1、相 框丰田汽车标志北宋 汝窑天青无文椭圆水仙盆 玉玉 石石飞船的运行轨道飞船的运行轨道问题情境问题情境：生活中的椭圆生活中的椭圆认真观察作图过程，回答下面的两个问题：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：121 2|=2|FF|MFMFa（a为常数）（2a）MF1F2感悟：121212121 21212|M|MFF|MMFMFFFMFMFFFMFMFFF（1）若，点的轨迹为椭圆；（2）若，点的轨迹为线段；（3）若，点的轨迹不存在。用定义判断下列动点用定义判断下列动点M M的轨迹是否为椭圆。的轨迹是否为椭圆。(1)(1)到到F F1 1(-2,0)(-2
2、,0)、F F2 2(2,0)(2,0)的距离之和为的距离之和为6 6的点的轨迹。的点的轨迹。(2)(2)到到F F1 1(0,-2)(0,-2)、F F2 2(0,2)(0,2)的距离之和为的距离之和为4 4的点的轨迹。的点的轨迹。(3)(3)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(2,0)(2,0)的距离之和为的距离之和为3 3的点的轨迹。的点的轨迹。解解(1)(1)因因|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=6|F|=6|F1 1F F2 2|=4|=4，故点，故点M M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。(2)(2)因因|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=4
3、=|F|=4=|F1 1F F2 2|=4|=4，故点，故点M M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F F1 1F F2 2)。跟踪训练跟踪训练(3)3)因因|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=3|F|=3|F1 1F F2 2|=4|=4，故点，故点M M的轨迹不存在。的轨迹不存在。（1）建系设点）建系设点 （2）写等式）写等式 （3）等式坐标化）等式坐标化 （4）化简）化简 （5）检验）检验 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案
4、一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy(1)建系设点：建系设点：以线段以线段F1F2中点为坐标中点为坐标原点原点，F1F2所在直所在直线为线为x轴轴，建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，设设椭圆上任意一点为椭圆上任意一点为M（x,y）,则则F1(-c,0)，F2(c,0)。（问题：下面如何化简（问题：下面如何化简?）12|2MFMFa（2）写等式：）写等式：（3）等式坐标化：）等式坐标化：（4）化简：）化简：F1F2M0 xy2222()()2x cyx cya2222()()2xcyxcya2222()2()xcyaxcy移项：222()acxaxcy两边平方,整理得：2222222
5、2)()acxa yaac再平方，并整理得：(222222222222222220(0)1(0,)acacacb xa yabxbaabybab因为，所以不妨设则两边除以b得：22221(0)yxa bab 总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式222210 xyabab（三（三)椭圆的标准方程椭圆的标准方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFFMx焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上 1 12 2yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表两类标准方程的对照表共同点
6、：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：不同点：焦点在焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.22221 0 xyabab22221 0yxababF(c，0)0)F(0(0，c)图图 形形方方 程程焦焦 点点a,b,c之间的关系之间的关系定定 义义222,0,0cababac其中12|2(220)MFMFaac例题讲解例题讲解2222222221(0)91259x
7、xyababcxy解：因为焦点在 轴上，所以设其标准方程为由题意知：c=4,2a=10即：a=5 所以b=a因此这个椭圆的标准方程为由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，222222235352()(2)()(2)210,222210.2,1046.aacbac 又所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为.161022xy解：解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y y轴上，所以设它的轴上，所以设它的标准方程为标准方程为)0(12222babxay定义法定义法解解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y y轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为 )0(12222babxay c=2，且 c2
8、=a2-b2 4=4=a2-b2 又又椭圆经过点椭圆经过点2523，1)()(22232225ba联立联立可求得：可求得：6,1022ba椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为 161022xyxyF1F2P待定系数法待定系数法1、已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：(1)a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点，并且并且|CF1|=2,则则|CF2|=_.2212516xy变题：变题：若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）.221
9、69144xy若方程若方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭圆，轴上的椭圆，求求k的取值范围的取值范围;22123xykk探究探究:若方程表示椭圆呢若方程表示椭圆呢?5436(-3,0)、(3,0)8221916xy自主总结自主总结:例题讲解.,18,8,2运动时满足的一个方程求顶点等于的周长且是两个定点已知例AABCBCCB.10:,18:ACABBCACAB得由已知解.9.5,4,102,82,222cabacacA所以即且的轨迹是一个椭圆由定义可知点)0(1925:,.,0,.,22yyxACBAyBCABCOCBx满足的一个方程是点因此三点不能构成三角形时即上在直线当点中点的为原点两点轴
10、经过使建立平面直角坐标系如图练习1162522yx答：在答：在 x 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）116914422yx答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）112222mymx答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。1.椭圆的定义椭圆的定义2.注意：注意：“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个是个专用名词专用名词，就是指就是指上述的两个方程，形式是固定的。上述的两个方程，形式是固定的。3.求一个椭圆的标准方程的求一个椭圆的标准方程的常用的常用的方法是什么？方法是什么？定义法、待定系数法定义法、待定系数法。需要确定两方面：。需要确定两方面：定位定位（确（确定焦点位置）和定焦点位置）和定量定量（确定（确定a、b、c中的任意两个）中的任意两个）4.判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。课时小结：
