1、11.1空间几何体空间几何体11.1.1 空间空间几何体与斜二测画法几何体与斜二测画法第十一章 立体几何初步学习目标1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，进一步认识空间几何利用实物、计算机软件等观察空间图形，进一步认识空间几何体，培养空间想象能力体，培养空间想象能力.2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简单组合）的直观图、棱柱等及其简单组合）的直观图.重点重点：用斜二测画法画空间图形的直观图用斜二测画法画空间图形的直观图.难点难点：斜二测画法的理解及应用斜二测画法的理解及应用.知识梳理生活中的物体都占据着
2、空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.一、空间几何体一、空间几何体常见的空间几何体有哪些？棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.1.平面图形与立体图形的区别与联系：（1）平面图形各部分都在同一平面内；立体图形各部分不都在同一平面内.（2）立体图形中有些部分可能是平面图形，立体图形常用合适的平面图形表示出来研究问题.二、斜二测画法二、斜二测画法2.斜二测画法斜二测画法一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下：（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x轴和y轴，使得它们正方向的夹角为 （或135）.
3、（2）平面图形中与x轴平行（或重合）的线段画成与x轴平行（或重合）的线段，且长度 .平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画成与y轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的 .（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.45不变一半一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x轴与y轴）.（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴，且z轴垂直于x轴.图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z轴平行（或重合）的线段，且长度 .连接有关线段.（
4、3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.不变注意：注意：立体几何中的直观图，不都是用斜二测画法作出的.如水平放置的圆.正等测画法总结：总结：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现.例1一空间几何体常考题型请画出如图所示的几何体的表面展开图.【解】【解】展开图如图所示.（答案不唯一）解题归纳绘制多面体展开图的方法绘制多面体展开图的方法绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.一个多面体可有多个平面展开
5、图.1.变式训练下图代表的是正方体的表面展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A B C DB2.在下图所示的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图（填序号）.解题归纳由展开图复原几何体的方法由展开图复原几何体的方法若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，实质上是多面体展开的逆过程.例2二画水平放置的平面图形的画水平放置的平面图形的直观图直观图【解题提示】建立斜坐标系，按照斜二测画法规则可得出点B，C，E对应的点.再在原图上作AGx轴于G，作DHx轴于H，在x轴上确定H、G的位置，根据AG、DH与y轴平行，长度分别为AG，DH的长度的一半可确定A，D的位置
6、，连接各点，擦去辅助线，即可得直观图.按图所示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.解题归纳画水平放置的平面图形的直观图的技巧画水平放置的平面图形的直观图的技巧（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，要根据图形的特点选取适当的坐标系，以方便作图和度量.（2）原图中既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段，可由线段两端点向x轴、y轴作垂线段后，根据垂线段在直观图中的位置确定相应的两点，连成线段.1.变式训练如图所示，在平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（4，6），D（2，5），试画出四边形ABCD的直观图.【解解】画法：（1）先画x轴和y轴，两轴相交于点
7、O，使xOy45，如图.（2）在原图中作AEx轴，垂足为E（1，0）.（3）在x轴上截取OEOE，作AEy轴，截取EA1.5.（4）同理确定点B，C，D，其中BG0.5，CH3，DF2.5.（5）连线成图（去掉辅助线）就是所要画的四边形ABCD的直观图，如图所示.解题归纳水平放置的平面图形的直观图的画法步骤水平放置的平面图形的直观图的画法步骤画轴；定点；连线成图.三三画画空间几何体的直观图空间几何体的直观图例3画正六棱柱（底面为正六边形的直棱柱）的直观图.【解题提示】【解题提示】建立空间直角坐标系，先利用斜二测画法画底面，再由z轴的方向上的线段长度不变画出棱柱的高，最后连接各个顶点得上底面.【
8、解】【解】（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90.（2）画底面：画正六边形的直观图ABCDEF（O为正六边形的中心）.（3）画侧棱：分别过点A，B，C，D，E，F作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF，使AABBCCDDEEFF.（4）连线成图：连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，如图.去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱ABCDEF-ABCDEF，如图所示.解题归纳空间几何体的直观图画法空间几何体的直观图画法空间几何体的底面（水平放置）的直观图的画法与水平放置的平面图形的直观图的画法相同，画立体图形的直观图与画平面图形的直
9、观图相比，只是多了一个z轴，以便画其高.具体规则如下：（1）已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段；（2）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中其长度变为原来的一半.变式训练画棱长为2的正方体的直观图.【解解】（1）作水平放置的正方形的直观图ABCD，使BAD45，AB2，AD1.（2）过点A作z轴，使BAz90，分别过点A，B，C，D，沿z轴的正方向取AA1BB1CC1DD12.（3）连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如图，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线就是所要画的正方体的直观图，如图
10、所示.解题归纳画空间几何体的直观图的步骤可简记为：画空间几何体的直观图的步骤可简记为：画轴；画底面；画高线，定点；连线成图.四四由直观图还原平面图形由直观图还原平面图形例42019吉林省实验中学高一检测吉林省实验中学高一检测如图，正方形OABC的边长为a（a0），它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是.【解题提示】【解题提示】把直观图还原成平面图形，关键是找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点.解题归纳把直观图还原为平面图形的方法把直观图还原为平面图形的方法根据直观图中的偏斜方向确定xOy45或135，建立斜坐标系xOy，建系时要把直观图中的顶点尽量多的放到坐
11、标轴上，然后建立平面直角坐标系xOy，按斜二测画法的规则逆反回去得出原图形的顶点，最后把顶点连接成图.变式训练2019吉林公主岭高二模拟吉林公主岭高二模拟水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知BC4，AC3，且BCy轴，则ABC中AB边上的中线的长度为.五五与直观图有关的计算问题与直观图有关的计算问题例5解题归纳变式训练D小结斜二测画法一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x轴与y轴）.（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴，且z轴垂直于x轴.图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z轴平行（或重合）的线段，且长度不变.连接有关线段.（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.
