1、第三节圆的方程第三节圆的方程1.圆的定义3.圆的标准方程4.圆的一般方法5.点与圆的位置关系教教材材研研读读2.确定一个圆最基本的要素考点一 求圆的方程考点二 与圆有关的最值问题考点三 与圆有关的轨迹问题考考点点突突破破教材研读1.圆的定义圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.3.圆的标准方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中(a,b)为圆心,r为半径.4.圆的一般方程圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F0,其中圆心为,半径r=.提醒提醒(1)若没有给出r0,则圆的半径为|
2、r|.,22DE2242DEF(2)在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;当D2+E2-4Fr2;(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)20.()(3)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.()(4)(x-2)2+(y+1)2=a2(a0)表示以(2,1)为圆心,a为半径的圆.()(5)圆x2+2x+y2+y=0的圆心是.()(6)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F0.()11,220 x20y答案答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(
3、x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案答案D由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.2D3.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)答案答案D圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).D4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是()A.m1B.m1C.m1141414答案答案B由D2+E2-4F=16m2+4-20m0,解得m1或m.故选B.14B
4、5.(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(-1,1),B(1,3),则圆C的方程为.答案答案x2+(y-2)2=2解析解析因为点A(-1,1)和B(1,3)为圆C直径的两个端点,则圆心C的坐标为(0,2),半径|CA|=,所以圆C的方程为x2+(y-2)2=2.22(21)0(1)26.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是.答案答案-a115解析解析由题意知(2a)2+(a-2)25解得-a0),半径为r,则有解得a=,r2=,则圆E的标准方程为+y2=.故选C.22222222(2),(01),(0 1),ararar342516234x2516命题方
5、向二已知两点及圆心所在直线命题方向二已知两点及圆心所在直线,求圆的方程求圆的方程典例典例2(一题多解)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为.答案答案x2+y2+2x+4y-5=0解析解析解法一:设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即=,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.解法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,22(232)(3)aa 22(232)(5)aa10
6、由题意得解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.解法三:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为,222222(2)(3),(2)(5),230,abrabrab ,22DE由题意得解得D=2,E=4,F=-5.故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.230,2249230,425250,DEDEFDEF 命题方向三已知切线命题方向三已知切线,求圆的方程求圆的方程典例典例3已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,且圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为.答案答案(x-1)2+(y+1)2=2解析解析x-y=0和x-y-
7、4=0之间的距离为=2,所以圆的半径为.因为y=-x与x-y=0,x-y-4=0均垂直,由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为(0,0),由y=-x和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.|4|222方法技巧方法技巧1.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列
8、出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.提醒提醒解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.1-1已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.54 55答案答案(x-2)2+y2=9解析解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0),由题意可得解得所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.222|2|4 5,55()(5),aar22,9,ar1-2(一题多解)圆心在直线y=
9、-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程为.答案答案+=212x212y12解析解析解法一:因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所以圆心在直线y-1=x-1,即x-y=0上.又已知圆心在直线y=-x+1上,故联立解得故圆心坐标是.所以半径r=.0,1,xyyx 1,21.2xy1 1,2 22211112222故所求圆的方程为+=.解法二:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得212x212y12221,|2|(1)(1),2baabab 1,21.2ab所以r=,故所求圆的方程为+=.2211112222212x212y12与圆有关的最值问题
10、与圆有关的最值问题命题方向一截距型最值问题命题方向一截距型最值问题典例典例4已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求y-x的最大值和最小值.解析解析y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值(如图),此时=,解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.|20|2b3666命题方向二斜率型最值问题命题方向二斜率型最值问题典例典例5已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.yx解析解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,即以(2,0)为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设=
11、k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值(如图),此时=,解得k=.所以的最大值为,最小值为-.3yxyx2|20|1kk33yx33命题方向三距离型最值问题命题方向三距离型最值问题典例典例6已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值.解析解析如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,其在原点和圆心连线所在直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值.易得圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.3333命题方向四圆的对称性与最值命题方向四圆的对称
12、性与最值典例典例7(1)光线从点A(-3,3)射到x轴上的点P后反射,反射光线与圆(x-1)2+(y-1)2=2有公共点B,则|AP|+|PB|的最小值为.(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是.答案答案(1)(2)2305解析解析(1)设圆(x-1)2+(y-1)2=2的圆心为C,半径为r,A关于x轴的对称点为A,则C(1,1),r=,A(-3,-3),则|AP|+|PB|的最小值为=.222|A Cr2244230(2)因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=的圆.设点
13、A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A(m,n),故解得故A(-4,-2).连接AC交圆C于点Q(图略),由对称性可知|PA|+|PQ|=|AP|+|PQ|AQ|=|AC|-r=2.50220,2221,0mnnm4,2,mn 5规律总结规律总结与圆有关的最值问题的四种常见转化法(1)形如=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(4)形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:
14、减少动点的个数.“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.ybxa2-1设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为.答案答案3解析解析圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1,根据对称性可知,四边形PACB的面积=2SAPC=2|PA|r=|PA|=.要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离d=2.所以四边形PACB的面积的最小值为=.1222|PCr22|3411|3
15、(4)10522min|PCr413与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题典例典例8已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P、Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合);(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.解析解析(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y),因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x2).(2)设PQ的中点为N(x,y),连接BN.在RtPBQ中,PN=BN.设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以OP2
16、=ON2+PN2=ON2+BN2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.方法技巧方法技巧求与圆有关的轨迹方程的方法3-1已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解析解析(1)设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y0.因为ACBC,所以kACkBC=-1.又kAC=,kBC=,所以=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.1yx 3yx1yx 3yx因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(y0).因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).032x 002y 栏目索引
