4p3p2p12，求集合S的“耦合集”T中元
7、素的个数北京市顺义区2020-2021学年第一学期期末质量监测高一数学试卷答案与解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（4分）已知全集U1，3，5，7，9，A1，3，则UA（）A1，3B5，7，9C1，3，5，7，9D【分析】进行补集的运算即可【解答】解：U1，3，5，7，9，A1，3，UA5，7，9故选：B2（4分）设命题P：xR，x+10，则P为（）AxR，x+10BxR，x+10CxR，x+10DxR，x+10【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可【解答】解：命题P：xR，x+10，则P为xR，x+10故选：C3
8、（4分）已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）ABa2b2Cba0D|b|a|a|b【分析】根据不等式的性质进行判断即可【解答】解：由实数a，b在数轴上对应的点可知，ba0，对于A，由ba0，可得，故A正确，对于B，由ba0，可得a2b2，故B错误，对于C，由ba，可得ba0，故C错误，对于D，由ba0，可得|b|a|a|b，故D错误故选：A4（4分）三个实数a0.33，b20.3，clg0.3的大小关系是（）AabcBbacCcbaDcab【分析】可得出00.331，20.31，lg0.30，然后即可得出a，b，c的大小关系【解答】解：20.3201，lg0.3lg
9、10，00.331，bac故选：B5（4分）函数f（x）lnx+2x3的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）lnx+2x3在（0，+）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）的值，发现f（1）f（2）0，即可得到零点所在区间【解答】解：f（x）lnx+2x3在（0，+）上是增函数，f（1）20，f（2）ln2+10，f（2）f（1）0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）lnx+2x3的零点所在区间为（1，2）故选：A6（4分）“sin”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D
10、既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案【解答】解：sin推不出，不是充分条件，推出sin，是必要条件，故选：B7（4分）单位圆O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是（）ABCD【分析】利用一周为2，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可【解答】解：因为一周为2，故10分钟转了2，所以每分钟就转了，故24分钟转了，所以OP从起始位置OA转过的角是故选：D8（4分）在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线yx对称，若，则sin（）ABCD【分析】设的终边经过点（m，n），则由题意的终边
11、经过点（n，m），利用任意角的三角函数的定义即可得解【解答】解：在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线yx对称，设的终边经过点（m，n），则的终边经过点（n，m），cos，sin故选：D9（4分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（）A11%B22%C33%D100%【分析】根据题意，信噪比比较大时，
12、公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比10000比信噪比1000时提升的多少即可【解答】解：由题意可知，c1Wlog2（1+10000）Wlog210000，c2Wlog2（1+1000）Wlog21000，故提升了，故选：C10（4分）如图，已知OPQ是半径为r，圆心角为的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则关于ABC的周长说法正确的是（）A有最大值，有最小值B有最大值，无最小值C无最大值，有最小值D无最大值，无最小值【分析】将AC、BC分别关于半径AP，AQ对称的线段为AC，BC，将ABC的周长的最值转化为三条线段BC+AB+AC的
13、最值进行分析求解即可【解答】解：将AC、BC分别关于半径AP，BQ对称的线段为AC，BC，则ABC的周长LBC+AB+ACBC+AB+ACCC，当C，A，B，C共线时取等号，故ABC的周长有最小值，最大值无限趋近OPQ，但取不到，故无最大值故选：C二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上11（5分）sin（）【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值【解答】解：sin（）sin，故答案为：12（5分）函数f（x）ln（x1）+的定义域是（1，2）（2，+）【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数f（x）的定义域即可【解答】解：由题意得：，解得：x1且x2，故函数
14、f（x）的定义域是（1，2）（2，+），故答案为：（1，2）（2，+）13（5分）已知是第三象限角，且cos，sin【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解【解答】解：因为是第三象限角，且cos，所以sin故答案为：14（5分）若函数f（x）在其定义域上单调递增，且零点为2，则满足条件的一个f（x）可能是f（x）x2（写出满足条件的一个f（x）即可）【分析】可知，f（x）x2在定义域R上单调递增，且零点为2，从而得出满足条件的一个f（x）可能为：f（x）x2【解答】解：根据f（x）在定义域上单调递增，且f（x）的零点为2，可写出一个f（x）x2故答案为：f（x）x215（5分）已知
15、函数f（x）的图象如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f（x）的说法：f（f（1）3；f（2）f（0）；f（x）2|x1|x+1，x0，4；a0，不等式f（x）a的解集为其中正确的说法有（写出所有正确说法的序号）【分析】直接利用函数的图象和性质求出函数的关系式，进一步确定函数的值，利用函数关系式及赋值法的应用判定的结论【解答】解：根据函数的图象对于，f（f（1）3由于f（1）0，所以f（0）3，故正确；对于，根据函数的图象f（2）3，且f（0）3，故f（2）f（0），故错误；对于，f（x）2|x1|x+1x0，4与f（x），故正确；对于，当x时，f（x）0，2，当x1，2时，f（x）0，1，
16、f（）2f（2），故错误；故答案为：三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（14分）已知集合Ax|1x3，Bx|2x4，Cx|0xa（1）求AB，AB；（2）若AC，求实数a的取值范围【分析】（1）根据集合的基本运算即可求AB，AB；（2）根据AC，建立条件关系即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）已知集合Ax|1x3，Bx|2x4，Cx|0xaABx|1x3x|2x4x|1x4，ABx|1x3x|2x4x|2x3，（2）若AC，则a3则实数a的取值范围是a|a317（14分）已知不等式ax25x+20的解集是M（1）若1M，求实数a的取值范围；（2）若，求
17、不等式ax2+（2a+3）x60的解集【分析】（1）根据不等式ax25x+20的解集是M，把x1代入求出a的取值范围（2）由题意知和2是方程ax25x+20的两个根，由根与系数的关系求出a的值，再求不等式ax2+（2a+3）x60的解集【解答】解：（1）不等式ax25x+20的解集是M，由1M，所以a1251+20，解得a3；所以a的取值范围是（，3）（2）若Mx|x2，则和2是方程ax25x+20的两个根，由根与系数的关系知，解得a2，所以不等式ax2+（2a+3）x60，即为：2x2+7x60，所以2x27x+60，解得x或x2，所以不等式的解集为x|x或x218（14分）某公司生产某种电
18、子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：R（1）将利润P（x）（单位：元）表示为月产量x的函数；（利润总收入总成本）（2）若称g（x）为月平均单件利润（单位：元），当月产量x为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？【分析】（1）利用利润公式直接解出；（2）将g（x）表示出来，利用基本不等式，即可求解【解答】解：（1）当1x400时，P（x）400x20000100x；当x400时，P（x）80000100x2000060000100x；P（x）；（2）由（1）知，g（x），当1x400
19、时，g（x）300（）3002100，当且仅当，即x200时取等号；当x400时，g（x）50，此时无最值；故x取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元19（14分）已知函数（1）当xR时，求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相应x的值【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值【解答】解：（1）函数，所以函数的最小正周期为令（kZ），解得（kZ），故函数的单调递增区间为（kZ）（2）由于，所以，故，当x时，函数的最小值为，当x时，函数的最大值为
20、20（15分）已知函数是定义在（2，2）上的奇函数（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（2，2）上是减函数；（3）解不等式f（t1）+f（t）0【分析】（1）由奇函数的性质得，f（0）0，代入可求m，进而可求函数解析式；（2）先设2x1x22，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合f（x）在区间（2，2）上是减函数且为奇函数即可直接求解【解答】解：（1）由奇函数的性质得，f（0）0，故m0，f（x），证明：（2）设2x1x22，则f（x1）f（x2）0，所以f（x1）f（x2），故f（x）在区间（2，2）上是减函数；（3）因为f（x）在区间（
21、2，2）上是减函数且为奇函数，由f（t1）+f（t）0得f（t1）f（t）f（t），所以2t1t2，解得，故不等式的解集（，2）21（14分）设集合SN*，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：TN*，且T中至少有两个元素；对于任意x，yS，当yx，都有xyT；对于任意x，yT，若yx，则；则称集合T为集合S的“耦合集”（1）若集合S11，2，4，求集合S1的“耦合集”T1；（2）若集合S2存在“耦合集”T2，集合S2p1，p2，p3，p4，且p4p3p2p1，求证：对于任意1ij4，有；（3）设集合Sp1，p2，p3，p4，且p4p3p2p12，求集合S的“耦合集”T中元素的个数【
22、分析】（1）根据“耦合集”定义可得（2）由条件得T2的可能元素为p1p2，p1p3，p1p4，p2p3，p2p4，p3p4，由条件可知S2，得S2，同理其它比得证（3）由（2）知S，得p1 即p2p12，同理可得p3p13，p4p14，故Tp13，p14，p15，p16，p17共5个元素【解答】解：（1）由已知条件得T1的可能元素为：2，4，8，又满足条件，所以T12，4，8（2）证明：若集合S2p1，p2，p3，p4，且p4p3p2p1，由条件得T2的可能元素为p1p2，p1p3，p1p4，p2p3，p2p4，p3p4，由条件可知S2，得S2，同理得S2，同理得S2，S2，S2，S2，所以对于任意1ij4，有S2（3）因为p4p3p2p12，由（2）知S，得p1 即p2p12，同理可得p2，p3，所以p3p13，p4p14，又因为T的可能元素为：p1p2，p1p3，p1p4，p2p3，p2p4，p3p4，所以Tp13，p14，p15，p16，p17共5个元素。
