1、 第三章圆复习课圆复习课-与切线有与切线有关的证明与计算关的证明与计算本章知识框架本章知识框架切线的证明与相关计算主要考查：切线的证明与相关计算主要考查：1.切线的判定；切线的判定；2.证明线段相等；证明线段相等；3.求角度；求角度；4.求线段长；求线段长；5.求三角函数值。求三角函数值。考情前瞻：考情前瞻：这些这些往往与解直角三角形、三角形全等、相似综合。往往与解直角三角形、三角形全等、相似综合。方法回顾方法回顾：证明圆的切线时，可以分以下两：证明圆的切线时，可以分以下两种情况：种情况：若直线过圆上某点，证明直线是圆的切线若直线过圆上某点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条
2、半径时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：与直线垂直即可，可简述为：有交点，连半有交点，连半径，证垂直径，证垂直。直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，可简述为：径，可简述为：“无交点，作垂直，证半无交点，作垂直，证半径径”。【例例1】如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，以，以AB为直为直径的圆径的圆O与边与边BC，AC分别交于分别交于D，E两点，过点两点，过点D作作DF AC，垂足为点，垂足为点F。(1)求证：求证：DF是圆是圆O的切线；的切线；(
3、2)若若AE=4，cosA=，求，求DF的长。的长。G G(1)证明：连接证明：连接OD.OB=OD，ODB=B，又又AB=AC，C=B,ODB=C，OD平行平行AC.DFAC，DFOD，DF是圆是圆O的切线。的切线。平行平行垂直垂直方法总结方法总结1：（：（1）问中证明切线的方法是有交点，连半径，）问中证明切线的方法是有交点，连半径，证垂直。证垂直。关键在证垂直关键在证垂直，此题通过，此题通过证平行来证垂直证平行来证垂直，通常，通常还可利用还可利用角角+角角=90，三角形全等证垂直三角形全等证垂直，圆周角定理圆周角定理及推论证垂直及推论证垂直等。等。()证明：过点证明：过点O作作OGAC.A
4、G=AE=2.，OA=5,.ODF=DFG=OGF=90，四边形四边形OGFD为矩形，为矩形，DF=OG=G G2152OAAGcosA21AG-OAOG2221垂径定理垂径定理直角三角形边角关系直角三角形边角关系勾股定理勾股定理方法总结方法总结2：（：（2）中用了）中用了垂径定理垂径定理、直角三角形的直角三角形的边角关系边角关系、勾股定理勾股定理来求线段长度。求线段长度的来求线段长度。求线段长度的几种思路几种思路:利用利用勾股定理勾股定理、直角三角形边角关系直角三角形边角关系、相相似三角形似三角形、面积公式面积公式等求解。等求解。【变式变式1】如图，已知如图，已知RtABC中，中，C=90，
5、D为为BC中点，以中点，以AC为直径的圆为直径的圆O交交AB于点于点E。（1）求证：）求证：DE是圆是圆O的切线；的切线；（2）若）若AE：EB=1：2，BC=6，求，求AE的长。的长。方法归纳：方法归纳：（1）问中可利用）问中可利用两角互余证垂直两角互余证垂直，也可，也可利用三利用三角形全等来证垂直角形全等来证垂直。(2)问中可问中可利用相似求线段长利用相似求线段长，也可利用，也可利用切割线定切割线定理求线段长理求线段长。【例【例2】如图，在如图，在ABC中，中，C=90，ACB的平分线交的平分线交AB于点于点O，以，以O为圆心的圆为圆心的圆O与与AC相切于点相切于点D。（1）求证：圆求证：
6、圆O与与BC相切；相切；（2）当当AC=3，BC=6时，求圆时，求圆o的半径。的半径。E E(1)证明：过点证明：过点O作作OEBC，垂足，垂足为为E，连接，连接OD.AC是圆是圆O的切线，的切线，ODAC，又又CO平分平分 ACB，OD=OEE E角平分线的性质角平分线的性质证垂线段长度等于半径证垂线段长度等于半径方法归纳：（方法归纳：（1）中证明切线的方法无交点，作垂直，证）中证明切线的方法无交点，作垂直，证半径。利用半径。利用角平分线的性质角平分线的性质证明圆心到直线的距离等于证明圆心到直线的距离等于半径，通常也可利用半径，通常也可利用三角形全等证明垂线段长等于半径三角形全等证明垂线段长
7、等于半径。E E切线长定理切线长定理三角函数三角函数找数量关系找数量关系方程思想方程思想E E等面积法等面积法找数量关系找数量关系方程思想方程思想方法归纳方法归纳：（2）中采用中采用方程思想方程思想，设其中一线段为，设其中一线段为x，再用再用x把其他线段表示出来，在直角三角形中利把其他线段表示出来，在直角三角形中利用三角函用三角函数数、相似相似或者或者等面积法等面积法建立方程。建立方程。【变式【变式2】如图，】如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，AM，BN分分别切圆别切圆O于点于点A、B，CD交交AM，BN于点于点D，C，DO平分平分 ADC。（1）求证：求证：CD是圆是圆O的切线；的切线；（
8、2）若若AD，BC，求圆，求圆O的半径的半径R。E E方法归纳：方法归纳：（1）中证明切线的方法无交点，作垂直，）中证明切线的方法无交点，作垂直，证半径。利用证半径。利用角平分线的性质角平分线的性质证明垂线段证明垂线段长等于半径。长等于半径。（2）作垂线段，构造直角三角形，利用）作垂线段，构造直角三角形，利用勾勾股定理股定理、双垂母子型双垂母子型或或K字型字型等求线段长。等求线段长。请同学们四人一小组交流讨论本节课你请同学们四人一小组交流讨论本节课你的收获与体会的收获与体会?可从以下几方面讨论：可从以下几方面讨论：1.1.本节课解决什么问题？本节课解决什么问题？2.2.用到的方法是什么？用到的方法是什么？3.3.与哪些方面的知识相关联的？与哪些方面的知识相关联的？
