1、Email:江苏省泰州中学数学选修课数学史选讲数学史选讲-分形概述分形概述讲授人：宋德银讲授人：宋德银江苏省泰州中学选修课Email:江苏省泰州中学数学选修课分形(fractal)o 分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家-曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的大自然的分形几何学(The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。o 分形(fractal)是20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念，Email:江苏省泰州中学数学选修课什么是分形呢？o 曼德尔布莱特最先引入分形(fractal)一词，意为“破碎的
2、，不规则的”。o 目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说:o 分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称；o 分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合；o 分形是具有某种意义下的自相似集合；Email:江苏省泰州中学数学选修课认识分形o 如果您从未听说过“分形”，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的办法：去市 场买一个新鲜的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形!o 分形可以是自然存在的，也可以是人造的。花椰菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、
3、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层。想想它们的形状、结构!Email:江苏省泰州中学数学选修课海岸线的长度是多少？o 1967年曼德布罗特在科学上发表题为英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数的 著名论文。o 此文的原由在于曼德布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，及大国公布的公共边界线小，而小国公布的公共边界线大。o 原因在于边界线是一个复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度越大。o 为了说明这一问题，考虑下面的科赫曲线。Email:江苏省泰州中学数学选修课乡镇乡镇XX年财政工作总结范文年财政工作总结范文XX年乡镇财政工作总结年乡镇财政工作总结X
4、X年以来年以来,财政所在县财政局和乡党委、政府的正确领导和关心帮助下财政所在县财政局和乡党委、政府的正确领导和关心帮助下,按照按照“三个代表三个代表”的要求的要求,坚持党的路线、方针、政策坚持党的路线、方针、政策,以马克思、列宁主义、毛泽以马克思、列宁主义、毛泽东思想和邓小平理论为指导东思想和邓小平理论为指导,按照效能建设的要求按照效能建设的要求,努力转变思想作风、工作作努力转变思想作风、工作作风和工作态度风和工作态度,树立为党委、政府当家理财和全心全意为人民服务的宗旨意识树立为党委、政府当家理财和全心全意为人民服务的宗旨意识;强化资金管理强化资金管理,做好节支增收工作做好节支增收工作;并与各
5、部门通力合作并与各部门通力合作,尽心尽力尽心尽力,尽职尽责尽职尽责,全全面服从服务于党委、政府的心工作面服从服务于党委、政府的心工作;认真搞好各项财政财务工作。继续搞好认真搞好各项财政财务工作。继续搞好“零户统管零户统管”工作工作,坚持收支两条线管理坚持收支两条线管理,做好会计电算化工作做好会计电算化工作,努力搞好内部制努力搞好内部制度和环境卫生建设度和环境卫生建设,加强对加强对财政违法行为处罚处分条例财政违法行为处罚处分条例和纪律、政策、廉和纪律、政策、廉洁从政等有关法律法规的学习。认真学习新洁从政等有关法律法规的学习。认真学习新党章党章,严格执行严格执行预算法预算法、会计法会计法和和会计基
6、础工作规范会计基础工作规范以及乡党委、政府做出的关于财政财务以及乡党委、政府做出的关于财政财务的有关批示和决定的有关批示和决定,搞好会计档案管理工作等。现从三方面对搞好会计档案管理工作等。现从三方面对2008年的工作年的工作情况如下情况如下:一、一年来所做的工作一、一年来所做的工作、认真制定了、认真制定了XX年财政工作计划。年财政工作计划。、认真贯彻执行、认真贯彻执行预算法预算法、会计法会计法和相关的财经纪律制度。和相关的财经纪律制度。、节支增收、节支增收,努力保工资发放、保机构正常运转。努力保工资发放、保机构正常运转。、按照所内、按照所内图1 柯赫曲线Email:江苏省泰州中学数学选修课柯赫
7、曲线Email:江苏省泰州中学数学选修课Koch曲线的生成过程第1步Email:江苏省泰州中学数学选修课Koch曲线的生成过程第2步Email:江苏省泰州中学数学选修课Koch曲线的生成过程第3步Email:江苏省泰州中学数学选修课Koch曲线的生成过程第4步Email:江苏省泰州中学数学选修课Koch曲线与雪花曲线连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线Email:江苏省泰州中学数学选修课科赫曲线F 的长度为o 事实上，对于每个k，E k的长度为4()34()lim()lim3kkkkkkl El Fl E Email:江苏省泰州中学数学选修课随机Koch曲线对海岸线的模拟Email:江
8、苏省泰州中学数学选修课科赫曲线F的自相似维数o 由于F 的长度为，而面积为0，因此F的维数既不是1，也不是2，而是一个介于1与2之间的分数。o 科赫曲线F的自相似维数为3ln4lndimFEmail:江苏省泰州中学数学选修课康托尔集F及构造过程设E0是单位长直线段，E1是由E0除去中间13的线段所得到图形,它包含四个线段。对E1的每个线段都进行同一过程来构造E2，依此类推。于是得到一个曲线序列E k，其中E k是把E k-1的每一个直线段中间13除去而得到的；当k充分大时，曲线E k和E k-1只在精细的细节上不同，当k时，曲线序列E k趋于一个极限曲线F，Email:江苏省泰州中学数学选修课
9、图2 康托尔三分集Email:江苏省泰州中学数学选修课康托尔集F的特性o 康托尔集曲线F是自相似的，两个部分与整体的相似比例为1/3；o F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体；o F是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；o F 中点的数目为，而长度为0；Email:江苏省泰州中学数学选修课康托尔集F 的长度为0o 事实上，对于每个k，E k的长度为032lim)(lim)(32)(kkkkkkElFlElEmail:江苏省泰州中学数学选修课康托尔集F的自相似维数o 由于康托尔集F中点的数目为，而长度为0，因此F的维数既不是0，也不是1，而是一个介于0与1之间的分数。o 科赫曲线F的
10、自相似维数为ln2dimln3FEmail:江苏省泰州中学数学选修课谢尔宾斯基地毯o 波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”。如今，讲分形都要提到。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。Email:江苏省泰州中学数学选修课 图3 谢尔宾斯基三角形 Email:江苏省泰州中学数学选修课分形o 将分形看作具有如下性质的集合:o 1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。o 2.F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。o 3.F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。o 4.F在
11、某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数。o 5.F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。Email:江苏省泰州中学数学选修课分形理论是一门横断学科o 分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。o 分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。Email:江苏省泰州中学数学选修课陈省身的观点o 历史上几何学可分为六个时期：o 1)公理(欧几里德)；o 2)坐标(笛卡尔，费
12、马)；o 3)微积分(牛顿，莱布 尼兹)；o 4)群(克莱因，李)；o 5)流形(黎曼)；o 6)纤维丛(嘉当，惠特尼)。o 7)分形几何（曼德布罗特）Email:江苏省泰州中学数学选修课分形的特性o 英国数学家Falconer在分形几何的数学基础及应用一书中认为：o 分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看作具有某些性质的集合。Email:江苏省泰州中学数学选修课分形几何的历史o 萌芽期：十九世纪末，二十世纪初.Cantor集，Weierstrass函数等的提出.o 形成期：二十世纪六、七十年代.Mandelbrot的
13、大量工作.1.1967年，Science,英国的海岸线有多长？2.1975年，分形对象：形，机遇和维数.分形(fractal)这个词源于这本书.它是从意思 是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生 出来的.Email:江苏省泰州中学数学选修课分形几何的历史(续)o 发展期：二十世纪八十年代至今.1.Hutchinson,1981,分形与自相似.给出了自相似集合的数学理论基础.2.Mandelbrot,1982,自然界的分形几何.3.Barnsley,1988,Fractal everywhere.4.Falconer,1990,分形几何数学基础 及其应用.Email:江苏省泰州中学
14、数学选修课分形几何的研究方法维数和测度我们仅讨论维数o 传统意义下的维数：点是0维的，线是1维的，平面是2维的，立方体是三维的，o 用这个维数去刻画分形集合时的困难：u Cantor集：含有无穷多个点，长度为0.u Koch曲线：长度为无穷，面积为0.Email:江苏省泰州中学数学选修课分形的盒维数o 设 是一个有界平面集合,其中 是一个正方形,将 分成边长为 的子正方形.记 为与 相交的子正方形的个数,则定义的盒维数为:)/1ln()(lnlim)(0NFdRF RR)(NREmail:江苏省泰州中学数学选修课几个典型自相似集的分形维数o Cantor集:把Cantor集放大3倍所得到的集合
15、，可以看成是2个Cantor集合叠加而成，所以它的维数是ln2/ln3.o Koch曲线:维数是ln4/ln3.Email:江苏省泰州中学数学选修课分形维数的一种定义（1）o 换种角度看维数.把线段放大两倍后，所得线段可以看成是2个原来线段叠加而成。把正方形放大两倍后，所得正方形可以看成是422个原来的正方形叠加而成。把立方体放大两倍后，所得立方体可以看成是823个原来的立方体叠加而成。Email:江苏省泰州中学数学选修课图2 康托尔三分集Email:江苏省泰州中学数学选修课分形的应用领域o 数学中的动力系统等;o 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等;o 化学中酶的构造等;o 生物中细胞的生
16、长等;o 地质学中的地质构造等;o 天文学中土星光环的模拟等;o 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等Email:江苏省泰州中学数学选修课分形的产生-复函数迭代用Z表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。任意给定初始复数值 ，定义复数序列对于什么样的初始值 ，复数序列收敛或有界？nZ0Z0Z)1(,2,1,0),(1nZfZnnEmail:江苏省泰州中学数学选修课 Julia集 考虑复变函数迭代固定复参数 c，使得迭代序列有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即 迭代序列 有界)2(,1,0,21ncZZnnnZ0ZnZ|0ZJcEmail:江苏省泰州中学数学选修课
17、 Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 记 则（2）变为0ZqipcyixZ,)3(21221qyxypyxxnnnnnnnZ|0cJZEmail:江苏省泰州中学数学选修课 Julia 集的一个绘制方法：1、设定初值 p,q,最大的迭代次数 N,图形的大小 a,b,及使用的颜色数 K.2、设定区域的界值 3、将区域 分成 的网格，分别以每个网格点为初值 利用（3）做迭代。如果对所有的 都有 ，则将象素(i,j)置为黑色。如果从某一步 n 开始，则将象素(i,j)置为颜色 n mod K。),2
18、max(22qpM,MMMMRba),(00yxNn 222Myxnn222MyxnnEmail:江苏省泰州中学数学选修课 用IFS绘制分形的一个方法、设图形可视区域为假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为N。、将 V 分成 的网格，格点为 用表示矩形区域。用表示在N次迭代中落入 中点的个数。记 则象素(i,j)的灰度为ba,maxminmaxminyyxxV),(jiyx,11jjiiijyyxxVijijVijmaxLjiGij/),(Email:江苏省泰州中学数学选修课Email:江苏省泰州中学数学选修课Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选
19、修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形图片欣赏Email:江苏省泰州中学数学选修课分形视频欣赏o 数学之美 007-Flower_标清.flvo 数学之美Julia Set分形_标清.flvo Dimensions 6：分形_标清.flv
