1、单元(dnyun)复习课第 二 章第一页，共38页。一、轴对称中的相关概念一、轴对称中的相关概念1.1.轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形(txng)(txng)(1)(1)轴对称图形轴对称图形(txng)(txng)：如果一个图形：如果一个图形(txng)(txng)沿一条直线折叠后，直沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形(txng)(txng)叫做轴对称图形叫做轴对称图形(txng)(txng)，这条直线叫做对称轴，这条直线叫做对称轴(2)(2)轴对称：对于两个图形轴对称：对于两个图形(txng)(txng)，如果沿一条直线对折
2、后，它们能完，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形全重合，那么称这两个图形(txng)(txng)关于这条直线成轴对称，这条直线就关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴是对称轴.第二页，共38页。2.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做样的直线叫做(jiozu)(jiozu)这条线段的垂直平分线这条线段的垂直平分线(简称中垂线简称中垂线).).二、轴对称的相关性质与判定二、轴对称的相关性质与判定1.1.轴对称的性质轴对称的性质(1)(1)对应点
3、所连的线段被对称轴垂直平分对应点所连的线段被对称轴垂直平分.(2)(2)对应线段相等、对应角相等对应线段相等、对应角相等.第三页，共38页。名称名称关系关系轴对称轴对称轴对称图形轴对称图形区区别别图形个数图形个数两个两个一个一个实质实质两个图形的位置和数两个图形的位置和数量关系量关系一个特殊图形一个特殊图形联联系系(1)(1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合.(2)(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图即看成两个图形形)，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，那么这两个图形就关于这
4、条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形轴对称图形【知识【知识(zh shi)(zh shi)辨析】辨析】二者的区别与联系二者的区别与联系第四页，共38页。2.2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离(jl)(jl)相相等等.3.3.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离端点的距离(jl)(jl)相等相等.4.4.等腰三角形、等边三角形的性质和判定等腰三角形、
5、等边三角形的性质和判定第五页，共38页。名称名称项目项目等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形性质性质边：两腰相等；边：两腰相等；角：两个底角相等角：两个底角相等(等边对等等边对等角角)；重要线段：顶角的平分线、重要线段：顶角的平分线、底边的中线、底边上的高互相底边的中线、底边上的高互相重合重合(三线合一三线合一)；对称性：是轴对称图形，对对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边的称轴为顶角的平分线或底边的中线或底边上的高所在的直线中线或底边上的高所在的直线边：三边都相等；边：三边都相等；角：三个角都相角：三个角都相等，都等于等，都等于6060；重要线段：与等重要线段：与等腰三角形的
6、相同；腰三角形的相同；对称性：是轴对对称性：是轴对称图形，对称轴有称图形，对称轴有三条三条第六页，共38页。名称名称项目项目等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形判定判定利用定义；利用定义；等角对等边等角对等边利用定义；利用定义；三个内角都相等的三角形是三个内角都相等的三角形是等边三角形；等边三角形；有一个角是有一个角是6060的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形是等边三角形第七页，共38页。三、轴对称的相关应用三、轴对称的相关应用1.1.等腰三角形等腰三角形等腰三角形的性质和判定是证明两个角和两条线段相等的重要依据，等腰三角形的性质和判定是证明两个角和两条线段相等的重要依据，当证明同一个三
7、角形中的两个角或两条线段相等时，经常利用等腰三当证明同一个三角形中的两个角或两条线段相等时，经常利用等腰三角形的性质定理或判定定理角形的性质定理或判定定理.当然当然(dngrn)(dngrn)，全等三角形的性质也是证明两个角和两条线段相等的，全等三角形的性质也是证明两个角和两条线段相等的重要依据，它们的区别主要是看待证的两个角和两条线段是否位于同重要依据，它们的区别主要是看待证的两个角和两条线段是否位于同一个三角形中一个三角形中.第八页，共38页。2.2.轴对称作图轴对称作图(1)(1)作一个点作一个点A A关于直线关于直线l l的对称点的对称点A.A.作法：过点作法：过点A A作直线作直线l
8、 l的垂线，垂足的垂线，垂足(chu z)(chu z)为为O O，在垂线上截取，在垂线上截取OA=OAOA=OA，点，点A A 就是点就是点A A关于直线关于直线l l的对称点的对称点.(2)(2)作一个作一个ABCABC关于直线关于直线l l成轴对称的图形成轴对称的图形ABC.ABC.作法：作法：过点过点A A作直线作直线l l的垂线，垂足的垂线，垂足(chu z)(chu z)为为O O，在垂线上截取在垂线上截取OA=OAOA=OA，点，点A A 就是点就是点A A关于直线关于直线l l的对称点的对称点.第九页，共38页。同法作点同法作点B B，点，点C C关于直线关于直线l l的对称点
9、的对称点B B 和和C.C.顺次连接顺次连接AA，BB，CC三点三点(sn din)(sn din)，得，得ABC.ABC.则则ABCABC就是就是ABCABC关于直线关于直线l l成轴对称的三角形成轴对称的三角形.第十页，共38页。第十一页，共38页。热点考向热点考向1 1 轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形【相关链接】【相关链接】(1)(1)轴对称是对两个图形来说的，它是一种图形变换，该变换不改变图形轴对称是对两个图形来说的，它是一种图形变换，该变换不改变图形的形状和大小，仅改变图形的位置的形状和大小，仅改变图形的位置.(2)(2)轴对称图形是对一个图形来说的，识别轴对称图形是对一个图形
10、来说的，识别(shbi)(shbi)轴对称图形的关键是轴对称图形的关键是找其对称轴，看是否存在直线，沿这条直线折叠，折痕两旁的部分能完全找其对称轴，看是否存在直线，沿这条直线折叠，折痕两旁的部分能完全重合重合.第十二页，共38页。【例【例1 1】(2012(2012连云港中考连云港中考)下列图案是轴对称图形的是下列图案是轴对称图形的是()【思路点拨】轴对称定义【思路点拨】轴对称定义判断判断结论结论【自主解答】选【自主解答】选D.D.把把D D选项沿一直线折叠，直线两侧部分能重合，选项沿一直线折叠，直线两侧部分能重合，故故D D选项是轴对称图形选项是轴对称图形.其余图形均不能找到一条直线，使图形
11、沿其余图形均不能找到一条直线，使图形沿该直线折叠，直线两侧的部分能完全该直线折叠，直线两侧的部分能完全(wnqun)(wnqun)重合，所以不是重合，所以不是轴对称图形轴对称图形.第十三页，共38页。热点考向热点考向2 2 线段垂直平分线的性质及其应用线段垂直平分线的性质及其应用【相关链接】【相关链接】线段垂直平分线的性质和判定在几何的推理和证明中应用广泛，线段垂直平分线的性质和判定在几何的推理和证明中应用广泛，利用尺规作出线段的垂直平分线，在规划、设计和实际生活中也有利用尺规作出线段的垂直平分线，在规划、设计和实际生活中也有重要应用重要应用.例如作直线的垂线例如作直线的垂线(chu xin)
12、(chu xin)，找线段的中点等，因此，找线段的中点等，因此，学习数学，要学会用学到的知识去解决生活中的问题学习数学，要学会用学到的知识去解决生活中的问题.第十四页，共38页。【例【例2 2】(2012(2012德州中考德州中考)有公路有公路l1l1同侧、同侧、l2l2异侧的两个城镇异侧的两个城镇A A，B B，如图电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到如图电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇两个城镇A A，B B的距离的距离(jl)(jl)必须相等，到两条公路必须相等，到两条公路l1l1，l2l2的距离的距离(jl)(jl)也必须相等，发射塔也必须相等
13、，发射塔C C应修建在什么位置？请用尺规作图找应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点出所有符合条件的点，注明点C C的位置的位置(保留作图痕迹，不要求写出保留作图痕迹，不要求写出画法画法).).第十五页，共38页。【思路点拨】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题【思路点拨】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.【自主解答】根据题意知道，点【自主解答】根据题意知道，点C C应满足两个条件，一是在线段应满足两个条件，一是在线段ABAB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C C应是应是它们的交点它们的交点.(
14、1)(1)作两条公路夹角的平分线作两条公路夹角的平分线ODOD或或OE.OE.(2)(2)作线段作线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线FG.FG.则射线则射线ODOD，OEOE与直线与直线(zhxin)FG(zhxin)FG的交点的交点C1C1，C2C2就是所求的位置就是所求的位置.第十六页，共38页。如图所示：如图所示：第十七页，共38页。热点考向热点考向3 3 等腰三角形的性质与判定应用等腰三角形的性质与判定应用【相关链接】【相关链接】等腰三角形包括等边三角形，它们的性质和判定应用非常广泛，其中等腰三角形包括等边三角形，它们的性质和判定应用非常广泛，其中“三线合一三线合一”的性质非常重要；
15、的性质非常重要；“等边对等角等边对等角”“”“等角对等边等角对等边”把边与角把边与角有机地联系有机地联系(linx)(linx)在一起，为角的计算，三角形全等的说明提供了条件在一起，为角的计算，三角形全等的说明提供了条件.第十八页，共38页。【例【例3 3】(2012(2012河源中考改编河源中考改编)如图，已知如图，已知AB=CDAB=CD，B=CB=C，ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，E E是是ADAD的中点的中点(zhn din)(zhn din)，连接，连接OE.OE.(1)(1)试说明试说明AOBAOBDOC.DOC.(2)(2)求求AEOAEO的度数的度数.第十九页，共
16、38页。【教你解题【教你解题(ji t)(ji t)】(1)(1)第二十页，共38页。(2)(2)第二十一页，共38页。【命题揭秘】【命题揭秘】结合近几年中考试题分析，对轴对称图形内容的考查结合近几年中考试题分析，对轴对称图形内容的考查(koch)(koch)主要有主要有以下特点：以下特点：1.1.考查考查(koch)(koch)的内容为轴对称的性质、相关的图案设计、与图形轴对称的内容为轴对称的性质、相关的图案设计、与图形轴对称相关的计算等；题型较全，一般有选择题、填空题和解答题，有时以探索相关的计算等；题型较全，一般有选择题、填空题和解答题，有时以探索研究题型出现，多属中、低档题研究题型出现
17、，多属中、低档题.2.2.命题内容为对等腰三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线性命题内容为对等腰三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线性质等的考查质等的考查(koch)(koch)，也常以综合题的形式进行考查，也常以综合题的形式进行考查(koch).(koch).第二十二页，共38页。1.(20111.(2011达州中考达州中考)图中所示的几个图形是国际通用的交通标志图中所示的几个图形是国际通用的交通标志.其中其中(qzhng)(qzhng)不是轴对称图形的是不是轴对称图形的是()【解析】选【解析】选C.C.只有只有C C不能找到对称轴不能找到对称轴.第二十三页，共38页。2.2
18、.如图，把一张长方形如图，把一张长方形ABCDABCD的纸片，沿的纸片，沿EFEF折叠后，折叠后，EDED与与BCBC交于点交于点G G，点，点D D，点，点C C分别分别(fnbi)(fnbi)落在落在DD，CC位置上，若位置上，若EFG=52EFG=52，则则BGE=(BGE=()(A)92(A)92(B)100(B)100(C)104(C)104(D)76(D)76第二十四页，共38页。【解析【解析(ji x)(ji x)】选】选C.C.因为纸片是长方形，所以因为纸片是长方形，所以ADBCADBC，所以所以DEF=EFG.DEF=EFG.又因为又因为EFG=52EFG=52，所以所以DE
19、F=52DEF=52，根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，GEF=DEF=52GEF=DEF=52，所以所以BGE=GED=52BGE=GED=52+52+52=104=104 第二十五页，共38页。3.(20123.(2012河池中考河池中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，B=30B=30，BCBC的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，垂足为垂足为D D，若，若ED=5ED=5，则，则CECE的长为的长为()(A)10(A)10(B)8(B)8(C)5(C)5(D)2.5(D)2.5【解析】选【解析】选A.A.因为因为(yn wi)ED(yn wi)ED垂直平分垂直平分BCB
20、C，所以，所以EB=ECEB=EC，在在RtRtBDEBDE中，中，因为因为(yn wi)B=30(yn wi)B=30，所以，所以EB=2ED=2EB=2ED=25=105=10，所以，所以CE=10.CE=10.第二十六页，共38页。4.4.已知等腰三角形的一个已知等腰三角形的一个(y)(y)内角为内角为7070，则另两个内角的度数，则另两个内角的度数是是()(A)55(A)55，5555(B)70(B)70，4040(C)55(C)55，5555或或7070，4040(D)(D)以上都不对以上都不对【解析】选【解析】选C.C.当当7070的角是顶角时，另两个内角都是的角是顶角时，另两个内
21、角都是(180(180-70-70)2=552=55.当当7070的角是底角时，则另两个角中的底角是的角是底角时，则另两个角中的底角是7070，顶角是，顶角是180180-70-70-70-70=40=40.因此选因此选C.C.第二十七页，共38页。5.5.如图所示，已知如图所示，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90，沿过沿过B B点的一条直线点的一条直线BEBE折叠这个三角形，折叠这个三角形，使使C C点落在点落在ABAB边上的点边上的点D D处，要使点处，要使点D D恰恰为为ABAB的中点，问在图中还要添加的中点，问在图中还要添加(tin ji)(tin ji)什么条件？什么条
22、件？(直接填写答案直接填写答案)(1)(1)写出一条边满足的条件：写出一条边满足的条件：_._.(2)(2)写出一个角满足的条件：写出一个角满足的条件：_._.(3)(3)写出一个除边、角以外的其他满足条件：写出一个除边、角以外的其他满足条件：_._.第二十八页，共38页。【解析】【解析】(1)AB=BC.(1)AB=BC.理由：由轴对称的性质理由：由轴对称的性质(xngzh)(xngzh)可得：可得：BC=BDBC=BD，又因为又因为BC=AB=BD.BC=AB=BD.所以可得所以可得D D在在ABAB的中点位置的中点位置(2)A=30(2)A=30.理由：由轴对称的性质理由：由轴对称的性质
23、(xngzh)(xngzh)得：得：BC=BDBC=BD，CE=DECE=DE，CBE=DBE=A=30CBE=DBE=A=30.所以可得：所以可得：ADEADEBCEBCE，AD=BC=BD.AD=BC=BD.即得：点即得：点D D在在ABAB的中点；的中点；1212第二十九页，共38页。(3)(3)BECBECAED.AED.理由：因为理由：因为(yn wi)(yn wi)BECBECAED.AED.所以所以AD=BCAD=BC，又，又BC=BDBC=BD，所以，所以AD=BDAD=BD，故点故点D D为为ABAB的中点的中点答案：答案：(1)AB=BC(1)AB=BC(2)A=30(2)
24、A=30(3)(3)BECBECAEDAED12第三十页，共38页。6.6.如图所示，一牧童在如图所示，一牧童在A A处放牛，其家在处放牛，其家在B B处，处，A A，B B到河岸的距离分别到河岸的距离分别(fnbi)(fnbi)为为ACAC，BDBD，且，且AC=BD.AC=BD.若若A A到河岸到河岸CDCD的中点距离为的中点距离为500500米，问：米，问：(1)(1)牧童从牧童从A A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？短？(2)(2)最短路程是多少？最短路程是多少？第三十一页，共38页。【解析】【解析】(1)
25、(1)如图所示，如图所示，作点作点A A关于直关于直线线CDCD的对称点的对称点A1.A1.连接连接A1BA1B交交CDCD于于M M，则在，则在M M处饮水所走路处饮水所走路程最短程最短.(2)(2)由由(1)(1)知：知：A1C=AC=BDA1C=AC=BD，A1CM=BDMA1CM=BDM，A1MC=BMDA1MC=BMD，故故A1CMA1CMBDM.BDM.所以所以A1M=BMA1M=BM，CM=DMCM=DM，所以所以M M为为CDCD的中点的中点(zhn din)(zhn din)，AM=500AM=500米，米，所以所以A1B=2A1B=2500=1 000(500=1 000(
26、米米).).故最短路程为故最短路程为1 0001 000米米.第三十二页，共38页。7.(20127.(2012随州中考随州中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，点，点D D是是BCBC的中点的中点(zhn din)(zhn din)，点，点E E在在ADAD上上.试说明试说明(1)(1)ABDABDACD.ACD.(2)BE=CE.(2)BE=CE.第三十三页，共38页。【解析】【解析】(1)(1)在在ABDABD和和ACDACD中，中，因为因为(yn wi)D(yn wi)D是是BCBC的中点，的中点，所以所以BD=CDBD=CD，因为，因为(yn wi)AB=A
27、C(yn wi)AB=AC，AD=ADAD=AD，所以，所以ABDABDACD(SSS).ACD(SSS).(2)(2)由由(1)(1)知知ABDABDACDACD，所以所以BAD=CADBAD=CAD，即即BAE=CAEBAE=CAE，第三十四页，共38页。在在ABEABE和和ACEACE中，中，所以所以(suy)BE=CE.(suy)BE=CE.ABACBAECAEABEACE SASAEAE，第三十五页，共38页。8.8.如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，D D为为BCBC的中点的中点.(1)(1)写出点写出点D D到到ABCAB
28、C的三个顶点的三个顶点A A，B B，C C的距离的距离(jl)(jl)关系关系(不要求说明不要求说明).).(2)(2)如果点如果点M M，N N分别在线段分别在线段ABAB，ACAC上移动，上移动，在移动中保持在移动中保持AN=BMAN=BM，请判断，请判断DMNDMN的形状，并说明你的结论的形状，并说明你的结论.第三十六页，共38页。【解析【解析(ji x)(ji x)】(1)DA=DB=DC.(1)DA=DB=DC.(2)(2)DMNDMN为等腰直角三角形为等腰直角三角形.说明：连接说明：连接ADAD，因为，因为AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，所以所以B=45B=45.
29、又因为又因为D D为为BCBC的中点，的中点，所以所以ADAD平分平分CABCAB，所以，所以ADBCADBC，CAD=45CAD=45.在在ADNADN和和BDMBDM中，中，ADBDNADB45ANBM，第三十七页，共38页。所以所以(suy)(suy)ADNADNBDM(SAS)BDM(SAS)，所以所以(suy)DM=DN(suy)DM=DN，NDA=BDM.NDA=BDM.因为因为ADBCADBC，所以，所以(suy)ADB=90(suy)ADB=90.因为因为ADB=ADM+BDMADB=ADM+BDM，所以所以(suy)MDN=ADM+ADN(suy)MDN=ADM+ADN=ADM+BDM=90=ADM+BDM=90，所以所以(suy)(suy)DMNDMN是等腰直角三角形是等腰直角三角形.第三十八页，共38页。
