1、请欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；剩下十五围着我，共有多少请算清剩下十五围着我，共有多少请算清你能列出方程来解决这个问题吗？你能列出方程来解决这个问题吗？希腊数学家丢番图（公元希腊数学家丢番图（公元34世纪）世纪）的墓碑上记载着：的墓碑上记载着：“他的生命的六分之一是幸福童年；他的生命的六分之一是幸福童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了
2、儿子，感到很幸福；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲年龄的一半；可是儿子只活了他父亲年龄的一半；儿子死后，他在极悲痛中度过了四年，儿子死后，他在极悲痛中度过了四年，也与世长辞了也与世长辞了”根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？1 能根据实际问题，建立数学模型能根据实际问题，建立数学模型一元一次方程，来解决；一元一次方程，来解决；2能在解方程中，正确合并同类项能在解方程中，正确合并同类项 1由实际问题引入，进一步熟悉列方程由实际问题引入，进一步熟悉列方程解应用题的分析步骤；解应用题的分析步骤；2渗透运用数学问题来解决实际问题的渗透运
3、用数学问题来解决实际问题的建模思想建模思想1通过引导发现，培养独立思考问题的能通过引导发现，培养独立思考问题的能力；力；2通过学习，更加关注生活，增强用数学通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情的意识，从而激发学习数学的热情未知数，列方程，用合并及等式性质未知数，列方程，用合并及等式性质解方程解方程1建立方程时寻找建立方程时寻找“相等关系相等关系”;2合并时合并时“x”或或“x”前面的系数为前面的系数为1或或“1”约公元约公元825年，中亚细亚数年，中亚细亚数学家阿尔学家阿尔-花拉子米写了一本代数花拉子米写了一本代数书，书，阿拉伯文书名是阿拉伯文书名是ilm al-j
4、abr wal muqabalah，直译应为，直译应为还原与对消的科学还原与对消的科学al-jabr 意为意为“还原还原”，这里指把负项移，这里指把负项移到方程另一端到方程另一端“还原还原”为正项；为正项；muqabalah 意即意即“对消对消”或或“化化简简”，指方程两端可以消去相同，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项一般认为拉的项或合并同类项一般认为拉丁文中代数学一词丁文中代数学一词algebra是由是由al-jabr演变而来演变而来 阿尔阿尔花拉子米花拉子米（约（约780约约850）合并同类项实际实际问题问题一元一次一元一次方程方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方
5、程，是解决实际问题的一种数学方法.设未知数设未知数 列方程列方程1167xx怎样解方怎样解方程程?问题问题1：在一卷公元前：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古年左右遗留下来的古埃及草卷中埃及草卷中,记载者一些数学问题记载者一些数学问题,其中一个问题翻其中一个问题翻译过来是：译过来是：“啊哈啊哈,它的全部它的全部,它的它的 其和等于其和等于16”.你你能求出问题中的能求出问题中的“它它”?17 解解:设问题中的它为设问题中的它为x，则：它的，则：它的 为为 .根据问题中的相等关系：它的全部它的根据问题中的相等关系：它的全部它的 16可列方程可列方程1717x17合并同类项合并同类项系数化为系
6、数化为11167xx8167x x14分析：解方程，就是把方程变形，变为 x=a（a为常数）的形式.答答:问题中的它是问题中的它是14.解方程中“合并”起了什么作用？解方程中的解方程中的“合并合并”是利用分配律将是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一含有未知数的项和常数项分别合并为一项它使方程变得简单，更接近项它使方程变得简单，更接近x=a的形的形式式.解：设计划生产解：设计划生产型电视机型电视机x台，则计划生台，则计划生产产型电视机型电视机15x台台,计划生产计划生产型电视机型电视机20 x台，台，列方程列方程 某电视机厂今年计划生产电视机某电视机厂今年计划生产电视机21600台，
7、台，其中其中型，型，型，型，型三种电视机的数量之比为型三种电视机的数量之比为1:15:20，这三种电视机计划各生产多少台，这三种电视机计划各生产多少台?x15x20 x21 600练一练练一练 答：答：型电视机计划生产型电视机计划生产600台台,型电视型电视机计划生产机计划生产9000台台,型电视机计划生产型电视机计划生产12000台台合并同类项，得合并同类项，得36x21600系数化成系数化成1，得，得x600所以所以计划生产计划生产型电视机型电视机600159000（台）（台）,计划生产计划生产型电视机型电视机6002012000（台）（台）.解：解：合并同类项，得合并同类项，得 2x10
8、 系数化为系数化为1，得，得 x5.例例1：解方程：解方程（1）5x3x10 解：合并同类项，得解：合并同类项，得 2x7系数化为系数化为1，得，得7x2152733xx解：合并同类项，得解：合并同类项，得 4x9 系数化为系数化为1，得，得（3）6x1.5x0.5x99x4（4）3x5x6x3420解：合并同类项，得解：合并同类项，得 2x8.系数化为系数化为1,得得 x4.（1）2x0.5x10;（2）3x4x1510;（4）4x5x3x3.536x4x5 9x4练一练练一练解下列方程解下列方程 1简单方程解法步骤 移项；移项；合并同类项；合并同类项；系数化为系数化为1 问题问题2：有一批
9、学生去游玩，若每辆车坐：有一批学生去游玩，若每辆车坐43人，则还有人，则还有35人没座；若每辆车坐人没座；若每辆车坐45 人，则还人，则还有有15人没座，求有多少辆车，多少学生？人没座，求有多少辆车，多少学生？解：设有解：设有x辆车辆车.每辆车坐每辆车坐43人，共有人，共有43x人，加上没座的人，加上没座的35人，共有学生人，共有学生43x35.若每辆车坐若每辆车坐45人，共有人，共有45x人，加上没座的人，加上没座的15人，共有学生人，共有学生45x15.找相等关系：学生的总人数是一个定值，表找相等关系：学生的总人数是一个定值，表示它的两个式子应相等，所以列方程示它的两个式子应相等，所以列方
10、程 43x35 45x15怎样解方程怎样解方程?43x35 45x1543x45x153543x353545x45x153545x等式性质等式性质1 把等式一边的某一项变号后移到另一把等式一边的某一项变号后移到另一边边.移项移项合并同类项合并同类项系数化成系数化成1x103x3043x45x153543x35 45x15答：有答：有10辆车，辆车，465个学生个学生.所以学生总人数为：所以学生总人数为：431035465（人）（人）.移项把等式一边的某项变号后移到另把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项一边，叫做移项 通过移项，含未知数的项与常数项通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程
11、左右两边，使方程更接近分别位于方程左右两边，使方程更接近于于x=a的形式的形式以上解方程中以上解方程中“移项移项”起了什么作用？起了什么作用？下面的移项对不对？如果不对，请下面的移项对不对？如果不对，请改正？改正？（1）从）从5210，得，得2105（2）从）从325，得，得325 （3）从从2x513，得，得2x3x15 2x1053x2x52x3x15练一练练一练下列移项正确的是（下列移项正确的是（）A由由2x8，得到，得到x82 B由由5x8x，得到得到5xx 8C由由4x2x1，得到得到4x2x1 D由由5x30，得到得到5x3C练一练练一练例例2：解下列方程：解下列方程.1 6738
12、()()xx解：移项，得解：移项，得6x3x87合并同类项，得合并同类项，得3x15.系数化为系数化为1,得得x5.6x73x86x3x87移项时应注意改变项的符号移项时应注意改变项的符号2125234()xx解：移项，得解：移项，得212534xx合并同类项，得合并同类项，得5712x 系数化成系数化成1，得，得845x 215234xx212534xx解下列方程解下列方程.（1）10 x46（2）5x73x 533 1254()()xxx1x1165x 练一练练一练解方程的步骤及依据：1 1移项（等式的性质移项（等式的性质1 1）合并（分配律）合并（分配律）系数化为系数化为1 1（等式的性
13、质（等式的性质2 2）2 2“对消对消”与与“还原还原”就是就是“合并合并”与与“移项移项”3 3表示同一量的两个不同式子相等表示同一量的两个不同式子相等 现在你能回答前面提到的古老的现在你能回答前面提到的古老的代数书中的代数书中的“对消对消”与与“还原还原”是什是什么意思吗？么意思吗？“对消对消”与与“还原还原”就就是是“合并合并”与与“移移项项”.下面方程的解法对吗？如果不对，下面方程的解法对吗？如果不对，应怎样改正？应怎样改正？解：移项，得解：移项，得合并同类项，得合并同类项，得 xx32123122 xx3122 xx132x112 x2x 32x系数化为系数化为1，得，得 1 1移项
14、时，通常把含有未知数的移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边；号的右边；2 2移项要改变符号移项要改变符号.例例3：有一列数：有一列数,按一定的规律成按一定的规律成1，2，4，8，16，32，64，其中某三个，其中某三个相邻数的和为相邻数的和为1 536，这三个数各是多少，这三个数各是多少?解：设这三个相邻数中的第解：设这三个相邻数中的第1个数为个数为x，那么第那么第2个数就是个数就是2x，第第3个数就是个数就是2（2x）4x.根据这三个数的和是根据这三个数的和是1536，得，得 x2x4x1 536.合并同类项，得合并同类项，得 3
15、x1 536.系数化为系数化为1，得，得 x=512.所以所以 2x=1 024,4x2 048.答：这三个数是答：这三个数是512、1 024、2 048.1有一列数，按一定规律排列成有一列数，按一定规律排列成1，5，25，125若其中某三个相邻数的若其中某三个相邻数的和是和是13 125，这三个数各是多少，这三个数各是多少？练一练练一练解：设这三个相邻数中的第解：设这三个相邻数中的第1个数为个数为x，那么第那么第2个数就是个数就是5x，第第3个数就是个数就是5（5x）25x.根据这三个数的和是根据这三个数的和是13 125，得，得 x5x25x13 125.合并同类项，得合并同类项，得 1
16、9x13 125.系数化为系数化为1，得，得 x=625.所以所以 5x=3 125,25x 15 625.答：这三个数是答：这三个数是625、3 125、15 625.2三个连续的奇数的和是三个连续的奇数的和是27，求这，求这三个奇数三个奇数 解：设这三个相奇数中的第解：设这三个相奇数中的第2个数为个数为x，那么第那么第1个数就是个数就是x2，第第3个数就是个数就是 x2.根据这三个数的和是根据这三个数的和是27，得，得（x2）x x227解，得解，得x9所以第第所以第第1个数就是个数就是x2927；第第3个数就是个数就是 x29211.答：这答：这3个奇数是个奇数是7，9，11.解：设这三
17、个相奇数中的第解：设这三个相奇数中的第2个数为个数为x，那么第那么第1个数就是个数就是x2，第第3个数就是个数就是 x2.根据这三个数的和是根据这三个数的和是29，得，得（x2）x x229解，得解，得x因为不是奇数，所以不存在这样的因为不是奇数，所以不存在这样的三个奇数三个奇数.3如果三个连续奇数的和是如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？你能求出这三个奇数吗？293293 4在某月内，李老师要参加三天的学习培在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是训，现在知道这三天的日期的数字之和是39.（1）培训时间是连续的三天，你知道这几）培训时间是连续的三天
18、，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？天分别是当月的哪几号吗？（2）若培训时间是连续三周的周六，那这）若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？几天又分是当月的哪几号？（1）12、13、14（2）6、13、20 例例4：根据下面的两种移动电话计：根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题费方式表，考虑下列问题 （1）一个月本地通话时间）一个月本地通话时间150分和分和300分，分，计算按两种移动电话计费方式各需要交费多少计算按两种移动电话计费方式各需要交费多少元？元？（2）会出现两种移动电话计费方式收费一）会出现两种移动电话计费方式收费一样吗？样吗？解：（解：（1）（2）设累计
19、通话）设累计通话t分分,则按方式一要收费则按方式一要收费（50+0.3t）元，按方式二要收费（）元，按方式二要收费（100.4t）.如果如果两种移动电话计费方式收费一样，两种移动电话计费方式收费一样，则则 50+0.3t 100.4t 移项，得移项，得 0.3t-0.4t=1050 合并同类项，得合并同类项，得 0.1t=40.系数化为系数化为1，得，得 t=400.由上可知，如果一个月内通话由上可知，如果一个月内通话400分，那么两分，那么两种计费方式的收费一样种计费方式的收费一样.（1）8人分别乘两辆小汽车赶往火车站，人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站其中一辆小汽车在
20、距离火车站15千米的地方千米的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有出了故障，此时离火车停止检票时间还有42分，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆分，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的人，这辆小汽车的平均速度为平均速度为60千米千米/时，这时，这8人能赶上火车吗？人能赶上火车吗？（设走行速度为（设走行速度为5千米千米/时）时）.练一练练一练第一种情况：第一种情况：小汽车分二批送这小汽车分二批送这8人，若第二批人在原地人，若第二批人在原地不动，那么小汽车来回要走不动，那么小汽车来回要走15345千米，所需千米，所需时间为时间为 45
21、分分42分，因此，单靠汽车来分，因此，单靠汽车来回接送无法使回接送无法使8人都赶上火车人都赶上火车.第二种情况：第二种情况：若在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，若在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可以节省时间，汽车送完第一批人后，用了可以节省时间，汽车送完第一批人后，用了x453604解：此题可分类讨论：解：此题可分类讨论：小时与第二批人相遇，再用小时与第二批人相遇，再用x小时送到火车站，小时送到火车站，则列方程得，则列方程得，1556015560 xx解得：解得：1152x 所用时间为：所用时间为：时，时，因为因为40.442，因此，这时，因此，这时8人能赶上火车人能赶上火车.151
22、1352605252356040 452.(.(分分钟钟)第三种情况：第三种情况：这辆汽车行驶到途中一定位置时放下第这辆汽车行驶到途中一定位置时放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么这时所用时间更少人同时到达火车站，那么这时所用时间更少.（2）一位老商人在临死前，把他的儿子叫）一位老商人在临死前，把他的儿子叫到床前，他要把他一生积蓄的金币分给儿子们，到床前，他要把他一生积蓄的金币分给儿子们，让大儿子拿出一枚金币后，再把盘里的让大儿子拿出一枚金币后，再把盘里的 分给分给他；然后让二儿子拿二枚金币后，再分盘里的他；然后让二儿子拿二枚
23、金币后，再分盘里的 给他；让二儿子拿三枚金币后，再分盘里的给他；让二儿子拿三枚金币后，再分盘里的 给他给他照这样分法分下去，让最后一个儿子拿完照这样分法分下去，让最后一个儿子拿完金币后，金币恰好分完，面且每个儿子得到的金金币后，金币恰好分完，面且每个儿子得到的金币数相等，请你算一算，老商人一生攒了多少枚币数相等，请你算一算，老商人一生攒了多少枚金币？他共有几个儿子？金币？他共有几个儿子？171717 分析：设老商人共积攒分析：设老商人共积攒x枚金币，大儿子拿出一枚金币，大儿子拿出一枚后，盘里还剩（枚后，盘里还剩（x1）枚，大儿子又拿了盘中）枚，大儿子又拿了盘中的的 ，因此大儿子共得金币，因此大
24、儿子共得金币 枚枚.此时盘中剩此时盘中剩 枚，被二儿子拿枚，被二儿子拿走二枚后，盘中还剩走二枚后，盘中还剩 枚二儿子又分得此时盘中的枚二儿子又分得此时盘中的 ，因此二儿子共，因此二儿子共得到金币得到金币 枚枚 根据根据所有儿子得到的金币都相等，可列出方程所有儿子得到的金币都相等，可列出方程.171117()()x1117()()xx11127 ()xx1711211277 ()xx111112112777()()xxx解：设老商人一生积攒了解：设老商人一生积攒了x枚金币，枚金币，列方程列方程去括号，得去括号，得1162012774949xx移项，得移项，得1620121749497xx合并同类
25、项，得合并同类项，得1364949x 系数化为系数化为1,得得x36.即老商人共有即老商人共有36枚金币，大儿子分得枚金币，大儿子分得 因为所有儿子分得的金币数都相等，因为所有儿子分得的金币数都相等，因此老商人有因此老商人有11167()()(枚枚),),x3666(个个)儿儿子子.答：老商人一生积攒了答：老商人一生积攒了36枚金币，他枚金币，他共有共有6个儿子个儿子.用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：实际问题实际问题数学问题数学问题（一元一次方程）（一元一次方程）实际问题实际问题的答案的答案数学问题的解数学问题的解 （x=a）检验检验列方程列方程解方程解方程 1简单方程解法步骤 移
26、项；移项；合并同类项；合并同类项；系数化为系数化为12用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：实际问题实际问题数学问题数学问题（一元一次方程）（一元一次方程）实际问题实际问题的答案的答案数学问题的解数学问题的解 （x=a）检验检验列方程列方程解方程解方程 1 若方程若方程x98的解也是方程的解也是方程ax37解解,则则a_.2若若x4是方程是方程 的解的解,则则 的值为的值为_.384xnx23nn4103解下列方程解下列方程.1103342 102363 4206291024 2781034();();();();();();().().xxxxxxxxxxxxx1x4x12x1 4已知
27、：已知：y1=2x+1，y2=4 x.当当x取取何值时，何值时，y1=y2？解：由题意，得解：由题意，得 2x+1 4 x 移项，得移项，得 2xx41 合并同类项，得合并同类项，得 3x3 系数化为系数化为1，得，得 x1.所以当所以当x1时，时，y1=y2.5.有一人问老师，他所教的班级有多有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：少学生，老师说：“一半学生在学数学，一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足六位学生正在操场生在学外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球踢足球”你知道这个班有多少学生吗？你知道这个班有多少学
28、生吗？解：设这个班有解：设这个班有x个学生，个学生，列方程列方程1116247xxxx移项，得移项，得1116247xxxx 合并同类项，得合并同类项，得3628 x系数化为系数化为1，得，得x56.答：这个班有答：这个班有56个学生个学生.6.小明和小刚每天早晨坚持跑步，小明小明和小刚每天早晨坚持跑步，小明每秒跑每秒跑4米，小刚每秒跑米，小刚每秒跑6米米.（1）若他们站在百米跑道的两端同时相）若他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后相遇？向起跑，那么几秒后相遇？（2）若小明站在百米起点处，小刚站在）若小明站在百米起点处，小刚站在他前面他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后米处，两人
29、同时同向起跑，几秒后小明追上小刚？小明追上小刚？解解：（：（1）设）设x秒后相遇秒后相遇.4x6x100米米可得方程可得方程:6x4x100合并同类项，得合并同类项，得10 x100系数化为系数化为1，得，得x10.答：两人答：两人10秒后相遇秒后相遇.4x106x（2）设小明）设小明x秒后追上小刚秒后追上小刚.可得方程：可得方程：4x106x移项，得移项，得4x6x10合并同类项，得合并同类项，得2x10系数化为系数化为1,得得x5.答：小明答：小明5秒后追上小刚秒后追上小刚.181.（1）x=2；（2）x=3；（3）y=-1；（4）b=.52.略.513.（1）x=-4；（2）y=；（3）
30、x=4；（4）y=.624.设型洗衣机生产x台，型洗衣机生产2x台，型洗衣机生 产14x台，则x+2x+14x=25 500，x=1 500，3x=3 000，14x=21 000.5.设宽为x m，长为1.5x m，2（x+1.5x）=60，x=12，1.5x=18.6.设漫灌用水x吨，喷灌用水0.25x吨，滴灌用水0.15x吨，则x+0.25x+0.15x=420，x=300，0.25x=75，0.15x=45.7.设前年10月生产再生纸x吨，则 2x+150=2 050，x=950.8.设这个乡去年农民平均收入x元，则 x+0.2x=1.5x-1 200，x=4 000.9.设其中的另一段长为x厘米，x+2x-5=100，x=35.20=x+300 x=300.9.设其中的另一段长为x厘米，x+2x-5=100，x=35.10.设购物x元时，买卡与不买卡花钱相等，则 200+0.8x=x，x=1 000.当所购物品价格超过1 000元时，买卡购物合算.x11.设火车长度为x m，车速为m/s，20s的时间中火车行驶10 （x+300）m，则x 10，
