1、西西 北北 工工 业业 大大 学学2016.3第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通 信 原 理第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-92第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析本章是本课程的重要数学基础。本章是本课程的重要数学基础。随机过程随机过程研究内容：研究内容：2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 2.4 2.4 高斯随机过程高斯随机过程 2.5 2.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 2.6 2.6 窄带随机过程窄带随
2、机过程 2.7 2.7 正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程 2.8 2.8 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-932.12.1 引引 言言通信通信-是在噪声背景下信号通过通信系统的过程是在噪声背景下信号通过通信系统的过程，分析与研究通信，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。系统，总是离不开对信号和噪声的分析。随机信号：随机信号：通信系统中用于表述信息的信号不可能是单一的、确通信系统中用于表述信息的信号不可能是单一的、确定的，而是具有不确定性和随机性。定的，而是具有不确定性和随机性。随机噪声
3、：随机噪声：通信中存在的各种干扰和噪声，其波形更是随机的、通信中存在的各种干扰和噪声，其波形更是随机的、不可预测的。不可预测的。随机过程：随机过程：尽尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但它们具有一定的统计规律。它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可表示为随机过从统计学的观点看，均可表示为随机过程。程。随机过程随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。函数描述。统计学中的有关统计学中的有关随机过程的理论随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析可以运用到随机信号和
4、噪声分析中来。中来。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-94 2.2 2.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念2.2.1 2.2.1 随机过程的概念随机过程的概念考察：考察：假设假设有有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。（其输出。（n-足够大的正整数）足够大的正整数）得到得到一系列噪声波形一系列噪声波形记录记录x1(t)、x2(t)、x3(t)、.、xn(t)。结果：结果：理想时，波形似乎应该一致，但实际不然。理想时，波形似乎应该一致，但实际不然。找不到两个完全相找不到两个完全相同的波形
5、！同的波形！第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-95讨论：讨论：每一个记录每一个记录xi(t)都是一个随机都是一个随机起伏的时间函数起伏的时间函数随机函数。随机函数。全部随机函数的集合全部随机函数的集合随机随机过程：过程：X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)每一条曲线每一条曲线xi(t)都是随机过程都是随机过程的的一个实现一个实现/样本样本为确定的时为确定的时间函数。间函数。在某一特定时刻在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值观察各台接收机的输出噪声值xi(t1)，发现他们，发现他们的值是不同的的值是不同的 是一个随机量（是一个随机量（随机
6、变量随机变量）。）。角度角度1 1：对应不同随机试验结果的对应不同随机试验结果的随机函数随机函数（时间过程）的集合。（时间过程）的集合。角度角度2 2：随机过程是随机过程是随机变量随机变量概念的延伸。概念的延伸。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-96讨论：讨论：在任一给定时刻在任一给定时刻t1，每一样本函数，每一样本函数xi(t)都有一个确定的数值都有一个确定的数值xi(t1)。但在同一时刻，不同样本的取值但在同一时刻，不同样本的取值xi(t1)，i=1，n却是一个随机变却是一个随机变量。量。即，即，随机过程在任意时刻随机过程在任意时刻t1的值的值X(
7、t1)是一个是一个随机变量随机变量。因此，又可以把因此，又可以把随机过程随机过程看作看作是是在时间进程中处于不同时刻的在时间进程中处于不同时刻的随随机变量的集合机变量的集合。角度角度1 1：对应不同随机试验结果对应不同随机试验结果的时间过程的集合。的时间过程的集合。角度角度2 2：随机过程是随机变量概随机过程是随机变量概念的延伸。念的延伸。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-97概括：概括：随机过程随机过程X(t)的含义属性的含义属性有三点：有三点：（1）X(t)是是t 的函数。的函数。（2）X(t)在任一时刻在任一时刻 t1上的取值上的取值X(t1)不
8、是确定的，是一个不是确定的，是一个随机变随机变量量。（3）X(t)的任一实现的任一实现xi(t)是一个确定函数，随机性体现在某一是一个确定函数，随机性体现在某一样本出现的随机上。样本出现的随机上。概率论：随机变量分析概率论：随机变量分析分布函数、概率密度分布函数、概率密度和和数字特征数字特征研究内容研究内容随机过程统计描述：随机过程统计描述：1.随机过程的分布函数随机过程的分布函数 2.随机过程的数字特征随机过程的数字特征第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-981.1.随机过程的分布函数随机过程的分布函数设设X(t)表示一个随机过程，它在任意时刻表示一个
9、随机过程，它在任意时刻t1的值的值X(t1)是一个随是一个随机变量，根据概率论的知识，随机过程机变量，根据概率论的知识，随机过程X(t)的的-（1 1）随机过程随机过程X(t)的一维描述的一维描述-反映随机过程在任一时刻取反映随机过程在任一时刻取值的统计特性。值的统计特性。一维分布函数一维分布函数11111(,)()F x tP X tx 表示随机变量表示随机变量X(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率。的概率。一维概率密度函数一维概率密度函数1111111),(),(xtxFtxf若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。11()P X tx第第2 2章章 随机信号与噪
10、声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-99（2 2）随机过程）随机过程X(t)的二维描述的二维描述-反映随机过程在不同时刻取反映随机过程在不同时刻取值之间的关联程度。值之间的关联程度。二维分布函数二维分布函数 任意给定时刻任意给定时刻t1、t2，和和 同时成立的概率：同时成立的概率：212121122(,;,)(),()F x x t tPX tx X tx二维概率密度函数二维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf11()X tx22()X tx第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声
11、分析通信原理2022-12-910（3 3）随机过程）随机过程X(t)的的多多维描述维描述n维分布函数维分布函数 n维概率密度函数维概率密度函数12121122(,;,)(),(),()nnnnnFxxxtttPX txX txX tx1212121212()()nnnnnnnnF xxxtttf xxxtttx xx，；，；，第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-911目的目的/意义：意义：可以把随机过程可以把随机过程X(t)当作一个多元的随机变量来看待，当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量而用这个多元随机变量X(t1)，X(t2)，.，X
12、(tn)的分布函数或的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。概率密度来描述随机过程的统计特性。显然，显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。统计独立统计独立:对于任何对于任何n个随机变量个随机变量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)，如果下式成，如果下式成立立 fn(x1,x2,.,xn；t1,t2,.,tn)=f1(x1,t1)f1(x2,t2).f1(xn,tn)则称这些变量是则称这些变量是统计独立的统计独立的，否则就是，否则就是不独立的不独立的或或相相关的。关的。意义？意义？第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-
13、9122.2.随机过程的数字特征随机过程的数字特征引言引言 问题：问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必实际中：难；不必。措施：措施：用随机过程的用随机过程的数字特征数字特征来描绘随机过程的统计特性，来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。更简单方便。方法：方法：求随机过程数字特征的方法有求随机过程数字特征的方法有“统计平均统计平均”和和“时时间平均间平均”两种。两种。统计平均：统计平均：对随机过程对随机过程 X(t)某一特定时刻不同实现的可能某一特定时刻不同实现的可能取
14、值取值X(ti)随机变量随机变量，用，用统计方法统计方法得出的种种平均值叫统计得出的种种平均值叫统计平均。平均。时间平均：时间平均：对随机过程对随机过程X(t)的某一的某一特定实现特定实现xi(t)，用数学，用数学分析方法分析方法对时间求平均对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。得出的种种平均值叫时间平均。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9131()(,)EX txfx t dx111111()(,)E X tx fx t dx随机过程在任意给定时刻随机过程在任意给定时刻t的数学期望。的数学期望。（1 1）随机过程的随机过程的数学期望（均值）数学期
15、望（均值）随机过程随机过程X(t)在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值X(t1)是一个随机变量，是一个随机变量，其其数学期望数学期望为为 式中式中 f1(x1,t1)X(t1)的概率密度函数。的概率密度函数。由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接写为直接写为t，x1改为改为x，这样，这样第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-914a(t)1()()()E X txf xt dxa t 记为，X(t)的均值是时间的确定函数，常记作的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示，它表示随机过程随机过程的的n个样本函数曲线的个样
16、本函数曲线的摆动中心摆动中心，故又常被称为统计平均或，故又常被称为统计平均或均均值值。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-915（2 2）方差）方差2()()()D X tEX ta t 2222222212()2()=()()(,)()DXtEXta t XtatE Xta t EXtatE Xtatx fx t dxa t 均方值均方值均值平方均值平方方差常记为方差常记为 2(t)。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t1直接写成了直接写成了t。因为因为所以，所以，方差等于均方值与均值平方之差方差等于均方值与均值平方之差，它，它表示随机过程在时表示随机
17、过程在时刻刻 t 相对于均值相对于均值a(t)的偏离程度的偏离程度。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-916（3 3）相关函数与协方差）相关函数与协方差随机过程随机过程不同时刻取值之间的相不同时刻取值之间的相互关系互关系假定：假定：X(t1)和和X(t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的时刻观测得到的随机变量随机变量。（A A）自自相关函数相关函数同一随机过程的相关程度同一随机过程的相关程度f2(x1,x2;t1,t2)X(t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。可以看出，可以看出，R(t1,t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函
18、数。的确定函数。（B B）协方差函数）协方差函数1212122121212()()()(,;)d dR ttE X t X tx x fx x ttx x,12112211222121212()()()()()()()()d dB ttEX ta tX ta txa txa tfxxttx x，；，=R(t,)第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-917)()(),(),(212121tatattRttB1212(,)()()XYRttE X tY t相关函数和协方差函数之间的关系：相关函数和协方差函数之间的关系：1212()()()R ttE X t X
19、 t,121122(,)()()()()B t tEX ta tX ta t特别：特别：若若a(t)=0，则，则 B(t1,t2)=R(t1,t2)（C C）互相关函数互相关函数两个不同随机过程两个不同随机过程X(t)、Y(t)的相关程度的相关程度1212121212(,)()()()()(,)()()0XYXYRt tE X t Y tE X tE Y tRt tE X t Y t-统计独立时统计独立时-相互正交相互正交相应地：相应地：R(t1,t2)称为称为自相关函数自相关函数。特别：特别：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-918121122121
20、2(,)()()()()(,)()()XYXYXYXYBt tEX tatY ta tRt tat a t显然：显然：若若aX(t)或或aY(t)=0，则，则 BXY(t1,t2)=RXY(t1,t2)（D D）互协方差函数互协方差函数则称则称X(t)和和Y(t)互不相关互不相关。特别：若特别：若121122(,)()()()()0XYXYBt tEX tatY ta t统计独立的两个随机过程是不相关的。统计独立的两个随机过程是不相关的。问：问：统计独立、互不相关、正交的关系。统计独立、互不相关、正交的关系。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-919 2
21、.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.3.1 2.3.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念1.1.定义定义若一个随机过程若一个随机过程X(t)，它的任意，它的任意n维分布或概率密度函数与时间维分布或概率密度函数与时间起点无关，即起点无关，即对于任意的正整数对于任意的正整数n和所有实数和所有实数，有，有则称则称X(t)是是平稳随机过程平稳随机过程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9202.2.性质性质该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间该定义表明：平稳随机过程的统计特性
22、不随时间的推移而改变。特别是：的推移而改变。特别是：一维分布函数与时间一维分布函数与时间t无关：无关：3.3.数字特征数字特征),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf1 111()()E X tx f x dxa12111221212(,)()()(,;)d d()R t tE X t X tx x fx xx xR 而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 =t2 t1有关：有关：可见可见：（：（1）其均值与其均值与t无关，为常数无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间
23、隔自相关函数只与时间间隔 有关，为有关，为R()。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-921严平稳随机过程的数字特征：严平稳随机过程的数字特征：（1）其均值与其均值与t无关，为常数无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔自相关函数只与时间间隔 有关。有关。4.4.广义平稳随机过程广义平稳随机过程 把同时满足（把同时满足（1）和（）和（2）的随机过程定义为）的随机过程定义为广义平稳随机广义平稳随机过程过程。意义：意义：具有具有各态历经性各态历经性平稳随机过程平稳随机过程十分有趣，非常有用十分有趣，非常有用。通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳
24、、具通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具有各态历经性的随机过程。有各态历经性的随机过程。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9222.3.2 2.3.2 平稳随机过程的平稳随机过程的各态历经性各态历经性问题的提出问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。的样本。问题：问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平来决定平稳
25、过程的数字特征呢稳过程的数字特征呢?回答是肯定的回答是肯定的：平稳过程在平稳过程在满足一定的条件满足一定的条件下具有一种十分有用的特性下具有一种十分有用的特性-“各态历经性各态历经性”（或称（或称“遍历性遍历性”）。具有各态历经性的过）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为程，其数字特征（均为统计平均统计平均）完全可由随机过程中的）完全可由随机过程中的任一实现的任一实现的时间平均值时间平均值来代替。来代替。条件？条件？第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-923各态历经性条件各态历经性条件设：设：xi(t)是平稳过程是平稳过程X(t)的任意一次实现（样本
26、），则其的任意一次实现（样本），则其时间时间均值均值和和时间相关函数时间相关函数分别定义为：分别定义为：如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立/2/2/2/21()lim()d1()()()lim()()dTTTTTTax tx ttTRx t x tx t x ttT)()(RRaa则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-924“各态历经各态历经”的含义的含义 随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态，其任一样本都蕴含着平稳随
27、机过程的全部统计信息。态，其任一样本都蕴含着平稳随机过程的全部统计信息。各态历经随机过程的特点各态历经随机过程的特点好处好处 在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的只要获得一次考察，用一次实现的“时间平时间平均均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，值即可，从而使测量和计算从而使测量和计算问题大为简化。问题大为简化。注：注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪
28、声，一般均能满成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。足各态历经条件。)()(RRaa第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-925 例例2-1、2-2 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为其中，其中，A和和 c均为常数；均为常数；是在是在(0,2)内均匀分布的随机变量。内均匀分布的随机变量。试讨论试讨论X(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。()cos()cX tAt202022001()()cos()d2(coscossinsin)d2coscos dsinsin d 02ccccca tE X tAtAt
29、tAtt 【解解】（1）先求）先求X(t)的统计平均值。的统计平均值。均值：均值：与与t 无关无关第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-926 仅只与时间间隔仅只与时间间隔 有关。有关。所以：所以：X(t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。自相关函数：自相关函数：1212122212122221210221(,)()()cos()cos()cos()cos()2 21cos()cos()2 d222cos()02cccccccR t tE X t X tE AtAtAEttttAAttttAtt)(cos2),(221RAttRc令令t2 t1=，得到，得到
30、第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-927/2/21limcos()d0TcTTaAttT/2/22/2/2/2/221()limcos()cos()dlimcosdcos(22)d 2cos2TccTTTTcccTTTcRAtAttTAtttTA ()()aaRR结论：结论：随机相位正弦波是各态历经的。随机相位正弦波是各态历经的。（2）求）求X(t)的时间平均值的时间平均值综上，有综上，有第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9282.3.3 2.3.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数特别重要，因为：特别
31、重要，因为：平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述。数来描述。相关函数揭示了随机过程的频谱特性。相关函数揭示了随机过程的频谱特性。（1）平稳过程自相关函数的定义：）平稳过程自相关函数的定义：1212()(,)()()RR t tE X t X t（2）平稳过程自相关函数的性质）平稳过程自相关函数的性质特别：特别：均值为均值为0时，有：时，有：平均功率平均功率 R(0)=22(0)()RE Xt)()(RR()(0)RR22()()REX ta 2)()0(RR 的的偶函数偶函数 R()的的上界上界，R()在在 =0有最大值。
32、有最大值。X(t)的的平均功率平均功率 X(t)的的直流功率直流功率 X(t)的的交流功率交流功率1）2）3）4）5）第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9292）-R()的的上界。上界。证：证：由于由于 从而从而 222()()=()()2()()=(0)(0)2()=2(0)()0 EX tX tE XtXtX t X tRRRRR2()()0 EX tX t()(0)RR所以，得所以，得()(0)RR对性质对性质2）、）、4）、）、5）证明如下。）证明如下。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9304）-X(
33、t)的的直流功率直流功率。证：证：注：注：这里利用了当这里利用了当时时X(t)与与X(t+)变得变得没有没有依赖关系，依赖关系，即统计独立，且认为即统计独立，且认为X(t)不不含有周期分量。含有周期分量。5）-方差为方差为X(t)的的交流功率交流功率。证：证：由由22()lim()lim()()()()()RRE X t X tE X t E X tEX ta，平稳22()()REX ta 222222222()()()()()2()=()2=(0)D X tE X ta tE X taE XtaX taE XtaaRa2(0)()RR证毕。证毕。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪
34、声分析通信原理2022-12-9312.3.4 2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度PX()相关函数相关函数R()的又一重要性质。的又一重要性质。设：设：X(t)平稳，平稳，R()绝对可积绝对可积()dR 则则在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。意义：意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。傅里叶关系。d1d2jXjXPReRPe简记为：简记为：()(
35、)XRP维纳维纳-辛钦关系辛钦关系第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-932证明：证明：由信号与系统课程知道，对于任意确定功率信号由信号与系统课程知道，对于任意确定功率信号x(t)，其功率谱密度为其功率谱密度为式中，式中，是是x(t)的短截函数的短截函数xT(t)的的频谱函数。对于功率型平稳随机过程频谱函数。对于功率型平稳随机过程而言，它的任一实现的功率谱密度也而言，它的任一实现的功率谱密度也可以由上式确定。可以由上式确定。2()()limTxTXPT()TX但一般而言，不同实现具有不同的谱密度。因此，某一实现的但一般而言，不同实现具有不同的谱密度。因此
36、，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有实现的功率谱的统计平均，即看作是对所有实现的功率谱的统计平均，即2()()()limTXxTEXPE PT第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-933 1dd2jjXXPReRPe2()()limTxTXPT2()()()limTXxTEXPE PT我们还知道，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功我们还知道，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样率谱密度是一对傅里叶变换
37、。这种关系对平稳随机过程同样成立，也就是说，平稳随机过程的功率谱密度成立，也就是说，平稳随机过程的功率谱密度PX()与其自与其自相关函数相关函数R()也是一对傅里叶变换，即也是一对傅里叶变换，即()()XRP第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-934讨论：讨论：（1）对功率谱密度进行积分，可得）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率平稳过程的平均功率：(0)()dXRPff从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。（2）各态历经过程的任一实现的功率谱密度等于过程的功各态历经过程的任一实现的功率谱密度等于过程
38、的功率谱密度：率谱密度：1dd2jjXXPReRPe即，任一实现的谱特性都能很好地表现整个过程的谱特性。即，任一实现的谱特性都能很好地表现整个过程的谱特性。()()XxPP()()RR【证证】对各态历经过程，有对各态历经过程，有 两边同取傅里叶变换，得两边同取傅里叶变换，得 此即此即()()F RF R()()XxPP第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-935【解解】由例由例2-1已经得知随相信号是一个平稳过程，且其已经得知随相信号是一个平稳过程，且其相关相关函数函数为为20()cos2AR 例例2-3 试求随相正弦波试求随相正弦波X(t)=Acos(c
39、t+)的自相关函数、功的自相关函数、功率谱密度和和平均功率。率谱密度和和平均功率。又由又由()()XRP)()(cosccc2()()()2XccAP 21(0)()22XASRPd得得 功率谱密度功率谱密度 平均功率平均功率 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-936 2.4 2.4 高斯随机过程高斯随机过程 通信中最重要也是最常见的过程。通信中最重要也是最常见的过程。2.4.1 2.4.1 高斯过程的定义高斯过程的定义若随机过程若随机过程X(t)的任意的任意n维分布（维分布（n=1,2,）均服从正态分布，）均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。
40、则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式维正态概率密度函数表示式见见 式（式（2.4.1）（2.4.3）特点：特点：高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的维分布只依赖各个随机变量的均值均值、方差方差和和归一化协方差归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。特征就可以了。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-937（2.4-1）12121/2/21112()11exp()()2(2)nnnnnjjkkjknjkjknfxxxtttxaxaBBB，；，n维正态概率密度函数维
41、正态概率密度函数为为121212121 1 1nnnnbbbbBbb()()jjkkjkjkEX taX tab 22()()kkkkkaE X tE X ta，（2.4-2）（2.4-3）式中，式中，归一化协方差矩阵的行列式归一化协方差矩阵的行列式归一化协方差函数归一化协方差函数-均值、方差均值、方差jkB为行列式为行列式 中元素中元素bjk的代数余因子。的代数余因子。B第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-938特别情况下，当特别情况下，当n=1时，式时，式（2.4-1）简单为简单为 21111211()1(,)exp22xaf x t此即为高斯过程此
42、即为高斯过程X(t)在时刻在时刻t1取值所得随机变量取值所得随机变量X(t1)的一维概率的一维概率密度函数，显见其为正态的。式中，密度函数，显见其为正态的。式中，a1为为X(t1)的均值，的均值，为为X(t1)的方差。的方差。（2.4-4）一维时：一维时：21221()()exp(2.4.6)22xaf x第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9392.4.2 2.4.2 高斯过程的高斯过程的重要重要性质性质由定义可分析出由定义可分析出（1）高斯过程）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳若广义平稳，则必狭义平稳。（2）高斯过程中的随机变量）高斯过程中的随机变量
43、X(t1)、X(t2)、X(t3)、之间之间若不若不相关相关，则它们也必是，则它们也必是统计独立统计独立的。的。意义：意义：这种情况下，随机过程极其复杂的这种情况下，随机过程极其复杂的n维正态概率密度函数维正态概率密度函数表示转化为表示转化为n个简单的一维分布的乘积。个简单的一维分布的乘积。（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统角度从系统角度。212122/2112111122121()1()exp2(2)()1=exp()()22njjnnnnnjjjj
44、njjnnjjjxafxxxtttxaf xtf xtf xt，；，)，（2.4.5）（2.4-1）(2.4-2)1B 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-940221()()exp(2.4.6)22xafx 则称则称x为服从正态分布的随机变量，为服从正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。也称高斯随机变量。a均值均值，2方差方差。3.3.3 3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量高斯过程在任一时刻上的取值高斯过程在任一时刻上的取值为高斯随机变量。在分析系统为高斯随机变量。在分析系统抗噪声性能时要反复用到抗噪声性能时要反复用到。1.1.定义定义/概率密度函数
45、概率密度函数 若随机变量若随机变量x的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成曲线：曲线：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-941性质：性质：1）对称于直线）对称于直线x=a;2）在）在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a点处达到极大值点处达到极大值;),(a),(a1()1()()2aaf x dxf x dxf x dx，3）4）a 表示分布中心，表示分布中心，表示集中的程度。表示集中的程度。一定时一定时，。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9422.2.正态分布函数正态分布
46、函数（1 1）一般表示式）一般表示式22222/21()()e()d1()expdddxpd22122d2xxxx atf zzzazazaF xzetztzt，令，则这个积分不易计算，常引入这个积分不易计算，常引入误差函数误差函数或或Q函数（可查表）函数（可查表）来表来表述。述。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-943（3 3）用误差函数表示）用误差函数表示 正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。1 1）误差函数定义误差函数定义20erf()d2xzxez22erfc()1erf()dzxxxez误差
47、函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：22/221()1()expdd222x axtzaF xzet附录附录B第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9442 2）误差函数的性质误差函数的性质误差函数是递增函数误差函数是递增函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：erf()erf()xxerf()1 erfc()2erfc()xxerfc()0 21erfc()1xxexx，互补误差函数是递减函数互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：202erf()dxzxez22erfc()1erf()dzxxxez 第第2 2章章 随机信号与
48、噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-9453 3）用误差函数表示正态分布函数）用误差函数表示正态分布函数22220()()d()d()d11()expd22211d211erf()222xaxaxaxatF xf zzf zzf zzzazetxa 20,d2d22erf()dxzzatztxezerf()1 erf11er1111()2222fc()c(2)222xaxaF xxa或：或：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-946（2 2）用）用Q函数表示正态分布函数函数表示正态分布函数 Q函数定义：函数定义：2/21()2txQ xed
49、t22()zxerfc xedzQ函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(Q函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：112)()2(xaerfcF xQ函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-947 2.5 2.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统2.5.1 2.5.1 输出过程的表达式输出过程的表达式线性系统线性系统复习：复习：设：设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为线性系统的冲击响应和网络
50、函数分别为：h(t)、H()。周知：周知：线性系统响应线性系统响应y(t)等于输入信号等于输入信号x(t)与冲击响应与冲击响应h(t)的卷积，的卷积，即：即：确知信号通过确知信号通过线性系统：线性系统：()()*()()()dy tx th thx t第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2022-12-948理解：理解：上式对于确知信号是没有问题的。上式对于确知信号是没有问题的。当输入是随机过程当输入是随机过程X(t)的任意一个实现时，也应成立的任意一个实现时，也应成立。即，。即，如果把如果把x(t)看作是输入随机过程看作是输入随机过程X(t)的某一个样本，则的某一个样
