1、第第22讲讲 矩形、菱形、正矩形、菱形、正 方形（一）方形（一） 考点考点1 矩形矩形 考点自主梳理与热身反馈 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 定义定义 有有一个角是一个角是_的平行四边形叫做矩形的平行四边形叫做矩形 矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴 对称性对称性 矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点 定理定理 (1)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_ (2)矩形的对角线互相平分并且矩形的对角线互相平分并且_ 性性 质质 推论推论 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边
2、的在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的_ (1)定义法定义法 (2)有有_个角是直角的四边形是矩形个角是直角的四边形是矩形 判定判定 (3)对角线对角线_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形 相等相等 直角直角 直角直角 相等相等 一半一半 三三 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 1矩形具备而平行四边形不具有的性矩形具备而平行四边形不具有的性质是质是( ) A对角线互相平分对角线互相平分 B邻角互补邻角互补 C对角相等对角相等 D对角线相等对角线相等 2若直角三角形的两直角边长分别为若直角三角形的两直角边长分别为8 cm和和6 cm，则斜，则斜 边上的中线长为边上的
3、中线长为( ) A8 cm B10 cm C5 cm D6 cm C D 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 3如图如图221，点，点O是矩形是矩形ABCD的中心，的中心，E是是AB上的点，沿上的点，沿 CE折叠后，点折叠后，点B恰好与点恰好与点O重合，若重合，若BC3，则折痕，则折痕CE的长为的长为 ( ) 图图221 A2 3 B.3 3 2 C. 3 D6 A 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 4如图如图222所示，四边形所示，四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AC、BD交交 于点于点O，12. (1)求证：四边形求证：四边形AB
4、CD是矩形；是矩形； (2)若若BOC120，AB4 cm，求四边形，求四边形ABCD的面积的面积 图图222 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 解：解：(1)证明证明：12，BOCO，即即2BO2CO. 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形， AOCO，BOOD， AC2CO，BD2BO，ACBD. 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形，四边形四边形ABCD是矩形是矩形； (2)在在BOC中中，BOC120 ， 12(180 120 ) 230 . 在在RtABC中中，AC2AB248(cm)， BC 82424 3 (cm) 四边形四边形ABCD的
5、面积的面积4 3416 3 (cm2) 考点考点2 菱形菱形 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 定义定义 有一组有一组_相等的平行四边形是菱形相等的平行四边形是菱形 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直 线是它的对称轴线是它的对称轴 对对 称称 性性 菱形是中心对称图形，它的对称中心是两菱形是中心对称图形，它的对称中心是两 条对角线的交点条对角线的交点 性性 质质 定定 理理 (1)菱形的四条边菱形的四条边_ (2)菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相_平分，平分， 并且每条对角线平分并且每条对角线平分_ 邻边邻边 相等相等 垂
6、直垂直 一组对角一组对角 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） (1)定义法定义法 (2)四条边四条边_的四边形是菱形的四边形是菱形 判定判定 (3)对角线互相对角线互相_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形 面积面积 菱形的面积等于两对角线乘积的菱形的面积等于两对角线乘积的_ 一半一半 相等相等 垂直垂直 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 5.在菱形在菱形ABCD中，中，AB5 cm，则此菱形的周长为，则此菱形的周长为( ) A5 cm B15 cm C20 cm D25 cm 6已知菱形已知菱形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点
7、相交于点O， BAD120，AC4，则该菱形的面积是，则该菱形的面积是( ) A16 3 B16 C8 3 D8 C C 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 7如图如图223，若要使平行四边形，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需成为菱形，则需 要添加的条件是要添加的条件是( ) 图图223 AABCD BADBC CABBC DACBD C 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 8如图如图224，四边形，四边形ABCD是菱形，是菱形，BEAD、BFCD， 垂足分别为垂足分别为E、F. (1)求证：求证：BEBF； (2)当菱形当菱形ABCD的对
8、角线的对角线AC8，BD6时，求时，求BE的长的长 图图224 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 解：解：(1)证明证明：四边形四边形ABCD是菱形是菱形，ABCB，AC. BEAD、BFCD，AEBCFB90 . 在在ABE和和CBF中中， AC， ABCB， AEBCFB90 ， ABECBF(AAS)，BEBF. (2)如图如图， 对角线对角线AC8，BD6， 对角线的一半分别为对角线的一半分别为4、3， 菱形的边长为菱形的边长为42325，菱形的面积菱形的面积 5BE1 2 86，解得解得BE24 5 . 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（
9、一） 9已知：如图已知：如图225，平行四边形，平行四边形ABCD的对角线的对角线AC的垂的垂 直平分线与边直平分线与边AD、BC分别相分别相交于点交于点E、F. 求证：四边形求证：四边形AFCE是菱形是菱形 图图225 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 证明：证明：方法一方法一：AEFC，EACFCA. 又又AOECOF，AOCO，AOECOF.EOFO. 又又EFAC，AC是是EF的垂直平分线的垂直平分线 AFAE，CFCE. 又又EAEC，AFAECECF. 四边形四边形AFCE为菱形为菱形； 方法二方法二：同方法一同方法一，证得证得AOECOF. AECF.四
10、边形四边形AFCE是平行四边形是平行四边形 又又EF是是AC的垂直平分线的垂直平分线，EAEC，四边形四边形AFCE是菱形是菱形； 方法三方法三：同方法二同方法二，证得四边形证得四边形AFCE是平行四边形是平行四边形 又又EFAC，四边形四边形AFCE为菱形为菱形 考点考点3 正方形正方形 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 正方形正方形 的定义的定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四 边形叫做正方形边形叫做正方形 (1)正方形对边平行正方形对边平行 (2)正方形四正方形四边相等边相等 (3)正方形四个角都是直角正方形四个
11、角都是直角 (4)正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对 角线平分一组对角角线平分一组对角 正方形正方形 的性质的性质 (5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，正方形既是轴对称图形也是中心对称图形， 对称轴有四条，对称中心是对角线的交点对称轴有四条，对称中心是对角线的交点 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） (1)有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形正方形 的判定的判定 (2)有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 10.如
12、图如图226，正方形，正方形ABCD中，点中，点E、F分别在边分别在边BC、CD 上，且上，且AEEFFA.下列结论：下列结论：ABEADF；CECF； AEB75；BEDFEF；S ABESADFSCEF.其中其中 正确的是正确的是_(只填写序号只填写序号) 图图226 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 11已知：如图已知：如图227，点，点E，F，P，Q分别是正方形分别是正方形 ABCD的四条边上的点，并且的四条边上的点，并且AFBPCQDE. 求证：求证：(1)EFFPPQQE； (2)四边形四边形EFPQ是正方形是正方形 图图227 第第2222讲讲 矩形菱形
13、正方形（一）矩形菱形正方形（一） 11证明：证明：(1)四边形四边形ABCD是正方形是正方形， ABCD90 ，ABBCCDAD. AFBPCQDE，DFCEBQAP. 在在APF和和DFE和和CEQ和和BQP中中， AFDECQBP， ADCB， APDFCEBQ， APFDFECEQBQP(SAS)， EFFPPQQE； 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） (2)EFFPPQQE， 四边形四边形EFPQ是菱形是菱形 APFBQP， AFPBPQ. AFPAPF90 ， APFBPQ90 ， FPQ90 ， 四边形四边形EFPQ是正方形是正方形 考点考点4 中点四边形
14、中点四边形 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 定义定义 顺次连接一个四边形各边中点所得的顺次连接一个四边形各边中点所得的 四边形叫做中点四边形四边形叫做中点四边形 解法解法 构造三角形中位线的基本图形，使用构造三角形中位线的基本图形，使用 三角形中位线定理解决问题三角形中位线定理解决问题 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 12.顺次连接菱形各边中点所得顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是的四边形一定是( ) A等腰梯形等腰梯形 B正方形正方形 C平行四边形平行四边形 D矩形矩形 13若一个四边形若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则
15、四的中点四边形是一个矩形，则四 边形边形ABCD可以是可以是_ 对角线互相垂直的四边形对角线互相垂直的四边形 D 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 考向互动探究与方法归纳 典型分析 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 例例 如图如图228，在平行四边形，在平行四边形ABCD中，中，DAB60，AB 2AD，点，点E、F分别是分别是AB、CD的中点，过点的中点，过点A作作AGBD，交，交 CB的延长线于点的延长线于点G. (1)求证：四边形求证：四边形DEBF是菱形；是菱形； (2)请判断四边形请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并是什么特殊四
16、边形？并 加以证明加以证明 图图228 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 解：解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD且ABCD，ADBC且ADBC. E、F分别为AB、CD的中点，BE1 2AB，DF 1 2CD， 四边形DEBF是平行四边形， 在ABD中，E是AB的中点，AEBE1 2ABAD. 又DAB60， AED是等边三角形，即DEAEAD，故DEBE， 平行四边形DEBF是菱形 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） (2)四边形AGBD是矩形理由如下： ADBC且AGDB， 四边形AGBD是平行四边形 由(1)的证明知A
17、DDEAEBE， ADEDEA60，EDBDBE30， 故ADB90. 平行四边形AGBD是矩形 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 方法归纳方法归纳 解决和平行四边解决和平行四边形有关的计算和说理问题，形有关的计算和说理问题， 关键是根据图形的特点结合平行四边形的性质以及平行线的关键是根据图形的特点结合平行四边形的性质以及平行线的 有关性质进行分析有关性质进行分析有的问题还需要将平行四边形问题转化有的问题还需要将平行四边形问题转化 为特殊三角形的问题，借助勾股定理解决为特殊三角形的问题，借助勾股定理解决 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 如图
18、如图229，O为矩形为矩形ABCD对角线的交点，对角线的交点， DEAC，CEBD. (1)试判断四边形试判断四边形OCED的形状，并说明理由；的形状，并说明理由； (2)若若AB6，BC8，求四边形，求四边形OCED的面积的面积 图图229 第第2222讲讲 矩形菱形正方形（一）矩形菱形正方形（一） 解：解：(1)四边形四边形OCED是菱形是菱形 证明：证明：DEAC，CEBD，四边形四边形OCED是平行四边形是平行四边形 又又在矩形在矩形ABCD中，中，OCOD，四边形四边形OCED是菱形是菱形 (2)连接连接OE.由菱形由菱形OCED得得CDOE，OEBC. 又又CEBD，四边形四边形BCEO是平行四边形，是平行四边形， OEBC8，S四边形 四边形OCED1 2OE CD 1 2 8624.
