1、空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算一一 复习引入复习引入 已知两个非零向量已知两个非零向量 ,作作 ,则则 叫做向量叫做向量 的夹角的夹角.OAa,a b OBb(0180)AOBab与与 已知两个非零向量已知两个非零向量 ,它们的夹角它们的夹角为为 ,我们把我们把 叫做向量叫做向量 的数量积的数量积,记做记做 ,即即 =.,a b|a|b|cos a b a b|a|b|cos ,a b1 向量的夹角向量的夹角:abO OA AB Bab2 平面向量数量积平面向量数量积:(1)a ee a|a|cos (2)aba b0 a b(4)cosab 3 平面向量数量积的性质平面向量数量积的
2、性质22(3)|a|a aa 4 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)a bb a （交换律）(2)(a)b(a b)a(b)(3)(ab)ca cb c （分配律）（数乘结合律）二二 新课新课 因为向量可以自由平移，所以空间中任意两因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个向量共面向量共面.因此，平面中两个向量的夹角及数量因此，平面中两个向量的夹角及数量积等相关概念、性质可以推广到空间积等相关概念、性质可以推广到空间.1 1 空间向量的夹角的定义：对于两个空间向量的夹角的定义：对于两个非零非零向量向
3、量,a b ，在空间在空间任取任取一点一点 O O，作作 OA a uuuuuu ，OB b uuuuuu ，则，则AOBAOB 叫做叫做,a b 的夹角，的夹角，记作记作,a b .abO OA AB Bab2 2 空间向量夹角的性质空间向量夹角的性质(1)(1)显然显然 ;a,bb,a a,b0,(2)(2)规定规定 ;(3)(3)当当 时，同向时，同向;当当 时，时，称称 ;当当 时，反向时，反向.a,b2 ab a,b a,b0 CCDDBBAAC CD DA AB B3 3 空间向量数量积的定义空间向量数量积的定义AA ADAAAA CCAA C uuuu uuuu uuuu uuu
4、u uuuu uu uuuu uu uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu BDBDB B练习练习 已知正方体已知正方体A ACC边长边长为为1,1,求：求：已知空间两个非零向量已知空间两个非零向量 ，叫做向量叫做向量 的数量积的数量积,记做记做 ,即即 =.a a，b b|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b a a，b b a ba b a ba b4 4 空间两个向量数量积的性质空间两个向量数量积的性质 a bcosa,b|a|b|(1)a e|a|cosa,e (2)aba b0 22(3)|a|a aa 5 5 数量积满足的运算律数量积满
5、足的运算律(1)a bb a （交换律）(2)(a)b(a b)a(b)（数乘结合律）3 a(bc)a ba c.（分配律）三三 课堂练习课堂练习._,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa)()4)()()3)()()()2)(0,0,01.222222qpqpqpqpqpcbacbababa则若）判断真假：3.11(2)(3)(4).ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF ACuuu uuu uuu uuu uuu uuuuuu uuu如图：已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点、分别是、的中点.计算：（）ADFCBE例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两
6、条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的的交点为交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l。分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l l与平面内与平面内任意直线任意直线g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l要证要证l l与与g g垂直，只需证垂直，只需证lglg0 0而而m m，n n不平行，由共面向量定理知，不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对存在唯一的有序实数对(x,y)(x,y)使得使得 g=xm+yng=xm+yn 要证要证lglg0,0,只需只需l g=l g=xlm+yln=0 xlm+yln=0而而lmlm0 0，lnln0 0故故 lg
7、 lg0 0三典型例题三典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的的交点为交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l。n nm mgg gmnll l证明：在证明：在 内作不与内作不与m m、n n重合的任一条重合的任一条直线直线g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m与与n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（可知，存在唯一的有序实数对（x x，y y），），使使 g g=x=xm m+y
8、+yn n,lglg=x=xlmlm+y+ylnln lmlm=0,=0,lnln=0=0 lglg=0=0 lglg lglg 这就证明了直线这就证明了直线l l垂直于平面垂直于平面 内的内的任一条直线，所以任一条直线，所以ll 例例2：已知：在空间四边形：已知：在空间四边形OABC中，中，OABC，OBAC，求证：，求证：OCABACOBCBOA，证明：由已知A AB BC CO O 0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理利用向量知
9、识证明三垂线定理aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbabuuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu
10、 uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu 22CDabbab CABDD30DBD CDAC BDAB DD,ABaACBDbAB 例例3 3 如图，已知线段如图，已知线段 在平面在平面 内，线段内，线段 ，线段，线段 ，线段，线段 ，如果，如果 ，求点求点 、之间的距离。之间的距离。DCBDABCA解：解：ACABADAA uuuuuu uuuuuuuuuuuu uuuuuu22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA uuuu uuu uuuuuuuuuu uuu uuu
11、uuuuuu uuuuuuuuu uuuuuuuuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu uuu|85AC uuuu uuuu ABCDA B C D 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC 例例4 4 已知在平行六面体已知在平行六面体 中，中，求对角线求对角线 的长。的长。1.1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离.ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabcuuu uuu uuu uuu
12、uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu 222CDabc练习：练习：2.2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。，点分别是边的中点。求证：。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDNuuuu uuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuu所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa uuu uuuu uuu uuuuuuuuuuuu uuuu uuu uuuuuuuuuuuu uu
13、uuuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu uuuMNAB同理，同理，MNCD 3.3.已知空间四边形已知空间四边形，求证：。，求证：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB证明：证明：()|cos|cos|cos|cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu OABC4.4.如图，已知正方体，如图，已知正方体，和和 相交于相交于点，连结点，连结 ，求证：。，求证：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC四四 小结小结空间向量数量空间向量数量积的定义积的定义空间向量数量积空间向量数量积的性质的性质空间向量数量积空间向量数量积的运用的运用空间向量的夹角空间向量的夹角(1)a e|a|cosa,e(2)aba b0(3)|a|a a a b0aa aa bcosa,b|a|b|2 2用用 证证垂垂直直用用|求求距距离离用用求求夹夹角角
