1、郧西县河夹中学 段廉洁最短路径问题将军饮马问题造桥选址问题最短路径问题垂线段最短。两点之间，线段最短。LABABLC问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABCL两种情形 点A，B分别是直线l异侧的两个点 点A,B分别是直线l同侧的两个点ABllABCBC解决问题 1 作图lABBC 证明lABBCClABBCC证明证明:问题 2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab解决问题 2 作图
2、证明ABMNabAABMNabAMN证明证明:ABMNabAMN练习 1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球?2、如图2，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90,在BC，CD上分别找一点M、N，当AMN周长最小时，AMN+ANM的度数为多少？DBAC图 1ABDC图 2AANM郧西县河夹镇初级中学郧西县河夹镇初级中学段廉洁段廉洁造桥选址问题造桥选址问题如图，如图，A A和和B B两地在一条河的两岸，现要在河两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥上造一座桥MN.MN.乔早在何处才能使从乔早在何处才能使从A A到到B B的的路径路径AMN
3、BAMNB最短？（假定河的两岸是平行的直最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）线，桥要与河垂直）BA思维分析思维分析BA 1 1、如图假定任选位置、如图假定任选位置造桥，连接和，造桥，连接和，从从A A到到B B的路径是的路径是AM+MN+BNAM+MN+BN，那，那么怎样确定什么情况下最短呢？么怎样确定什么情况下最短呢？2 2、利用线段公理解决问题我们遇到了、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？什么障碍呢？我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BNAM+MN+BN的前提的前提下下把桥转化到一侧把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助呢？什么图形变换能帮助我们呢？我们呢？思维
4、火花思维火花各抒己见各抒己见1 1、把、把A A平移到岸边平移到岸边.2 2、把、把B B平移到岸边平移到岸边.3 3、把桥平移到和、把桥平移到和A A相连相连.4 4、把桥平移到和、把桥平移到和B B相连相连.上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BNAM+MN+BN不变呢？请检验不变呢？请检验.合作与交流合作与交流1 1、2 2两种方法改变了两种方法改变了.怎样调整呢？怎样调整呢？把把A A或或B B分别向下或上平移一个桥长分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢?问题解决问题解决BAA A1 1M MN N如图，平移如图，平移A A到到A1A1，使，
5、使A1A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1A1交交河岸于作桥，此时河岸于作桥，此时路径最路径最短短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BNAM+MN+BN转化为转化为，而，而转化转化为为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A A1 1N N1 1+BN+BN1 1A A1 1B B因此因此 AM+MN+BN AM+MN+BN问题问题延伸一延伸一如图，如图，A A和和B B两地两地之间之间有两有两条河，现要在条河，现要在两两条条河上河上各各造一座桥造一座桥MNMN和和PQPQ.桥分别建桥分别建在何处在何处才能使从才能使从A A到到B B的
6、路径的路径最短？（假定河的两最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥岸是平行的直线，桥要与河要与河岸岸垂直）垂直）思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+AM+MN+NP+PQ+桥桥MNMN和和PQPQ在中间，且方向不能在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用改变，仍无法直接利用“两点两点之间，线段最短之间，线段最短”解决问题，解决问题，只有利用平移变换转移到两侧只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移平移的方法有三种：两个桥长都平移到到A A点处、都平移到点处、都平移到B B点处、点处、MNMN平移
7、到平移到A A点处，点处，PQPQ平移到平移到B B点处点处思维方法一思维方法一 1 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移、沿垂直于第一条河岸的方向平移A A点至点至AA1AA1使使AA1=MNAA1=MN，此时问题转化为问题基本，此时问题转化为问题基本题型两点（题型两点（A1A1、B B点）和一条河建桥（点）和一条河建桥（PQPQ）2 2、利用基本问题的解决方法确定桥、利用基本问题的解决方法确定桥PQPQ：（1 1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1A1至至A2A2，使使A1A2=PQ.A1A2=PQ.（2 2）连接）连接A2BA2B交交A2A2的对岸的对岸Q Q
8、点，在点处建桥点，在点处建桥PQ.PQ.3 3、确定、确定PQPQ的位置，也确定了的位置，也确定了BQBQ和和PQPQ，此时问题可转，此时问题可转化为由化为由A A点、点、P P点和第一条河确定桥点和第一条河确定桥MNMN的位置的位置.连接连接A1PA1P交的对岸于点，在点处建桥交的对岸于点，在点处建桥问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把点、，使点、，使，；连接交于点相邻连接交于点相邻河岸于点，建桥；河岸于点，建桥；连接交的对岸连接交的对岸于点，建桥；于点，建桥；从点到点的最短路径从点到点的最短路径为为M MMNMN思维方法二思维方法二 沿垂直于第一条河沿垂直于第一条河
9、岸方向平移点至点，岸方向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接移点至点，连接A1B1 A1B1 分别交分别交A A、B B的对岸于的对岸于N N、P P两两点，建桥点，建桥MNMN和和PQ.PQ.最短路径最短路径AM+MN+NP+PQ+QBAM+MN+NP+PQ+QB转化转化为为AA1+A1B1+BB1.AA1+A1B1+BB1.思维方法三思维方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B B点平移至点平移至B B、B B，使，使BBBBPQPQ，B BB BMNMN；连接连接B BA A交于交于A A点相邻河点相邻河岸于岸于M M点，建桥点，建桥MN
10、MN；连接连接B BN N交交B B的对岸于的对岸于P P点，建桥点，建桥PQPQ；从点到点的最短路径从点到点的最短路径为为M MMNMNNPNP转化为转化为AB2+B2B1+B1BAB2+B2B1+B1B问题问题延伸二延伸二如图，如图，A A和和B B两地两地之间之间有三有三条河，现要在条河，现要在两两条条河上河上各各造一座桥造一座桥MNMN、PQPQ和和GHGH.桥分别建桥分别建在何在何处才能使从处才能使从A A到到B B的路的路径最短？（假定河的径最短？（假定河的两岸是平行的直线，两岸是平行的直线，桥要与河桥要与河岸岸垂直）垂直）思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总
11、路径是AM+MN+NP+PQ+AM+MN+NP+PQ+G+GH+HBG+GH+HB桥桥MNMN、PQPQ和和GHGH在中间，且方向在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”解决解决问题，只有利用平移变换转移问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移平移的方法有四种：三个桥长都平移到到A A点处；都平移到点处；都平移到B B点处；点处；MNMN、PQPQ平平移到移到A A点处；点处；PQPQ、GHGH平移到平移到B B点处点处问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸
12、方向依次把A A点平点平移至移至A A、A A、A3A3，使，使AAAAMNMN，A AA APQPQ，A2A3=GH A2A3=GH；连接连接A3BA3B交于交于B B点相邻河岸于点相邻河岸于H H点，点，建桥建桥GHGH；连接连接A2GA2G交第二河与交第二河与G G对岸的对岸的P P点，点，建桥建桥PQPQ；连接连接A1PA1P交第一条河与交第一条河与A A的对岸的对岸于于N N点，建桥点，建桥MN.MN.此时从此时从A A到到B B点路径最短点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A A点平点平移至移至A A、A A、A3A3，使，使AAAAMNMN，A AA APQP
13、Q，A2A3=GH A2A3=GH；连接连接A3BA3B交于交于B B点相邻河岸于点相邻河岸于H H点，点，建桥建桥GHGH；连接连接A2GA2G交第二河与交第二河与G G对岸的对岸的P P点，点，建桥建桥PQPQ；连接连接A1PA1P交第一条河与交第一条河与A A的对岸的对岸于于N N点，建桥点，建桥MN.MN.此时从此时从A A到到B B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A A点平移至点平移至A A，使，使AAAAMNMN，平移，平移B B点至点至B1B1、B2,B2,使使BB1BB1GHGH，B1B2=PQ B1B2=PQ；连接连接A1B2
14、A1B2交第一条河与交第一条河与A A点相对河岸点相对河岸于于N N点，交第二条河与点，交第二条河与N N相邻河岸于相邻河岸于P P点，建桥点，建桥MNMN、PQPQ；连接连接B1QB1Q交第三条河与交第三条河与Q Q相邻河岸的相邻河岸的G G点，建桥点，建桥GHGH；此时从此时从A A到到B B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A A点平移至点平移至A A、A2A2，使，使AAAAMNMN，平移，平移B B点至点至B1,B1,使使BB1BB1GH GH；连接连接A AB B交第三条河与点相对交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，
15、交第二条河与相邻河岸于点，建桥、河岸于点，建桥、PQPQ；连接连接1 1交第一条河与相邻河岸交第一条河与相邻河岸的点，建桥；的点，建桥；此时从此时从A A到到B B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A A点平移至点平移至A A、A2A2，使，使AAAAMNMN，平移，平移B B点至点至B1,B1,使使BB1BB1GH GH；连接连接A AB B交第三条河与点相对交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、河岸于点，建桥、PQPQ；连接连接1 1交第一条河与相邻河岸交第一条河与相邻河岸的点，建桥；的点，建桥；此时从此时从A A到到B B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决
