1、反比例函数的图像与性质的常见应用名师点金名师点金 反比例函数图像的位置及增减性由反比例函数图像的位置及增减性由k的符号决定，的符号决定，|k|决定图像上一点向两坐标轴所作垂线与两坐标轴围决定图像上一点向两坐标轴所作垂线与两坐标轴围成的矩形面积，中考时常将反比例函数图像和性质与成的矩形面积，中考时常将反比例函数图像和性质与其他函数、几何图像综合在一起进行考查，是中考压其他函数、几何图像综合在一起进行考查，是中考压轴题中一个重要的命题方向轴题中一个重要的命题方向1题型题型利用反比例函数解与图形旋转相关的问题利用反比例函数解与图形旋转相关的问题1.如图，如图，ABC的顶点坐标为的顶点坐标为A(2，3
2、)，B(3，1)，C(1，2)，以坐标原点，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋为旋转中心，顺时针旋转转90，得到，得到ABC，点，点B，C分别是点分别是点B，C的的对应点求：对应点求：(1)过点过点B的反比例函数的表达式；的反比例函数的表达式；(2)线段线段CC的长的长(1)由题易得点由题易得点B的对应点的对应点B的坐标为的坐标为(1，3)，设过点设过点B的反比例函数表达式为的反比例函数表达式为 k313.过点过点B的反比例函数表达式为的反比例函数表达式为解：解：,kyx=3.yx=(2)连接连接OC，OC.点点C的坐标为的坐标为(1，2)，OC ABC以坐标原点以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋
3、为旋转中心，顺时针旋 转转90，得到，得到ABC，点，点C是点是点C的对应点，的对应点，OCOC5，COC90.CC22215.+=+=2210.OCOC+=+=2利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题题型题型2.如图，一次函数如图，一次函数yxb的图像与反比例函数的图像与反比例函数y (k为常数，为常数，k0)的图像交于点的图像交于点A(1，4)和点和点 B(a，1)(1)求反比例函数的表达式求反比例函数的表达式 和和a，b的值；的值；(2)若若A，O两点关于直线两点关于直线l对对 称，请连接称，请连接AO，并求出直线，并求出直线l与线段与线段AO的
4、交的交 点坐标点坐标kx(1)点点A(1，4)在反比例函数在反比例函数 (为常数，为常数，k0)的图像上，的图像上，k144.反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为 把点把点A(1，4)，B(a，1)的坐标分别代入的坐标分别代入yxb，得得 解得解得kyx=4.yx=-解：解：411bab ，45.ab，(2)如图，设线段如图，设线段AO与直线与直线l相交于点相交于点M.A，O两点关于直线两点关于直线l对称，对称，点点M为线段为线段OA的中点的中点 点点A(1，4)，O(0，0)，点点M的坐标为的坐标为 即直线即直线l与线段与线段AO的交点坐标为的交点坐标为1,2.2骣桫-1,2.2骣桫-3
5、利用反比例函数解与图形的中心对称相关的问题利用反比例函数解与图形的中心对称相关的问题题型题型3如图，直线如图，直线y x 与与x，y轴分别交于点轴分别交于点A，B，与反比例函数，与反比例函数y (k0)的图像交于点的图像交于点C，D，过点过点A作作x轴的垂线交该反比例函数图像于点轴的垂线交该反比例函数图像于点E.(1)求点求点A的坐标的坐标 (2)若若AEAC.求求k的值的值 试判断点试判断点E与点与点D是否关是否关 于原点于原点O成中心对称，成中心对称，并说明理由并说明理由kx333(1)当当y0时，得时，得0 x ，解得，解得x3.点点A的坐标为的坐标为(3，0)解：解：333(2)如图，
6、过点如图，过点C作作CFx轴于点轴于点F.设设AEACt，易知点，易知点E的坐标是的坐标是(3，t)，在在RtAOB中，中，易知易知OB ，OA3，AB AB2OB.OAB30.CAF30.CF t.3222 3.OBOA+=+=12点点C的坐标是的坐标是又又点点C与点与点E均在反比例函数均在反比例函数 (k0)的的图像上，图像上，解得解得t10(舍去舍去)，t22 .k3t6 .222213.22AFACCFttt骣桫=-=-=-=-=313 .22t,t骣桫+kyx=3133,22ttt骣桫+=+=33点点E与点与点D关于原点关于原点O成中心对称理由如下：成中心对称理由如下：设点设点D的坐
7、标是的坐标是 则则 解得解得x16(舍去舍去)，x23.点点D的坐标是的坐标是(3，2 )又又点点E的坐标为的坐标为(3，2 )，点点E与点与点D关于原点关于原点O成中心对称成中心对称3,3,3xx骣桫-33336 3,3xx骣桫-=-=4利用反比例函数解与图形的平移相关的问题利用反比例函数解与图形的平移相关的问题4如图，反比例函数如图，反比例函数y 与一次函数与一次函数yaxb的图的图 像交于点像交于点A(2，2)，B(，n).(1)求这两个函数表达式；求这两个函数表达式；(2)将一次函数将一次函数yaxb的图像沿的图像沿y 轴向下平移轴向下平移m个单位长度，使平个单位长度，使平 移后的图像
8、与反比例函数移后的图像与反比例函数y 的图像有且只有一个交点，的图像有且只有一个交点，求求m的值的值题型题型kxkx12解：解：(1)A(2，2)在反比例函数在反比例函数y 的图像上，的图像上，k4.反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y 又又点点B 在反比例函数在反比例函数y 的图像上，的图像上，n4，解得，解得n8，即点即点B的坐标为的坐标为kx4.x1,2n骣桫4x121,8.2骣桫由由A(2，2)，B 在一次函数在一次函数yaxb的的 图像上，图像上，得得 解得解得1,82骣桫22182abab，410.ab，(2)由由(1)得，一次函数的表达式为得，一次函数的表达式为y4x10.
9、将直线将直线y4x10向下平移向下平移m个单位长度得直个单位长度得直 线对应的函数表达式为线对应的函数表达式为y4x10m，直线直线y4x10m与双曲线与双曲线y 有且只有且只 有一个交点，有一个交点，令令 4x10m ，得，得4x2(m10)x40，(m10)2640，解得解得m2或或m18.4x4x5利用反比例函数解与最值相关的问题利用反比例函数解与最值相关的问题5如图，已知点如图，已知点A(1，a)是反比例函数是反比例函数y 的图像的图像 上一点，直线上一点，直线y x 与反比例函数与反比例函数y 的图像在第四象限的交点为点的图像在第四象限的交点为点B.(1)求直线求直线AB对应的函数表
10、达式；对应的函数表达式；(2)动点动点P(x，0)在在x轴的正半轴上轴的正半轴上 运动，当线段运动，当线段PA与线段与线段PB的的 长度之差达到最大时，求点长度之差达到最大时，求点P 的坐标的坐标题型题型3x12123x解：解：(1)将将A(1，a)的坐标代入的坐标代入y 中，得中，得a3，A(1，3)B点是直线点是直线y x 与反比例函数与反比例函数 y 的图像在第四象限的交点，的图像在第四象限的交点，由由点点B的坐标为的坐标为(3，1)设直线设直线AB对应的函数表达式为对应的函数表达式为ykxb，3x11223.yxyx，12123x211223 31.2xxyy，解解得得，眄镲镲 yx4
11、.(2)当当P点为直线点为直线AB与与x轴的交点时，线段轴的交点时，线段PA与线与线 段段PB的长度之差最大的长度之差最大 直线直线AB对应的函数表达式为对应的函数表达式为yx4，点点P的坐标为的坐标为(4，0)14.kb，331.kbkb ，6利用反比例函数解与最值相关的问题利用反比例函数解与最值相关的问题6.如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线y2x与反比与反比 例函数例函数y 在第一象限内的图像交于点在第一象限内的图像交于点A(m，2)将直线将直线y2x向下平移后与反比例函数在第向下平移后与反比例函数在第 一象限内的图像交于点一象限内的图像交于点P，且且POA的面
12、积为的面积为2.求：求：(1)k的值；的值；(2)平移后的直线对应的函平移后的直线对应的函 数表达式数表达式题型题型kx解：解：(1)点点A(m，2)在直线在直线y2x上，上，22m.m1.点点A的坐标为的坐标为A(1，2)又点又点A(1，2)在反比例函数在反比例函数y 的图像上，的图像上，k2.kx(2)如图，设平移后的直线与如图，设平移后的直线与y轴交于点轴交于点B，连接，连接AB，则，则 SOABSOAP2.过点过点A作作y轴的垂线轴的垂线AC，垂足为点，垂足为点C，则则AC1.OBAC2.OB4.平移后的直线对应的函平移后的直线对应的函 数表达式为数表达式为y2x4.7题型题型利用反比
13、例函数解与一次函数、三角形面积综合的问题利用反比例函数解与一次函数、三角形面积综合的问题7.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两个顶点的两个顶点A，C在反比例函数在反比例函数 (k0)图象上，点图象上，点B，D在在x轴上，且轴上，且B，D两点关两点关 于原点对称，于原点对称，AD交交y轴于轴于P点点 (1)已知点已知点A的坐标是的坐标是(2，3)，求求k的值及的值及C点的坐标；点的坐标；(2)若若APO的面积为的面积为2，求，求 点点D到直线到直线AC的距离的距离kyx=解：解：(1)点点A的坐标是的坐标是(2，3)，且点，且点A在反比例函数在反比例函数 (k0)图象上，图象上，k6，又易知点又易知点C与点与点A关于原点关于原点O对称，对称，C点的坐标为点的坐标为(2，3)(2)APO的面积为的面积为2，点，点A的坐标是的坐标是(2，3)，2 ，解得，解得OP2，点点P的坐标为的坐标为(0，2)kyx=3,2k=22OP设过点设过点P(0，2)，点，点A(2，3)的直线对应的函数的直线对应的函数表达式为表达式为yaxb，解得解得 即直线即直线PA对应函数的解析式为对应函数的解析式为y x2.将将y0代入代入y x2，得，得x4，D点的坐标为点的坐标为(4，0)OD4，12223bab，=122.ab，=12
