1、导数及其应用导数及其应用要点梳理要点梳理1.1.函数函数y y=f f(x x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率 函数函数y y=f f(x x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率为的平均变化率为 ，若若x x=x x2 2-x x1 1,y y=f f（x x2 2）-f f（x x1 1），则平均变化率），则平均变化率可表示为可表示为 .1212)()(xxxfxfxy2.2.函数函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的导数处的导数 （1 1）定义）定义 称函数称函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的瞬时变化率处的瞬时
2、变化率 =为函数为函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f（x x0 0）或）或y y|x x=x x0 0，即即f f(x x0 0)=)=.（2 2）几何意义）几何意义 函数函数f f(x x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f f(x x0 0)的几何意义是在曲的几何意义是在曲线线y y=f f（x x）上点）上点 处的处的 .相相应地，切线方程为应地，切线方程为 .xxfxxfx)()(00lim0 xyxlim0 xyxlim0 xxfxxfx)()(00lim0(x x0 0,f f(x x0 0)切线的斜率切线的斜率y y-y
3、y0 0=f f(x x0 0)()(x x-x x0 0)3.3.函数函数f f(x x)的导函数的导函数 称函数称函数f f(x x)=)=为为f f（x x）的导）的导函函 数，导函数有时也记作数，导函数有时也记作y y.4.4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 xxfxxfx)()(lim0原函数原函数 导函数导函数 f f（x x）=c c f f(x x)=)=f f(x x)=)=x xn n(n nQ Q*)f f(x x)=)=f f(x x)=sin)=sin x x f f(x x)=)=f f(x x)=cos)=cos x x f f(x x)=)=f f
4、(x x)=)=a ax x f f(x x)=)=cos cos x x0 0-sin-sin x xa ax xln ln a a(a a0)0)nxnxn n-1-1e ex x5.5.导数运算法则导数运算法则 （1 1）f f（x x）g g(x x)=;(2)(2)f f(x x)g g(x x)=;(3)=(3)=(g g(x x)0).)0).6.6.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数复合函数y y=f f(g g(x x)的导数和函数的导数和函数y y=f f(u u),),u u=g g(x x)的的 导数间的关系为导数间的关系为y y =，即，即y y对对x x的的 导
5、数等于导数等于 的导数与的导数与 的导数的乘积的导数的乘积.f f(x x)=e)=ex x f f(x x)=)=f f(x x)=log)=loga ax x f f(x x)=)=f f(x x)=ln)=ln x x f f(x x)=)=(a a0,0,且且a a1)1)axln1x1f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)+)+f f(x x)g g(x x)()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxfy yu uy y对对u uu u对对x xx xu ux x要点梳理要点梳理1.1.函数的单调性函数的单调性 在（在（a,ba,b)内可导函数内
6、可导函数f f(x x),f,f(x x)在在(a,ba,b)任意子区任意子区间内都不恒等于间内都不恒等于0 0.f f(x x)0 0f f(x x)为为 ；ff(x x)0 0f f(x x)为为 .3.2 3.2 导数的应用导数的应用增函数增函数减函数减函数2.2.函数的极值函数的极值 （1 1）判断）判断f f(x x0 0)是极值的方法是极值的方法 一般地，当函数一般地，当函数f f(x x)在点在点x x0 0处连续时，处连续时，如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那么那么f f(x x0 0)是极大值；是极大值；如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左
7、侧 ，右侧，右侧 ，那么那么f f(x x0 0)是极小值是极小值.(2)(2)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤 求求f f(x x););求方程求方程 的根；的根；检查检查f f(x x)在方程在方程 的根左右值的符号的根左右值的符号.如果左正右负，那么如果左正右负，那么f f(x x)在这个根处取得在这个根处取得 ；如果左负右正，那么如果左负右正，那么f f(x x)在这个根处取得在这个根处取得 .f f(x x)0 0f f(x x)0 0f f(x x)0 0f f(x x)0 0f f(x x)=0)=0f f(x x)=0)=0极大值极大值极小值极小值3.3.函数的最值函数
8、的最值 （1 1）在闭区间）在闭区间a a,b b上连续的函数上连续的函数f f(x x)在在a a,b b上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值.(2)(2)若函数若函数f f(x x)在在a a,b b上单调递增，则上单调递增，则 为为函数的最小值，函数的最小值，为函数的最大值；若函数为函数的最大值；若函数f f(x x)在在a a,b b上单调递减，则上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最大值，为函数的最小值为函数的最小值.(3)(3)设函数设函数f f(x x)在在a a,b b上连续，在上连续，在(a a,b b)内可导，内可导，求求f f(x x)在在a a,b b上的最大值
9、和最小值的步骤如下：上的最大值和最小值的步骤如下：求求f f(x x)在（在（a a,b b)内的内的 ；将将f f(x x)的各极值与的各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值.f f(b b)f f(a a)f f(b b)极值极值f f(a a),),f f(b b)f f(a a)4.4.生活中的优化问题生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是解决优化问题的基本思路是:题型一题型一 导数的几何意义导数的几何意义【例例1 1】（1212分）已知曲线方程为分）已知曲线方程为y y=x x2 2,（1 1）求过）求过A A（
10、2 2，4 4）点且与曲线相切的直线方程；）点且与曲线相切的直线方程；（2 2）求过）求过B B（3 3，5 5）点且与曲线相切的直线方程）点且与曲线相切的直线方程.（1 1）A A在曲线上在曲线上,即求在即求在A A点的切线方程点的切线方程.（2 2）B B不在曲线上，设出切点求切线方程不在曲线上，设出切点求切线方程.解解 （1 1）A A在曲线在曲线y y=x x2 2上上,过过A A与曲线与曲线y y=x x2 2相切的直线只有一条，且相切的直线只有一条，且A A为切点为切点.2 2分分 由由y y=x x2 2,得得y y=2=2x x,y y|x x=2=2=4,4=4,4分分 因此
11、所求直线的方程为因此所求直线的方程为y y-4=4(-4=4(x x-2),-2),即即4 4x x-y y-4=0.-4=0.6 6分分 思维启迪思维启迪（2 2）方法一方法一 设过设过B B（3 3，5 5）与与曲线曲线y y=x x2 2相切的直线相切的直线方程为方程为y y-5=-5=k k(x x-3),-3),即即y y=kxkx+5-3+5-3k k,8,8分分 y y=k kx x+5-3+5-3k k,y y=x x2 2得得x x2 2-k kx x+3+3k k-5=0,=-5=0,=k k2 2-4(3-4(3k k-5)=0.-5)=0.整理得整理得:(:(k k-2
12、)(-2)(k k-10)=0,-10)=0,k k=2=2或或k k=10.=10.1010分分所求的直线方程为所求的直线方程为2 2x x-y y-1=0,10-1=0,10 x x-y y-25=0.-25=0.1212分分方法二方法二 设切点设切点P P的坐标为的坐标为(x x0 0,y y0 0),),由由y y=x x2 2得得y y=2=2x x,x x=x x0 0=2=2x x0 0,8 8分分由已知由已知k kPAPA=2=2x x0 0,即即 =2=2x x0 0.又又y y0 0=代入上式整理得代入上式整理得:x x0 0=1=1或或x x0 0=5,=5,1010分分
13、切点坐标为切点坐标为(1,1),(5,25),(1,1),(5,25),所求直线方程为所求直线方程为2 2x x-y y-1=0,10-1=0,10 x x-y y-25=0.-25=0.1212分分0035xy20 x由由|y 探究提高探究提高 （1 1）解决此类问题一定要分清）解决此类问题一定要分清“在某点在某点处 的 切 线处 的 切 线”，还是，还是“过某点的切线过某点的切线”的 问 法的 问 法.（2 2）解决）解决“过某点的切线过某点的切线”问题，一般是设出切点问题，一般是设出切点坐标为坐标为P P（x x0 0，y y0 0），然后求其切线斜率），然后求其切线斜率k k=f f(
14、x x0 0),),写出其切线方程写出其切线方程.而而“在某点处的切线在某点处的切线”就是指就是指“某某点点”为切点为切点.（3 3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.题型二题型二 函数的单调性与导数函数的单调性与导数【例例2 2】已知函数已知函数f f(x x)=)=x x3 3-axax-1.-1.（1 1）若）若f f(x x)在实数集在实数集R R上单调递增，
15、求实数上单调递增，求实数a a的取值的取值范围；范围；（2 2）是否存在实数）是否存在实数a a，使，使f f(x x)在（在（-1-1，1 1）上单调递）上单调递减？若存在，求出减？若存在，求出a a的取值范围；若不存在，说明的取值范围；若不存在，说明理由理由.求求f f(x x)f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成恒成立立a a的范围的范围.思维启迪思维启迪解解 （1 1）由已知）由已知f f(x x)=3)=3x x2 2-a a.f f（x x）在（）在（-，+）上是增函数，）上是增函数，f f（x x）=3=3x x2 2-a a00在（在（-，+）上恒成立）上恒成立
16、.即即a a33x x2 2对对x xR R恒成立恒成立.33x x2 20,0,只要只要a a0.0.又又a a=0=0时，时，f f(x x)=3)=3x x2 200，f f（x x）=x x3 3-1-1在在R R上是增函数，上是增函数，a a0.0.（2 2）由）由f f(x x)=3)=3x x2 2-a a00在（在（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立.a a33x x2 2在在x x（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立.又又-1-1x x1,31,3x x2 23,3,只需只需a a3.3.当当a a=3=3时，时，f f(x x)=3()=3(x x2 2-1)-1)在在
17、x x(-1,1)上上，f f(x x)0,0,即即f f(x x)在（在（-1-1，1 1）上为减函数，）上为减函数，a a3.3.故存在实数故存在实数a a3,3,使使f f(x x)在（在（-1-1，1 1）上单调递减）上单调递减.探究提高探究提高 利用导数研究函数的单调性比用函数单利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意调性的定义要方便，但应注意f f(x x)0(0(或或f f(x x)0)0)仅是仅是f f(x x)在某个区间上为增函数（或减函数）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（的充分条件，在（a a，b b）内可导的函数）内可导的函数f f(x
18、 x)在在（a a,b b)上 递 增（或 递 减）的 充 要 条 件 应 是上 递 增（或 递 减）的 充 要 条 件 应 是f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0,x x(a a,b b)恒成立，且恒成立，且f f(x x)在（在（a a,b b）的任意子区间内都不恒等于）的任意子区间内都不恒等于0 0，这，这就是说，函数就是说，函数f f(x x)在区间上的增减性并不排斥在区在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有间内个别点处有f f(x x0 0)=0,)=0,甚至可以在无穷多个点甚至可以在无穷多个点处处f f（x x0 0）=0,=0,只要这样的点不能充满所给区间的只要这
19、样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，任何一个子区间，因此，在已知函数因此，在已知函数f f(x x)是增函数（或减函数）求参是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令数的取值范围时，应令f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f f(x x)恒等于恒等于0 0，若能恒等于，若能恒等于0 0，则参数的这个值应，则参数的这个值应舍去，若舍去，若f f(x x)不恒为不恒为0 0，则由，则由f f(x x)0)0或或f
20、f(x x)0)0恒成立解出的参数的取值范围确定恒成立解出的参数的取值范围确定.题型三题型三 函数的极值与导数函数的极值与导数【例例3 3】设设x x=1=1与与x x=2=2是函数是函数f f(x x)=)=a aln ln x x+bxbx2 2+x x的两个的两个极值点极值点.（1 1）试确定常数）试确定常数a a和和b b的值；的值；（2 2）试判断）试判断x x=1,=1,x x=2=2是函数是函数f f(x x)的极大值点还是极的极大值点还是极小值点，并说明理由小值点，并说明理由.（1 1）函数的导函数在极值点处的函数值）函数的导函数在极值点处的函数值为为0 0，列方程组求解，列方
21、程组求解.（2 2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定 义判断义判断.思维启迪思维启迪解解 （1 1）f f(x x)=+2)=+2bxbx+1,+1,xa.3)2)(1(3231)3(32)()2(.61,32,0142)2(.0121)1(2xxxxxxxxxfbabafbaf函数定义域为（函数定义域为（0 0，+），列表），列表x x(0,1)(0,1)1 1(1(1，2)2)2 2(2,+)(2,+)f f(x x)-0 0+0 0-f f(x x)单调递减单调递减 极小值极小值 单调递增单调递增 极大值极大值 单调递减单调递减 x x=
22、1=1是是f f（x x）的极小值点，）的极小值点，x x=2=2是是f f（x x）的极大值点）的极大值点.此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系（用这一关系（f f(x x)=0)=0）建立字母系数的方程，通）建立字母系数的方程，通过过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.探究提高探究提高题型四题型四 函数的最值与导数函数的最值与导数【例例4 4】已知已知a a为实数，且函数为实数，且函数f f(x x)=()=(x
23、 x2 2-4)(-4)(x x-a a).).(1)(1)求导函数求导函数f f(x x););(2)(2)若若f f(-1)=0(-1)=0，求函数，求函数f f(x x)在在-2-2，2 2上的最大上的最大值、最小值值、最小值.先求函数的极值，然后再与端点值进行先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值比较、确定最值.解解 （1 1）f f(x x)=)=x x3 3-axax2 2-4-4x x+4+4a a,得得f f(x x)=3)=3x x2 2-2-2axax-4.-4.思维启迪思维启迪（2 2）因为）因为f f(-1)=0,(-1)=0,所以所以a a=,=,有有f f
24、(x x)=)=x x3 3-x x2 2-4-4x x+2,+2,所以所以f f(x x)=3)=3x x2 2-x x-4.-4.又又f f(x x)=0,)=0,所以所以x x=或或x x=-1.=-1.又又f f =,=,f f(-1)=,(-1)=,f f(-2)=0,(-2)=0,f f(2)=0,(2)=0,所以所以f f(x x)在在-2-2，2 2上的最大值、最小值分别为上的最大值、最小值分别为 、.21213434275029292750 探究提高探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求解函数的最值时，要先求函数求函数y y=f f（x x）在）在a a，b b内所有使内所有使f f（x x）=0=0的的点，再计算函数点，再计算函数y y=f f（x x）在区间内所有使）在区间内所有使f f（x x）=0=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.
