1、第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）2.1图形的轴对称1如果把_沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够_，那么这个图形叫做_，这条直线叫做_练习练习1：下列图形：长方形；三角形；圆其中是轴对称图形的是_(填序号)一个图形互相重合轴对称图形对称轴2对称轴_连结两个对称点的线段练习练习2：如图，直线AC是四边形ABCD的对称轴，则_垂直平分_.垂直平分ACBD3一般地，由一个图形变为_，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够_，这样的图形改变叫做图形的_，这条直线叫做_练习练习3：下列各组图形中成轴对称是()D另一个图形互相重合轴对称对称轴4成轴对称的两个图形是_练习练习4：如图，ABC与DEF
2、关于直线l对称，若C40，B80，则F_全等图形80知识点知识点1：轴对称图形及其性质：轴对称图形及其性质1在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是()A2如图，ABC的周长为30 cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交边BC于点D，交边AC于点E，连结AD.若AE4 cm，则ABD的周长是()A22 cm B20 cm C18 cm D15 cmA3如图，已知五边形ABCDE是轴对称图形，请用无刻度的直尺画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)解：连结EC，BD其交点为M，经A，M作直线l，即为对称轴知识点知识点2：图形的轴对称：图形的轴对称4观察下列各组
3、图形，其中成轴对称的有_(填序号)(1)(2)(4)5下列各组图中，左右两个图形成轴对称的是()A知识点知识点3：轴对称的性质：轴对称的性质6如图，A30，C60，ABC与ABC关于直线l对称，则B_907如图，若ABC与ABC关于直线MN对称，BB交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是()AACAC BABBC CAAMN DBOBO B8如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D，C的位置若AED40，则EFB的度数为()A70 B65 C80 D35A9如图所示是由同样大小的小正方形组成的网格，ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上，在网格上画出三个顶点都落在小正方形的顶
4、点上，且与ABC成轴对称的三角形共有()A5个 B4个 C3个 D2个A10如图，P是AOB外的一点，M，N分别是AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM2.5 cm，PN3 cm，MN4 cm，则线段QR的长为()A4.5 cm B5.5 cm C6.5 cm D7 cmA11李林把全家旅游乘飞机的时间定格在了电子钟上，他从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟读数如图所示，则李林全家旅游乘飞机的时间是_21：2012如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB边上，将CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若A26，
5、则CDE_7113如图，在正方形网格上有一个DEF.(1)作DEF关于直线HG的轴对称图形；(2)作DEF的EF边上的高；(3)若网格上的最小正方形边长为1，求DEF的面积14如图，在四边形ABCD中，ACBD于点E，BEDE，已知AC10 cm，BD8 cm，求阴影部分的面积15如图，已知两条定直线a和l，其中在定直线l上有一个定点A，在定直线a上有一个动点P，请找到使PA和点P到直线l距离之和最小时的点P的位置 解：(1)作点A关于直线a的对称点A；(2)过点A作AB直线l于点Q，交a于点P.则PAPQ最小16在44的方格中有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中
6、，使其与另四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有多少种？并画出图形 解：共13种移法，如图：第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）22等腰三角形1 1等腰三角形：等腰三角形：(1)(1)有有_相等的三角形叫做等腰三角形；相等的三角形叫做等腰三角形；(2)(2)在等腰三角形中，相等的两条边叫做在等腰三角形中，相等的两条边叫做_，另一条边叫，另一条边叫做做_，两腰所夹的角叫做，两腰所夹的角叫做_，腰与底边所夹的角叫做，腰与底边所夹的角叫做 _练习练习1 1：如果等腰三角形的两边长为：如果等腰三角形的两边长为2 2，4 4，则第三边的长为，则第三边的长为_两边两边腰腰底底顶角顶角底
7、角底角4 42 2等腰三角形是轴对称等腰三角形是轴对称图形图形，_所在直线是它的所在直线是它的对称轴对称轴练习练习2 2：已知已知ADAD是等腰是等腰ABCABC的顶角平分线的顶角平分线，BADBAD6060，则则B B_3 3三条边都相等的三角形叫做三条边都相等的三角形叫做_练习练习3 3：已知等边三角形的周长为已知等边三角形的周长为3 3，则其边长为则其边长为_.3030顶角平分线顶角平分线1 1等边三角形等边三角形知识点1：等腰三角形1如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上且ADBDBC，则图中的等腰三角形有()A1个 B2个C3个 D4个C2(2017绍兴模拟)等腰三角形的两边长分别
8、为4 cm和8 cm，则它的周长为()A16 cm B17 cm C20 cm D16 cm或20 cm3等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长为_C 5，5或6，4知识点2：等腰三角形的轴对称性4等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是()A过顶点的直线B底角的角平分线所在的直线C顶角的角平分线所在的直线D腰上的高所在的直线CC C5(2016台州期中)如图，在ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的角平分线，点 E，F 是 AD 的三等分点，若ABC的面积为 12 cm2，则图中阴影部分的面积为()A2 cm2 B4 cm2 C6 cm2 D8 cm2 6如图，在等腰三角形ABC中
9、，ABAC，AD为BAC的平分线，E为AD上一点，则ABE与ACE的大小关系怎样？请说明理由解：解：ABCABC是等腰三角形是等腰三角形，且且ABABACAC，ADAD为为BACBAC的平分线的平分线，ADAD所在的直线为所在的直线为ABCABC的对称的对称轴又轴又E E为为ADAD上一点上一点，ABEABE与与ACEACE关于关于ADAD所在的直线对称所在的直线对称，ABEABEACEACEC知识点知识点3 3：等边三角形的概念及轴对称性：等边三角形的概念及轴对称性7 7等边三角形对称轴的条数是等边三角形对称轴的条数是()()A A1 1条条 B B2 2条条 C C3 3条条 D D4 4
10、条条8 8有一条边长为有一条边长为6 cm6 cm，且周长是，且周长是18 cm18 cm的等腰三角形是的等腰三角形是 _等边三角形等边三角形9如图，在ABC中，ABAC，ADAEBDCEBC，EFDF，则图中的等腰三角形的个数是()A11个 B12个C13个 D15个B10(2016杭州期中)已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9 cm和12 cm两部分，则等腰三角形的底边长为()A9 cm B5 cmC6 cm或5 cm D5 cm或9 cmD11若实数x，y满足|x5|(y8)20，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为_12如图，已知线段m，n，以m为腰，以n为底边作等腰三角形，
11、并作出它的对称轴18或21解：图略解：图略13已知等腰三角形的底边长和一腰长是方程组 的解，求这个三角形的各边长解：解方程组得解：解方程组得 当当2为腰，为腰，1为底时，为底时，则三角形的三边长为则三角形的三边长为2，2，1；当；当1为腰，为腰，2为底时，为底时，112，不能构成三角形，不能构成三角形，三角形的各边长为三角形的各边长为2，2，1x2y4，3xy7 x2，y1，14 4如图如图，ABAB，ACAC是等腰三角形是等腰三角形ABCABC的两腰的两腰，ADAD平分平分BACBAC，BCDBCD是等腰三角形吗？并说明理由是等腰三角形吗？并说明理由解：解：BCDBCD是等腰三角形理由：是等
12、腰三角形理由：ABAB，ACAC是等腰是等腰三角形三角形ABCABC的两腰的两腰，ADAD平分平分BACBAC，直线直线ADAD是是ABCABC的对称轴的对称轴，BB，C C关于关于ADAD对称对称，直线直线ADAD垂垂直平分直平分BCBC，DBDBDCDC，BCDBCD是等腰三角形是等腰三角形15如图，已知一个等腰三角形底边的长为5 cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为1 cm，求等腰三角形的腰长解：设腰长为 x cm，当腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和大时，(x12x)(12x5)1，解得 x6；当腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和小时，(12x5)(x12x)1，解得
13、x4.综上所述，腰长为 6 cm 或 4 cm16如图，在ABC中，A90，E为BC上一点，点A和点E关于BD对称，点B和点C关于DE对称，求ABC和C的度数解：解：点点A A与点与点E E关于关于BDBD对称，对称，ABDABDDBC.DBC.又又点点B B和点和点C C关于关于DEDE对称，对称，DBCDBCC.AC.AABCABCCC180180，AA9090，ABDABDDBCDBCCC9090，3C3C9090，CC3030，ABCABCABDABDDBCDBC2C2C6060第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）23等腰三角形的性质定理第1课时等边对等角1等腰三角形的两个底角_，
14、这个定理也可以说成在同一个三角形中，_练习练习1：(2017丽水丽水)等腰三角形的一个内角为100，则顶角的度数是_2等边三角形的各个内角都等于_练习练习2：若ABC为等边三角形，则A_相等等边对等角1006060知识点知识点1：等腰三角形的两底角相等：等腰三角形的两底角相等1在ABC中，ABAC，A30，则B的度数为()A30 B75 C150 D1252(2016杭州模拟杭州模拟)已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为()A50 B80 C50或80 D40或653(2016嵊州期末嵊州期末)在ABC中，ABAC，若A100，则C_BC404如图，在ABC中，ABAC，D
15、是ABC内一点，且BDDC.求证：ABDACD.证明：ABAC，ABCACB.BDCD，DBCDCB，ABCDBCACBDCB，即ABDACD知识点知识点2：等边三角形的各内角都相等：等边三角形的各内角都相等5如图，ABC是等边三角形，点D在AC边上，DBC35，则ADB的度数为()A25 B60 C85 D95D6若AD是等边三角形ABC的中线，则BAD的度数是_7如图，BD，CE是等边三角形ABC的两条角平分线，BD，CE相交于点O，则BOC的度数是_301208如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是_2409如图，在ABC中，D，E是BC上两点，且BDDEA
16、DAEEC，则BAC的度数是()A90 B108 C120 D13510如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE的度数为()A50 B51 C51.5 D52.5CD11(2016嘉兴模拟嘉兴模拟)如图，在ABC中，ABC90，D是AC上一点，ADAB，若A50，则DBC_2512如图，ABEF，CECA，E65，求CAB的度数解：CECA，ECAE.又E65，CAE65，ABEF，EBAE180，ECAECAB180，CAB1806525013如图，ABCD，E是AB的中点，CEDE.求证：(1)AECBED；(2)ACBD.证明：(1)CEDE，
17、ECDEDC.又ABCD，ECDAEC，EDCBED，AECBED(2)由SAS证明ACE BDE即可14如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BDAE，AD与CE交于点F.(1)求证：ADCE；(2)求DFC的度数解：(1)ABC是等边三角形，ABAC，BBAC.又BDAE，ABD CAE(SAS)，ADCE (2)ABD CAE，BADACE，DFCFACACFFACBADBAC6015【提出问题】(1)如图，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边三角形AMN，连结CN.求证：ABCACN.证明：(1)ABC是等边三角
18、形，ABAC，BAC60，同理AMAN，MAN60，BAMCAN，可证ABM ACN(SAS)，ABCACN【类比探究】(2)如图，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论ABCACN还成立吗？请说明理由 解：成立证ABM ACN(SAS)，ABCACN第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）2.3等腰三角形的性质定理第第2 2课时等腰三角形三线合一课时等腰三角形三线合一1 1等腰三角形的等腰三角形的_、_和和_互互 相重合，简称等腰三角形三线合一相重合，简称等腰三角形三线合一练习练习1 1：如图，在：如图，在ABCABC中，中，ABABACA
19、C，BCBC8 8，ADAD平分平分BACBAC，则，则BDBD_顶角平分线顶角平分线底边上的中线底边上的中线高线高线4 4知识点：等腰三角形三线合一1(2016温州期中)如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，BAD20，则BAC_402如图，在ABC中，ABAC，12，BD5 cm，则BC的长为_ cm.10 3如图，在ABC中，ABAC，B50，D是BC的中点，则DAC的度数是()A30 B40 C50 D70B4 4如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，BDBDCDCD，BADBAD2020，DEACDEAC于点于点E E，则，则EDCEDC的度数是的度数是()()
20、A A2020 B B3030 C C4040 D D5050A A5在等腰三角形ABC中，ABAC，AD是角平分线，则下列结论：ADBD；BDDC；BC；BADCAD中，其中 正确的个数是()A4个 B3个 C2个 D1个A解：ABAC，BAC110，CB35，又D是BC边上的中点，AD平分BAC，BAD6 6如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的中点，边上的中点，BACBAC110110，求，求CC和和BADBAD的度数的度数7如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，E是AC的中点，则 的值为()A12 B13 C14 D23BSCDES四边
21、形ABDE 8(2016杭州期末)如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，交BC于点D，DEAB于点E，DFAC于点F，对于下列结论：ADBC；AEAF；AD上任意一点到AB，AC的距离相等；AD上任意一点到B，C两点的距离相等其中正确的个数有()A1个 B2个 C3个 D4个D9已知线段a，b，用直尺和圆规作等腰三角形，使底边上的高为a，腰为b(ba)解：图略解：图略，(1)作线段作线段AM2a；(2)作线段作线段AM的垂直平分线的垂直平分线DE；(3)以点以点A为圆心为圆心，以以b为半径为半径画弧交直线画弧交直线DE于于B，C C两点；两点；(4)连结连结AB，AC.AC.则则ABC即
22、为所求即为所求10(2016宁波月考)如图，ABAC，BDDC，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F.求证：DEDF.证明：ABAC，BDDC，AD平分BAC.又DEAB，DFAC，DEDF11如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBEBAD.证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，BADCAD，ADBC，CCAD90.又又BEAC，CCBE90，CBECAD，CBEBAD12如图，在ABC中，ABAC，O是ABC内一点，且OBOC.求证：AOBC.证明：在证明：在AOBAOB和和AOCAOC中，中，ABABACAC，AOAOAOAO，OB
23、OBOCOC，AOBAOBAOC(SSS)AOC(SSS)，OAOA平分平分BAC.BAC.又又ABABACAC，OABCOABC13如图，在ABC中，ABAC，点E在CA的延长线上，EAFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由解：解：EFBC.EFBC.理由：过点理由：过点A A作作ADBCADBC于点于点D D，延长，延长EFEF交交BCBC于点于点G.ABG.ABACAC，ADBCADBC，2CAD2CADBAC.BAC.又又BACBAC是是AEFAEF的外角，的外角，BACBACEEAFE.AFE.EEAFEAFE，BACBAC2E2E，CADCADEE，ADEFADEF，EGCE
24、GCADCADC9090，EFBCEFBC1414在在ABCABC中，中，ABABAC.AC.(1)(1)如图，若如图，若BADBAD3030，ADAD是是BCBC边上的高线，边上的高线，ADADAEAE，则则EDCEDC_；(2)(2)如图，若如图，若BADBAD4040，ADAD是是BCBC边上的高线，边上的高线，ADADAEAE，则则EDCEDC_；(3)(3)通过以上两题，你发现了通过以上两题，你发现了BADBAD与与EDCEDC之间有什么关系？之间有什么关系？请用式子表示请用式子表示_20201515EDC12BAD 解：解：(4)(4)仍成立理由：仍成立理由：ADADAEAE，AD
25、EADEAEDAED，BADBADBBADCADCADEADEEDCEDCAEDAEDEDCEDC(EDC(EDCC)C)EDCEDC2EDC2EDCC.C.又又ABABACAC，BBCC，BADBAD2EDC2EDC(4)(4)如图如图，若若ADAD不是不是BCBC边上的高线边上的高线，ADADAEAE，是否仍有上述是否仍有上述结论？若有结论？若有，请说明理由请说明理由第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）24等腰三角形的判定定理1如果一个三角形有_相等，那么这个三角形是等腰三角形，也可以简单地说成：在同一个三角形中，_练习练习1：在ABC中，A30，当B_时，ABC是等腰三角形2_的三角
26、形是等边三角形；有一个角是60的_三角形是等边三角形练习练习2：在ABC中，ABAC，B60，则ABC是_三角形两个角等角对等边30或75三个角都相等等腰等边知识点知识点1：等腰三角形的判定：等腰三角形的判定1在ABC中，有两个内角如下，则能判定ABC为等腰三角形的是()AA40，B50 BA40，B60CA20，B80 DA40，B802(2016舟山期中舟山期中)如图，OC平分AOB，CDOB，若OD3 cm，则CD等于()A3 cm B4 cm C1.5 cm D2 cmCA3(2016杭州月考杭州月考)如图，在ABC中，ABAC，DEBC，则下列结论中不正确的是()D4如图，在ABC中
27、，D为BC上一点，DA平分EDC，且EB，DEDC.求证：ABAC.证明：DA平分EDC，ADEADC.又DADA，DEDC，ADE ADC(SAS)，EC.又EB，BC，ABAC知识点知识点2：等边三角形的判定：等边三角形的判定5在ABC中，A60，C60，则ABC是_三角形6如图，ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60得到ABC，则ABB是_三角形等边等边7等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是()A有一个内角是60B有一个外角是120C有两个角相等 D腰与底边相等C8如图，在ABC中，点D是AB上的一点，且ADDCDB，B30.求证：ADC是等边三角形 证明：DCDB
28、，BDCB30，ADCDCBB60.又ADDC，ADC是等边三角形9给出下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的是()A BC D D 10如图，在ABC中，A36，ABAC，BD是ABC的角平分线，若在边AB上截取BEBC，连结DE，则图中等腰三角形的个数是()A2个 B3个 C4个 D5个D11如图，在ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD.上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三
29、角形_(填序号)或12如图，ABD，CBD是两个边长均为1的等边三角形，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图，则阴影部分的周长为_213如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BDBE，BADBCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由解：AFC是等腰三角形理由：在BAD与BCE中，BADBCE，BB，BDBE，BAD BCE(AAS)，BABC，BACBCA，BACBADBCABCE，即FACFCA，AFC是等腰三角形14如图，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38的方向上，轮船又从A处向北航行30海里到B处，测得灯塔在其
30、北偏西76的方向上(1)求ACB的度数；(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少？解：(1)ACBNBCNAC763838 (2)ACBNAC38，ABBC30海里，即轮船在B处时，到灯塔C的距离是30海里15如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.(1)求F的度数；(2)若CD2，求DF的长解：(1)F30(2)证EDC是等边三角形，ECF是等腰三角形，DCCECF2，DF416如图，E为等边三角形ABC的AC边上一点，12，CDBE，试判断ADE的形状，并说明理由解：ADE是等边三角形理由：ABC是等边三角形，ABAC，
31、BAC60.又12，BECD，ABE ACD(SAS)，DAEBAE60，AEAD，ADE是等边三角形第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）25逆命题和逆定理1在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的_，而第一个命题的结论是第二个命题的_，那么这两个命题叫 做_如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的_ 练习1：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 _.条件互逆命题结论逆命题同位角相等，两直线平行2 2如果一个定理的逆命题能被证明是如果一个定理的逆命题能被证明是_，那么就叫它，那么就叫它是原定理的是原定理的_，这两个定理叫做，这两个定理叫做_练习练习2 2：定理：定理
32、“两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补”与与 _ _互为逆定理互为逆定理真命题真命题逆定理逆定理互逆定理互逆定理同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行3 3线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段垂直平分线性质定理的逆定理：到_ _ 的点在线段的的点在线段的_练习练习3 3：如图，：如图，ACACADAD，BCBCBDBD，则有，则有()()AAB垂直平分CDBCD垂直平分ABCAB与CD互相垂直平分DCD平分ACBA A线段两端距离相等线段两端距离相等垂直平分线上垂直平分线上知识点1：互逆命题1命题“若a是偶数，则3a是偶数”的逆命题是()A若3a是偶数，则a是偶数B若3
33、a是偶数，则a是奇数C若3a是奇数，则a是奇数D若3a是奇数，则a是偶数A2命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_面积相等的两个三角形全等3 3写出下列命题的逆命题，并判断其真假写出下列命题的逆命题，并判断其真假(1)(1)两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；(2)(2)如果如果a a0 0，b b0 0，那么，那么abab0.0.解：内错角相等，两直线平行；真命题解：内错角相等，两直线平行；真命题解：如果解：如果abab0 0，那么，那么a a0 0且且b b0 0；假命题；假命题知识点2：逆定理4下列定理中，有逆定理的是()A对顶角相等B同角的余角相等C全等三角形的对应角相等
34、D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等DD5 5下面定理中，没有逆定理的是下面定理中，没有逆定理的是()()A A同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行B B全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等C C角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等D D等角的补角相等等角的补角相等6下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理(1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(2)成轴对称的两个图形是全等图形；(3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合解：(1)有逆定理如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应的两边及其夹角相等(2
35、)无逆定理(3)有逆定理若一个三角形的一个角的平分线与这个角所对边上的高线互相重合，则这个三角形是等腰三角形7对于以下说法：如果一个命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；每个定理都有逆定理；基本事实是通过推理判断为正确的命题；“同位角相等”是定理其中正确的说法有()A1个 B2个 C3个 D4个A8写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举反例说明(1)两直线平行，同位角相等；(2)垂直于同一条直线的两直线平行；解：同位角相等，两直线平行；真命题解：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线；真命题(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60的三角形
36、是等边三角形解：内错角相等；假命题，举反例略解：等边三角形有一个角是60；真命题9写出命题“等腰三角形的顶角平分线垂直于底边”的逆命题，并判断这个逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举一个反例解：逆命题为：如果一个三角形的一个角的解：逆命题为：如果一个三角形的一个角的平分线垂直于这个角的对边，那么这个三角形平分线垂直于这个角的对边，那么这个三角形是等腰三角形，它是真命题已知：如图，是等腰三角形，它是真命题已知：如图，在在ABCABC中，中，ADAD平分平分BACBAC，ADBCADBC于点于点D.D.求证：求证：ABCABC为等腰为等腰三角形证明：三角形证明：ADAD平分平分BA
37、CBAC，BADBADCAD.ADBCCAD.ADBC，ADBADBADCADC9090.又又ADADADAD，ADBADBADC(ASA)ADC(ASA)，ABABACAC，ABCABC为等腰三角形为等腰三角形10如图，在ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.(1)求证：PAPBPC；(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？解：解：(1)(1)点点P P在在ABAB和和BCBC的垂直平分线上，的垂直平分线上，PAPAPBPB，PBPBPCPC，PAPAPBPBPC (2)PC (2)由由(1)(1)知知PAPAPCPC，点点P P也在也在ACAC的垂直平分线上结
38、论：三角的垂直平分线上结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点形三边的垂直平分线相交于一点1111如图，点如图，点D D，E E在在ABCABC的边的边BCBC上，连结上，连结ADAD，AEAE，给出下面三个，给出下面三个等式：等式：ABABACAC；ADADAEAE；BDBDCECE，其中的两个作为命题的条，其中的两个作为命题的条 件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：；.(1)(1)以上三个命题是真命题的为以上三个命题是真命题的为_；(直接作答直接作答)(2)(2)请选择一个真命题进行证明请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明先写出所选命
39、题，然后证明)；解：答案不唯一，如选择解：答案不唯一，如选择.证明：证明：ABABACAC，BBC.C.又又BDBDCECE，ABDABDACE(SAS)ACE(SAS)，ADADAEAE1212我们把两组邻边分别相等的四边形叫做我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形筝形”如图，如图，四边形四边形ABCDABCD是一个筝形，其中是一个筝形，其中ABABCBCB，ADADCDCD，请你写出与筝形，请你写出与筝形ABCDABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论解：答案不唯一，如结论：解：答案不唯一，如结论：(1)DAB(1)DABDCBDC
40、B；(2)BD(2)BD平分平分ADCADC和和ABCABC；(3)DB(3)DB垂直平分垂直平分AC.AC.结论结论(1)(1)证明：在证明：在ABDABD和和CBDCBD中，中，ABABCBCB，ADADCDCD，BDBDBDBD，ABDABDCBD(SSS)CBD(SSS)，DABDABDCBDCB；结论；结论(2)(2)证明：同上可证证明：同上可证ABDABDCBDCBD，ADBADBCDBCDB，ABDABDCBDCBD，即，即BDBD平分平分ADCADC和和ABCABC；结论；结论(3)(3)证明：证明：ADADCDCD，点点D D在线段在线段ACAC的垂直平分线上，同理，点的垂直
41、平分线上，同理，点B B在线段在线段ACAC的垂直平分线上，的垂直平分线上，DBDB垂直平分垂直平分ACAC第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）26直角三角形第1课时直角三角形的性质1有一个角是_的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“_”表示练习练习1：如图，CD是ABC的高，则图中的直角三角形有_直角RtRtBCD，RtACD2直角三角形的两锐角_练习练习2：在直角三角形中，一个锐角为57，则另一个锐角为_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_练习练习3：在RtABC中，C90，CD是中线，且CD2，则AB_互余33一半4知识点知识点1：直角三角形的定义：直角三角形的定义1已知AB
42、C中，BC45，那么这个三角形是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形2已知ABC三个内角满足A B C1 2 3，则ABC是_三角形B直角知识点知识点2：直角三角形两锐角互余：直角三角形两锐角互余3在直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是()A75 B60 C45 D304(2016杭州期末)在RtABC中，C90，AB70，则A的度数为()A80 B70 C60 D50DA5如图，在ABC中，ACB90，CD是ABC的一条高线，若B28，求ACD的度数解：ACB90，ACDBCD90.CD是ABC的一条高线，BBCD90，ACDB28知识点知识点3：直角三
43、角形斜边上的中线等于斜边的一半：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是()ACD2AB BCDAC CCDBC DCDADBDD7如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为()A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km8在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边上的高，BC9 cm，则AD_ cm.D9如图，在RtABC中，ACAB，AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，则图中与C相等的角的个数是()A2个 B3个 C4个 D5个
44、BB11如图，在ABC中，ABAC10，BC8，AD平分BAC，交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则CDE的周长为_1412.如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，A3B.求ACD，BCD的度数 解：ACD22.5，BCD67.513如图，一个太阳能热水器(ACB90)受光面的一边AB长为2 m，倾斜角ABC30，连杆CD经过AB的中点D，求AC，CD的长14如图，在MNP中，MNP45，H是MNP的高MQ，NR的交点求证：HNPM.证明：MQ是MNP的高，MQN90.又MNP45，QMN45，MQNQ.NR是MNP的高，NRP90，PMQRNQ，PMQ HNQ(ASA)，
45、HNPM15如图，AD，BE分别是ABC的边BC，AC上的高线，F是ED的中点，G是AB的中点，则GFDE，请说明理由16如图，在ABC中，ABAC，BAC120，EF为AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，BF5 cm，求FC的长第2章特殊三角形八年级数学上册（浙教版）26直角三角形第第2 2课时直角三角形的判定课时直角三角形的判定1直角三角形的判定定理：有_的三角形是直角三角形练习1：在ABC中，A40，B50，则ABC是_三角形两个角互余直角知识点：根据两锐角互余判定直角三角形1已知三角形的一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等
46、腰三角形BD 2满足条件A12B13C 的ABC 是()A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 3下列条件：下列条件：ABC；ABC 123123；AA90B；AB2(1)2(1)C.其中能确定其中能确定ABC是直角三角形的有是直角三角形的有()A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个D 4如图，点P是射线ON上一动点，AON30，当A_时，AOP为直角三角形60或 905如图，在ABC中，ADBC，1B.求证：ABC是直角三角形证明：ADBC，1C90.1B，BC90，ABC是直角三角形6四个三角形的三个内角的比分别是134，257，135和26
47、9，在这四个三角形中，直角三角形有()A1个 B2个 C3个 D4个7把等边ABC的一边AB延长一倍到点D，连结CD，则ADC是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D不能确定BB8如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，AB2CD，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D不能确定B9在ABC中，AD是BC边上的中线，AHBC于点H，则下列说法中错误的是()A若BC90，则ADBDCDB若BCAH，则ABC为直角三角形D若ADCD，则BAC90C10如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处
48、，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是_海里2511在ABC中，如果3A32BC，试判断ABC的形状，并说明理由解：解：ABCABC是直角三角形理由：设是直角三角形理由：设AAx x，则，则BB2x2x，CC3x3x，xx2x2x3x3x180180，xx3030，CC9090，ABCABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：CEADCEAD，CEDCED9090，CCDD9090.又又AACC，AADD9090，ABDABD是直角三角形是直角三角形12如图，CEAD，垂足为E，AC.求证：ABD是直角三角形13如图，AD，BF分别是ABC的高线与角平分线，BF，AD交
49、于点E，12.求证：ABC是直角三角形证明：证明：ADBCADBC，EBDEBDBEDBED9090，BEDBED11，1122，EBDEBD229090，又，又EBDEBDABEABE，ABEABE229090，BAFBAF9090，ABCABC是直角三角形是直角三角形14如图，在ABC中，ACB90，CD，CE三等分ACB，CDAB于点D.求证：AB2BC.证明：证明：CDCD，CECE三等分三等分ACBACB，ACBACB9090，1122333030.又又CDABCDAB，CDBCDB9090，BB9090336060，AA9090BB3030，11AA3030，AEAECECE，BE
50、CBEC11AA6060，BCEBCE为等边三角形，为等边三角形，CECEBEBEBCBC，即，即AEAECECEBEBEBC.ABBC.ABAEAEBEBE，ABAB2BC2BC15如图，在等腰RtABC中，P是斜边BC上的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连结EF.当EPF绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，PEF始终是等腰直角三角形，请你说明理由解：连结 PA.PA 是等腰 RtABC 底边上的中线，PA12BCPC，APBC，BC45，PABPAC45，PABC.APBC，PEPF，APEAPFAPFCPF90，APECPF.PAPC，PAEPCF(ASA
