1、第二节 根轨迹方程 采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根轨迹图，用数学解析法去逐个求出闭环特征根轨迹图，用数学解析法去逐个求出闭环特征方程的根再绘制系统的根轨迹图，十分困难且方程的根再绘制系统的根轨迹图，十分困难且没有意义。重要的是找到一些规律，以便根据没有意义。重要的是找到一些规律，以便根据开环传递函数与闭环传递函数的关系以及开环开环传递函数与闭环传递函数的关系以及开环传递函数零点和极点的分布，迅速绘出闭环系传递函数零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。这种作图方法的基础就是根轨迹统的根轨迹。这种作图方法的基础就是根轨迹方程。方程。根轨迹分析法
2、根轨迹分析法 根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析和设计的一种图解方法。该方法利用特征根析和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在在s平面上的位置，分析系统参数变化对系统平面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的影响，从而根据系统特征根位置与瞬特征根的影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关系，可直观地分析系统参数与系统态响应的关系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和瞬态响应的关系。的稳态响应和瞬态响应的关系。第二节 根轨迹方程一、系统闭环零、极点与开环零、极点的关系。一、系统闭环零、极点与开环零、极点的关系。控制系统结构如图控制系统结构如图
3、sG sHY（s）R（s）-第二节 根轨迹方程其闭环传递函数 djjciifbjjaiiaBpszsKsHpszsKsGsHsGsHsGsGsG11111一般情况下开环传递函数第二节 根轨迹方程 aiciifiabjdjjjaidjjiaBbjdjjjaiciifiazsKzsKpspspszsKsGpspszsKzsKsHsG11111111111第二节 根轨迹方程比较（1），（2）式 可看出闭环零点是前向通路的零点和反馈通路的极点构成，闭环零点是前向通路的零点和反馈通路的极点构成，对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点、开环极点以
4、及开环增益均有闭环极点与开环零点、开环极点以及开环增益均有关系，且关系，且k变化，闭环极点也发生变化。变化，闭环极点也发生变化。开环零、极点非常容易得到，因而闭环零点也不难开环零、极点非常容易得到，因而闭环零点也不难确定，而闭环极点却不易求出。确定，而闭环极点却不易求出。第二节 根轨迹方程二.根轨迹方程 1.什么是根轨迹方程？控制系统的一般结构图G（s）H（s）-R（s）Y（s）01:1sHsGsHsGsGsGB方程为闭环系统的特征其闭环传递函数为n 绘制根轨迹的实质就是求解闭环特征根的绘制根轨迹的实质就是求解闭环特征根的过程，因此，根轨迹上的点应该满足特征方程过程，因此，根轨迹上的点应该满足
5、特征方程 是闭环的特征方程式。实质上说根轨迹方程就根轨迹方程为1sHsG第二节 根轨迹方程 点。：系统开环传递函数极点。：系统开环传递函数零，又称根轨迹增益。根轨迹的开环放大系数式稍作变换：需要把特征方程式的形描绘根轨迹，的零点、极点的分布来为了能从开环传递函数jinjjmiinmpzkpszskpspspszszszsksHsG:111121第二节 根轨迹方程n根轨迹增益根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系是系统的开环传递函数的分子统的开环传递函数的分子分母的最高分母的最高阶次项的系数为阶次项的系数为1 1的比例因子的比例因子第二节 根轨迹方程 全部根轨迹。的平面上描绘出闭环系统可在变化时，由
6、根轨迹方程到从当可变参数：分母中的时间常数：分子中的时间常数，系统的开环放大系数，迹方程。种表达形式，又称根轨闭环特征方程式的另一skTKTKksTsKsHsGkpszsjinjjmiinjjmiinjjmii0:111111111第二节 根轨迹方程 开环系统的根轨迹增益开环系统的根轨迹增益 k k 与开环系与开环系统的增益统的增益K K之间仅相差一个比例常数，这之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关。和极点有关。第二节 根轨迹方程2.绘制根轨迹的两个基本条件 我们可以看出根轨迹方程是一个复数方程式，根据等式两边幅值和相角分别相
7、等的条件，可以得到绘制根轨迹的两个基本条件。kpszsnjjmii1111幅值条件第二节 根轨迹方程 为正。角时规定以逆时针方向的向量相角，测量相到点为从开环极点的向量夹角，到点为从开环有限零点几点解释相角条件sppsszzsahhpszsjjiinjjmii:32,1,018012211第二节 根轨迹方程b：相角条件的含义 对于任何正k值，在s平面上从开环传递函数G（s）H（s）的 各零点和极点分别向某点s引向量，如果从各零点所引向量的相角之和减去从各极点所引向量的相角之和等于180的奇数倍时，那么该点就是根轨迹上的点。第二节 根轨迹方程c：幅值条件与k有关 相角条件与k无关，因此把满足相角
8、条件的s值代入到幅值条件中，总可以求出一个对应的k值。表明如果s值满足相角条件，则必定满足幅值条件。因此相角条件是决定根轨迹的充分必要条件。幅值条件主要用来确定根轨迹各点对应的放大系数，进而得到开环放大系数的k值。复平面上的复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足幅值条件开环零、极点所组成的向量必须满足幅值条件和相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹和相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹增益增益k有关，而相角条件与有关，而相角条件与k无关。所以在绘制无关。所以在绘制根轨迹时，一般先用相角条件确定轨迹上的点；根轨迹时，一般先用相角条件确定
9、轨迹上的点；然后利用幅值条件确定根轨迹上该点对应的然后利用幅值条件确定根轨迹上该点对应的k值；最后将复平面上所有满足相角条件的点值；最后将复平面上所有满足相角条件的点s顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。n 根据幅值条件与相角条件，采用试探法尽根据幅值条件与相角条件，采用试探法尽管可逐点精确绘制根轨迹，但它很麻烦，需要管可逐点精确绘制根轨迹，但它很麻烦，需要在在s平面上任选足够多的实验点，来根据相角平面上任选足够多的实验点，来根据相角条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不便于人工绘制，仅适用于计算机绘制。所以，便于人
10、工绘制，仅适用于计算机绘制。所以，人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘制根轨迹的规则，利用这些规则可以简捷绘出制根轨迹的规则，利用这些规则可以简捷绘出根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明方向。方向。第二节 根轨迹方程三。根轨迹方程的应用1.用相角条件求根轨迹曲线 根据相角条件可判断s平面上的点是否在根轨迹上，这样就可以用试探法绘制根轨迹。是否在根轨迹上。，和，判断点数为例：系统的开环传递函15.011,121jsjsssksG第二节 根轨迹方程解：将开环零点、极点表示在图上，其中p1=0，p2=-1作p1，
11、p2引向s1的矢量（s1-p1），（s1-p2）。135s2-p1s2-p2s1s1-p1s1-p2s2p1p2第二节 根轨迹方程的相角。的一该两向量的矢量，并用量角器量引向、作点，同样方法，不是该系统的的闭环极根轨迹上，即不在条件，所以的奇数倍，不满足相角不是2211121111111211118022590135,90,135sppsspspspszspspsnjjmii第二节 根轨迹方程 轨迹上。系统的闭环极点，在根满足相角条件，说明该1805.635.116,5.63,5.116221212122212pspspszspspsnjjmii第二节 根轨迹方程 从这个例子可以看出：通过选择
12、若干试验点，检查这些点是否满足相角条件。由那些满足相角条件的点可连成根轨迹。这就是绘制根轨迹的试探法。2.用幅值条件确定k值：幅值条件可确定根轨迹上各点多对应的k值。求上例中根轨迹上s2点（-0.5，-j1）对应的k值。第二节 根轨迹方程部分进行修正。用试探法在根轨迹重要根轨迹，再利基本规则描绘出近似的根轨迹时，是根据一些的，实际绘制迹的试探法，是很麻烦刚才我们介绍绘制根轨解：根据幅值条件得，25.1118.1118.115.005.022122121jjpspszszszspspspskmn第二节 根轨迹方程 为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句话：绘制根轨迹牢记并理解三句话：绘制根轨迹依依据的是开环零极点分布，遵循的是不变据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
