1、预测卷（一）数学（文科） 第 1 页 共 8 页 福建省 2020 年普通高等学校招生全国统一考试精准预测卷一 数学（文） 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若 A 是由“同欢同乐同祝愿”中所有字组成的集合,B 是由“欢乐中国年”中所有字组成的集合,则 AB= A. 欢,乐 B. 同,乐 C.乐,年 D. 同,国 2.命题“ 32 0,( )(25)sin ()mf xxmxx xR是奇函数“的否定是 A. 32 0,( )(25)sin ()mf xxmxx xR)是偶函数 B. 32 0,( )(25)s
2、in ()mf xxmxx xR不是偶函数 C.m 32 0,( )(25)sin ()f xxmxx xR不是奇函数 D. 32 0, ( )(25)sin ()mf xxmxx xR是奇函数 3.已知 a 1 3 11 32 1 log,log,( ) 1032 bc ,则 a,b,c 的大小关系是 A.ab c B.bc a C.cab D.ac b 4.已知右图表示 A 城市某月 1 日至 5 日的当天最低气温的数据折线图(其中横轴 n 表示日期,纵轴 x 表示气温),则 A 城市这 5 天的最低气温平均数 A x和方差 2 A s分别为 A.12 和 3.5 B.10 和 7.5 C
3、.15 和 12.5 D.12.5 和 3.75 5.已知平面向量 a,b 满足 a 1313 3 ( ,),(,) 2222 ab,则 a 与 a-b 的夹角为 A.45 B.60 C.90 D.120 6.函数 ln | ( )cos x f xx x 的部分图象大致是 预测卷（一）数学（文科） 第 2 页 共 8 页 7.执行如图所示的程序框图，则输出的 b 的值是 A.11 B.13 C.15 D.17 8.已知函数 2 ( )3cossin cos 3 , 2 f xxxx则 f(x)满足 A.图象关于直线 6 x 对称 B.在 3 (, 24 )上单调递增 . () 3 3 2 C
4、 f D.当 11 12 x 时有最小值一 1 9.等差数列 n a的前 n 项和为, n S若 a2 1 3 5,(1)(1), 2 nn nSnSn n 则 20 S A.610 B.630 C.650 D.670 10.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,B= 30 ,且2asin(2)sin(2)sin ,3, ABC AbcBcbC S则 ABC 的周长是 3.4A .23B .42 3C D.6 预测卷（一）数学（文科） 第 3 页 共 8 页 11.双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线的倾斜角为 120 ,右焦点为 F,过点 F 且互相
5、垂直的两条直 线与 y 轴分别交于 A,B 两点,当ABF 的面积取得最小值 4 时,双曲线 C 的方程是 22 .1 62 xy A 2 2 .1 3 x By 22 .1 26 xy C 2 2 .1 3 y D x 12.三棱锥 P- ABC 中,PA平面 ABC,ABC 是正三角,PA=AB,M 为 PA 的中点,设点 A 到平面 MBC 和平面 PBC 的距离分别为 12 ,d d,则 1 2 d d 6 . 3 A 7 . 3 B 6 . 4 C 7 . 4 D 二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分。 13.已知复数 z=3- 4i,则 25 z 的虚部是_
6、14.某学校为了解 500 名新生的近视情况,将这些学生编号为 000,001,002,.,499,从这些新生中用系统抽样的方法 抽取 50 名学生进行检查,若 048 号学生被抽到,则被抽中的初始编号为_ 15.已知 f(x)是 R 上的以 2 为周期的周期函数,且 2 3 9, 10 ( ) log3,01 x ax f x xaxx ,若 57 ()( ) 23 ff,则 a=_ 16.直线 l:y=x 与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 交于 A,B 两点,在线段 AB 上任取一点 P(P 不与原点重合),以 P 为中 点作椭圆的弦 MN,若直线 MN 的斜率为 1 3 ，
7、则椭圆的离心率为_ 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须 作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分)中国诗词大会在传承弘扬中华文化基因、增强文化自信和文化自觉方面持续发力,实现了传播中华 优秀传统文化的创作初心.为了解对古诗词的兴趣是否对学生的语文成绩有影响,某校随机抽取 200 名学生,对学生的 语文成绩和对古诗词的兴趣情况进行了调查,统计数据如表所示(不完整): 已知随机抽查这 200 名学生中的一名学生，抽到对古诗词不感兴趣的学生的概率是 0.4. （1
8、）请将表格补充完整，根据表格所给数据，运用独立性检验的基本思想，计算有多大把握认为学生的语文成 绩与对古诗词的兴趣有关； 预测卷（一）数学（文科） 第 4 页 共 8 页 （2）现从表格中对古诗词感兴趣的学生中按语文成绩是否优秀分层抽样选出 6 人，求所抽取的 6 人中“语文成 绩优秀”和“语文成绩一般”的人数； （3）从（2）中抽取的 6 人中再随机抽取 2 人，求选出的 2 人中恰有 1 名学生语文成绩优秀的概率。 参考公式: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 其中.nabcd 参考数据: 18.（12 分）如图 1，四棱锥 P-ABCD 的底面是正
9、方形，PD 垂直于底面 ABCD,M 是 PC 的中点，已知四棱锥的 侧视图，如图 2 所示。 （1）证明：DMPB； （2）求棱锥 P 一 BDM 的体积。 19. (12 分)已知数列 n a为等比数列,且 1 1 1 ( ). 4 n n n aa (1)求公比 q 和 2 a的值; 预测卷（一）数学（文科） 第 5 页 共 8 页 (2)若 n a的前 n 项和为, n S求证: 121 ,1 9,9 nn aSa 成等比数列. 20. (12 分)已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为 F,点 8 (0,),(2 ,0) 3 MNp,线段 MN 与抛物线 C 交于点 P,3
10、.MPPN (1)求抛物线 C 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F,且与抛物线 C 交于 A,B 两点,线段 AB 中点为 1, O以为 AB 直径的圆 1 O与 y 轴交于 H,K 两点,若, 1 KOH为锐角,求 k 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 2 2 ( )ln, a f xaxx x ,(其中 a0,且),( )afx R是函数 f(x)的导函数,设 2 ( )( ),g xx fx (x0). (1)当 a=1 时,求函数 g(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0, +)上存在唯一的零点 0, x求 0 x的值. (其中x表示不超过 x 自整数
11、,如 -0.22=-1,0.22=0,3.2=3). 参考数据:ln2=0.639,ln3= 1.099,ln5=1.609,ln7= 1.926. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l 的参数方程为 cos 3sin xt yt (t 为参数),以 O 为极点,x 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 22 (1 2cos)3. (1)当 =0 时,求直线 l 的普通方程并求曲线 C 的直角坐标方
12、程; (2)若直线 l 与曲线 C 相切于点 B,求|AB|的值. 23. (10 分)选修 4-5:不等式选讲 预测卷（一）数学（文科） 第 6 页 共 8 页 已知0,0, 2 ab abab，函数 f(x)=|2x+3|-|x-1|. (1)求 a+b 的最小值; (2)若对任意 a 0,0,( ) 16 ab bf x 都成立,求实数 x 的取值范围. 预测卷（一）数学（文科） 第 7 页 共 8 页 28 33 40 40 9 ( , 普通高等学校招生全国统一考试 精准预测卷（一） 数学（文科）参考答案和解析数学（文科）参考答案和解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题
13、，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1. 【答案答案】A 【解析解析】A=同，欢，乐，祝，愿，B=欢，乐，中，国，年， A B 欢，乐 2. 【答案答案】C 【解析解析】特称命题的否定是全称命题，“是奇函数”的否定是“不是奇函数” 3. 【答案答案】D 1 1 1 【解析解析】因为 a log1 log1 1 ， b log 1 log 1 1 0 ， c ( )3 (0,1) ，所以 a c b . 4. 【答案答案】A 3 10 3 3 2 3 2 2 【解析解析】
14、xA 15 10 12.5 10 12.5 12 ， 5 s2 1 (15 12)2 +(10 12)2 (12.5 12)2 (10 12)2 (12.5 12)2 3.5 . A 5 5. 【答案答案】C 【解析解析】b (a b) a ( 1 , 3 3 ) 1 3 ) (1, 3) ， 则 a b ( 3 , 3 ) ， 2 2 2 2 2 2 因为 a (a b) 1 3 3 3 0 ，所以a (a b) ，即a 与a b 的夹角为90 . 2 2 2 2 6. 【答案答案】B 【解析解析】因为 f (x) cos x ln | x | 是非奇非偶函数，所以排除选项 A；因为 f (
15、1) cos1 ln |1| cos1 ， x 1 接近cos 1 ， 所以排除选项 D； 又 当 x 从1趋近于0 时，cos x 1， ln | x | ， 所 以 f (x) ， 3 2 排除选项 C.所以选项 B 正确. 7. 【答案答案】A 【解析解析】程序运行如下： a x ， b 5 ， a 不是整数； a ， b 7 ， a 不是整数； a ， b 9 ， a 不是整数； a 7 ， b 11， a 是整数，程序运行终止.输出b 11. 8. 【答案答案】B 52 3 28 5 33 7 预测卷（一）数学（文科） 第 8 页 共 8 页 3 3 3 ) ABF f (x) 3
16、cos2 x sin x cos x 3 cos(2x 2x k, x k ,k Z 【解析解析】 2 6 , 令 6 2 12 ，可验证 A 错， 3 7 11 x ( , ), 2x ( , ) 2 4 6 6 6 ， 得 f (x) 单调递增，所以 B 正确， f ( ) 3 2 x 11 ， 当 12 时函数 f (x) 有最 大值 1，所以 C,D 错 9. 【答案答案】A 【解析解析】因为an 是等差数列，所以 Sn n(a1 an ) ，S 2 n1 (n 1)(a1 an1) ，代入已知等式并整理， 2 得 an1 an 3 ，所以等差数列an 的公差 d 3 ，所以 an 5
17、 (n 2) 3 3n 1 ， S20 (2 59) 20 610 . 2 10. 【答答案案】C 【解析解析】因为 2asinA 2b csinB 2c bsinC ， 由正弦 b 2 c2 a2 1 定理可得 2a 2 b 2b c c 2c b ，整理得 2 2 2 cosA 2bc 2 b c a bc ，解得 A 120 又 B 30 ，所以C 180 120 30 30 ，即C B 30 ，所以b c . 1 2 SABC = 2 b sin120 ,所以 b c 2 . 由余弦定理，得 a2 b2 c2 2bc cos120 12 ，解得 a 2 ， 所以三角形的周长为 4 2
18、. 11. 【答案答案】D 【解析解析】 由渐近线的倾斜角为120 ， 知b a .设直线 FA : y k (x c) (k 0) ， 则 A(0, ck ) ，同理， 直线 FB ： y 1 (x c) ，则 k c B(0, ) k ，所以| AB | ck | | c | k 1 1 c2 1 2 c(| k | | k |) ， 所以， ABF 的面积 SABF 2 | AB | c (| k | ) c 2 | k | ，当且仅当 k 1 时，等号 成立，所以 S 的最小值为c2 ，于是c2 4 ，得c 2 ，所以 a2 c2 3a2 2 2 2 2 y2 4 3a ，得 a 1
19、， b 3 ，所以双曲线C 的方程是 x 1. 3 ， 3 3 预测卷（一）数学（文科） 第 9 页 共 8 页 AF ，所以 5) 7 ) 2 2 1 2 1 2 3 3 3 3 1 12. 【答案答案】D 【解析解析】 设 BC 的中点为 N ， 连 接 PN ，MN ，AN ， 则 BC PN ，BC MN ， 所 以 BC 平 面 PMN ， 又因 为 BC 平面 PBC ， BC 平面 MBC ， 所以平面 PMN 平面 PBC ， 平面 PMN 平面 MBC . 所以， 过点 A 分别作平面 MBC ， 平 面 PBC 的垂线，垂足 E ，F 分别在 MN ，PN 上 ， 设 PA
20、 AB 2a ， 则 AN 2a ， AM a . 在 RtAMN 中 ， AE a 3a 3a ， 在 RtAPN 中 ， 2a 3a 2 3a d1 AE 7 . 2a 2 7a 7 d2 AF 4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 【答案答案】 4 【解析解析】 25 25 25(3 4i) 3 4i ，故虚部为 4 . z 3 4i 25 14. 【答案答案】008 【解析解析】由题意得抽样间隔为 500 10 ， 50 因为 048 号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为 008 号， 15. 【答案答案】3 【
21、解析解析】 因为 f (x) 周期为2 ， 所以 f ( f ( ) 得 f ( 2 3 1 1 2 f (3) ，则 f ( 1) 92 a 2 1 1 a a a 3 a ， f (3) log3 1 ，所以3 a 1 ，得 a 3 . 16. 【答案答案】 3 【解析解析】设 P(t, t) (t 0) ， M (x , y ) ， N (x , y ) ， 由 M ， N 在椭圆上， 得 b2 x2 a2 y2 a2b2 ， 1 1 2 2 1 1 b2 x2 a2 y2 a2b2 ， 两 式 相 减 ， 得 b2 (x2 x2 ) a2 ( y2 y2 ) 0 ， 整 理 得 b2
22、(x x )(x x ) a2 ( y y )( y y ) 0 ， 由 中 点 公 式 得 x x 2t ， y y 2t ， 所 以 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 y y b2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2t b (x1 x2 ) 2ta ( y1 y2 ) 0 ，所以 1 2 ，得 a 3b ，即 a 3(a c ) ，所以 x x a 2 3 1 2 2a2 3c2 ，得 e c 6 . 6 预测卷 （一） 数学 （文科） 第 10 页 共 8 页 a 3 预测卷 （一） 数学 （文科） 第 11 页 共 8 页 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分. .解
23、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答都必须作答. .第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. . 17. 【解析解析】（1）表格如下 对古诗词不 感兴趣 对古诗词感 兴趣 总计 语文成绩优秀 20 80 100 语文成绩一般 60 40 100 总计 80 120 200 200(20 40 60 80) 2 100 （3 分） K 2 33.33 10.828 ， （4 分） 100 1
24、00 80 120 3 所以由 99.9%的把握认为学生的语文成绩与对古诗词的兴趣有关. （5 分） （2） 所抽取的 6 人中“语文成绩优秀”的人数为 6 80 120 4 ， “语文成绩一般”的人数为12 40 120 2 ,（6 分） （3） 所抽取的 6 人中“语文成绩优秀”的有 4 人，分别记为 A,B,C,D，“语文成绩一般”的有 2 人，分别记为 m,n, 则抽取的结果共有 15 种 ： （A,B）,（A,C）,（A,D）,（B,C）,（B,D）,（C,D）,（A,m）,（A,n）,（B,m）, （B,n）,（C,m）,（C,n）,（D,m）,（D,n）,（m,n）,（8 分）
25、设 “选出的 2 人中恰有 1 名学生语文成绩优秀”为事件 M， 事件 M 包含的基本事件有 8 种 ： （A,m）,（A,n）,（B,m）,（B,n）,（C,m）,（C,n）,（D,m）,（D,n）， （11 分） 则 P(M ) 8 .（12 分） 15 18. 【解析解析】（1） 由侧视图可知， PD AD 3 ，（1 分）因为 PD 平面 ABCD ，所以 PD BC ， 又因为 ABCD 是正方形，所以 BC CD . 而 PD CD D ，所以 BC 平 面 PCD .（4 分 ） 因为 DM 平 面 PCD ，所以 DM BC . 又 PCD 是等腰三角形，M 是 PC 的中点，
26、所以 DM PC ， 预测卷 （一） 数学 （文科） 第 12 页 共 8 页 1 n 1 2 n ( ) 1 1 1 而 PC BC C ，所以 DM平面 PBC, 而 PB 平面 PBC，所以 DMPB.（7 分） （2）V V 1 1 3 2 3 2 3 9 .（12 分） P BDM B PDM 3 2 2 2 4 19. 【解析解析】（1）因为 a a 1 n1 ，所以 a a 1 n ， n1 n 4 n n 1 ( 4) 两式相除得： q 1 . （3 分） 4 又因为 a a 1 n 1 n 1 3a 1 n 1 n 1 n1 n a1( 4) ( 4) ( ) ( ) 1 4
27、 4 所以 a1 12 ， a a q 1 . （6 分） 2 1 48 1 1 1 n ( ) 1 1 （2） S = 12 4 1 ( ) n n 1 9 4 4 所以 1 9Sn ( ) 4 9a2n1 9 1 12 ( 1) 2n2 3 4 ( 1) 2n1 ， a 1 4 12 所以(1 9S )2 ( ) 4 1 3 12 1 2 n 1 4 所以 a1 ,1 9Sn , 9a2 n 1 成等比数列. （12 分） 8 20.【解析解析】（1）设 P(x0 , y0 ) ，则 MP (x0 , y0 3) ， PN (2 p x0 , y0 ) ， （1 分） 因为3MP PN ，
28、所以3x0 2 p x0 ， 3y0 8 y0 ， （2 分） x p p 解得 0 2 ， y0 2 ，所以点 P 坐标为( 2 , 2) ， （3 分） 代入抛物线C 方程，得 4 2 p p ，解得 p 2 （舍去 p 2 ）， 2 所以抛物线C 的方程为 y2 4x . （4 分） （2）依题意，设直线l 方程为 y k (x 1) ， 代入 y2 4x ，整理的 k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0 ， （5 分） ( ) n ， 预测卷 （一） 数学 （文科） 第 13 页 共 8 页 2 2 2 4 2 1 6a 1 6a 1 6a 1 6a 1 6a 1 6a 1 显
29、然 k 0 ，设 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2 2k 2 4 k 2 ， （6 分） 所以| AB | x1 x2 2 . （7 分） 过O 作 y 轴的垂线，垂足为Q ，因为KO H 为锐角，则0 KO Q 45 ， 1 1 1 所以 | O1Q | 2 ，即 | O Q | 1 | AB | . （9 分） | O1K | 2 2 因为| O Q | x1 x2 ， 1 2 所以 2(x1 x2 ) x1 x2 2 ，得( 1)( x x ) 2 ， （10 分） 2 2 1 2 将 x1 x2 2k 2 4 k 2 代入，得( 1) 2k 2 4 k
30、 2 2 ， 整理得(2 2)k 2 2( 2 1) ，得 k 2 ， 解得 4 2 k ， k 0 ， 所以， k 的取值范围是( 4 2, 0) (0, 4 2) . （12 分） 21 【解析解析】 （1）当 a 1 时， f (x) ax2 ln x 2a x2 ln x 2 , (x 0) ， x x g(x) x2 f (x) x2 (2x 1 2 ) 2x3 x 2 ， x x2 g (x) 6x2 1 ，令 g (x) 6x2 1 0 ，得 x 6 . 6 当 x (0, 6 ) 时， g(x) 单调递减，当 x ( 6 6 , ) 时， g(x) 单调递增.（4 分） 6 （
31、2） g(x) x2 f (x) x2 (2ax 1 2a) 2ax3 x 2a ， x x2 g (x) 6ax2 1 ，令 g (x) 6ax2 1 0 ，得 x . 当 x (0, ) ， g(x) 单调递减，当 x ( , ) 时， g(x) 单调递增. 所以 g(x) min g( ) 2 1 3 6a 2a 0 而 g(0) 2a 0 ， 所以 g(x) 在(0, ) 上无零点， g(x) 在( , ) 上存在唯一的零点 m， （8 分）所以当 x (0, m) 时， g(x) 0, 当 x (m, ) 时， g(x) 0, 2 预测卷 （一） 数学 （文科） 第 14 页 共 8
32、 页 6 1 2 cos2 6 1 2 7 y 3 x 1 2a 2ax3 x 2a g( x) 而 f (x) 2ax ， x x2 x2 x2 当 x (0, m) 时， f (x) 单调递减， 当 x (m, ) 时， f (x) 单调递增. 注 意到 f (1) 3a 0 根据题意 m 为 f (x) 的唯一零点，即 x0 =m.（8 分） 2ax 3 x 2a 0, 0 0 2a 消去 a， 得 2 ln x x 3 2 3 0 1 ，（10 分） ax 2 ln x 0 0 x 3 1 x 3 1 0 0 0 0 0 设 F (x) 2 ln x 1 3 x3 1 ，可知 F (x
33、) 在(1, ) 上单调递增， F (2) 2 ln 2 1 3 2 0.693 10 0, F (3) 2 ln 3 29 2 1.099 29 0, 7 7 26 26 所以 x0 (2, 3),x0 =2 .（12 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. .请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. . 22（10 分分）【选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】 【解析解析】（1）当 0 时，直线l 的参数方程为 x t (t 为参数) ， 所以直线l 的普通方程为 y
34、 3 ， （2 分） 将 2 x2 y2 ， x cos代入曲线C 的极坐标方程， 2 2 2 2 y2 得 x y 2x 3 ，所以曲线C 的直角坐标方程为 x 1. （4 分） 3 x t cos 2 y2 （2）将直线l 的参数方程 y 3 t sin代入 x 3 1 中，消去 x ， y ， 得3(t cos)2 (3 t sin)2 3 0 ， （6 分） 整理得(1 2 cos2 )t2 6t sin 6 0 ， （7 分） 因为直线l 与曲线C 相切，所以 (6 sin)2 4 6(1 2 cos2 ) 0 ， 解得cos2 1 ， （8 分） 7 因为点 A(0, 3) 在直线
35、l 上，所以| AB | t | 3 .（10 分） 23.（10 分分）【选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲】 42 预测卷 （一） 数学 （文科） 第 15 页 共 8 页 b ab b a 2 2 【解析解析】（1）由 ，得 2 1， （1 分） 所以 a b (a b)( 2 ) 2 4(a b)( 1 1 2 ) a b ab （2 分） 42 b a 2( a b b ) a 4(2 2 4 a b ) 32 ， （4 分） b a b a 当且仅当 且 a b ， 即 a b 16 时，等号成立， a a 2 b a b b a a b a b 预测卷 （一） 数学 （文科） 第 16 页 共 8 页 b a 所以， a b 的最小值为32 . （5 分） （2）由（1）知 a b 的最小值为32 ， 对任意 a 0 ， b 0 ， f (x) a b 都成立，即| 2x 3 | | x 1| 2 . （6 分） 16 2x 3 0 2x 3 0 x 1 0 所以 2x 3 x 1 2 或x 1 0 或2x 3 x 1 2 ， 2x 3 x 1 2 解得6 x 3 或 3 x 0 或 x ， （9 分） 2 2 所以实数 x 的取值范围是x | 6 x 0. （10 分）
