1、应用数理学院应用数理学院 连续型随机变量连续型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样,以指定它取每以指定它取每个值概率的方式个值概率的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的的方式方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.第二章 第三节第三节 连续型随机变量连续型随机变量(I)连续型连续型r.v.及其概率密度函数的定义及其概率密度函数的定义()
2、()baP aXbf x dx,使得对任意使得对任意 ,有有ba),(对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数f(x),x 则称则称 X为连续型为连续型r.v.,称称 f(x)为为 X 的的概率密度函概率密度函数数，简称为，简称为概率密度概率密度或或密度密度.(,),ab 使使得得任任意意有有(II)概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o()0f x 2 o()1f x dx这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为面积为1 故故 X的密度的密度 f(x
3、)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.x(,x xx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim00()limxxxxxf t dt=f(x)3.对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：()P xXxxf xx 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .(,x xx()f xx()f xx在连续型在连续型
4、r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与()kkP Xxp在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大.也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo4.连续型连续型r.v取取任一任一指定值的概率为指定值的概率为0.即：即：,0)(aXPa为任一指定值为任一指定值这是因
5、为这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00由此得由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1)对连续型对连续型 r.v X,有有)(bXaP2)由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件,可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出 A 并非必然事件并非必然事件aRX由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=（二）、（二）、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设X(X()是一个随机变量是一个随机变量.称函数称函数 F(x):=PXx,-F(x):=PXx,-xx 为随机变量为随机
6、变量X X的的分布函数分布函数.l分布函数的性质分布函数的性质（1 1）a ab,b,总有总有F(a)F(b)(F(a)F(b)(单调非减性单调非减性)（2 2）F(x)F(x)是一个右连续的函数是一个右连续的函数（3 3）x x R R1 1,总有总有0F(x)1(0F(x)1(有界性有界性),),且且l定义定义 lim()0lim()1xxFxFx lim()()lim()()xxF xFF xF记为记为证明证明:仅证仅证(1)aa aa =Xb-Xa,Xb-Xa,而而XaXa Xb.Xb.PaPa Xb=PXb-PXaXb=PXb-PXa =F(b)-F(a).=F(b)-F(a).又又
7、PaPa Xb0,Xb0,F(a)F(b).F(a)F(b).上述证明中我们得到一个重要公式上述证明中我们得到一个重要公式:它表明随机变量落在区间它表明随机变量落在区间(a,b(a,b上的概上的概 率可以通过它的分布函数来计算率可以通过它的分布函数来计算.注意注意设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 p pk k:=PX=x:=PX=xk k,k=1,2,k=1,2,X X的分布函数的分布函数离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数xxkkxXPxXPxF)(xxkxxkkkpxXPxF)(分布函数分布函数F(x)F(x)是一个右连续的函数是一个右连续的函数,在在
8、x=xx=xk k(k(k=1,2=1,2)处有跳跃值处有跳跃值 p pk k=PX=x=PX=xk k,如下如下图图(图图2.2.1)2.2.1)所示所示P29,P29,例例2.2.1 X2.2.1 X的分布函数的分布函数F(x)=F(x)=0 x00 x00.04 00.04 0X1X10.36 10.36 1X2X21 2X1 2X连续型连续型 r.v.的分布函数的分布函数即分布函数是密度函数的可变上限即分布函数是密度函数的可变上限的的定积分定积分.若若 X 是连续型是连续型r.v.，X f(x),则则 F(x)=P(X x)=()xf t dt由上式可得，由上式可得，在在 f(x)的连
9、续点的连续点，)()(xfdxxdF下面我们来求一个连续型下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数的分布函数.例例 设设r.v X 的密度函数为的密度函数为 f(x)其它0,11,12)(2xxxf求求 F(x).F(x)=P(X x)=()xf t dt解：解：对对x 1，F(x)=11,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF 即即()()xF xf t dt大家一起来作下面的练习大家一起来作下面的练习.求求 F(x).其它,021,210,)(xxxxxfX例例3 设设由于由于f(x)是分段是分段表达的，求表达的，求F(x)时时注意分段求注意分段求.()()xF xf
10、t dt=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2 xF(x)其它,)(021210 xxxxxfX对连续型对连续型r.v，若已知，若已知F(x)，我们通过求导我们通过求导也可求出也可求出 f(x)，请看下例请看下例.2,121,21210,20,0)(22xxxxxxxxF即即?).(51XP 其它,)(021210 xxxxxf12508750151151151.).().().(FXPXP 225.125.1022)()5.1(xxx-xxxfXPd)d(d1110002xxxxxF,)(例例4 设设r.v X的分布函数为的分布函数为(1)求求X取值在区间取值在
11、区间 (0.3,0.7)的概率；的概率；(2)求求X的概率密度的概率密度.解解:(1)P(0.3X0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.(Normal)(II)、正态分布、正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间两头小，中间大，左右对称大，左右对称”.()1f x dx()0f x 正态分布密度函数的性质正态分布密度函数的性质:22()21()2xf xe()()fxfx()yf xxx,()fxx,()0,()fxf x ()f xx1()2flim(
12、)lim()0 xxf xf x()yf xOx12xO()f x2()()xfxf x 0,()f xx2,:10.51.5实例实例 年降雨量问题，我们用上海年降雨量问题，我们用上海99年年年降雨量的数据画出了频率直方图。年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。数据画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。正态分布。
13、(III)、设、设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 221()2txxedt(IV)(IV)、标准正态分布、标准正态分布0,1的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.221(),2xxex 其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：()x()x)(x)(x 它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布
14、的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.P241,P241,附表附表2 22(,)XN XY,则则Y Y N(0,1)设设定理定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.（V V）、正态分布表）、正态分布表()1()xx 221()2txxedt表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x175的概率为P X175=1751XP)65.0(1)69.7170175(1=0.2578解解
15、:(2):(2)设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.（2 2）公共汽车车门的高度是按成年）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在男性与车门顶头碰头机会在0.01以下以下来设计的，问车门高度应如何确定来设计的，问车门高度应如何确定?因为因为XN(170,7.,7.692),),170(0,1)7.69XN170()7.69h故故 P(X0.991707.69h所以所以 =2.33,即即 h=170+17.92 188设计车门高度为设计车门高度为188厘米时，
16、可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的h.习题习题1 设随机变量设随机变量XN(3,4),已知已知(0.5)=0.6915,答案：答案：0.6915 0.1915 c3则则 4XP 32 XP求常数求常数c，使，使cXPcXP 解解34 34(0.5)0.691522XP XP).(.).()(691501505002332323232 XPXP3500231 cccXPcXPcXPcXP.)(这一讲，我们介绍了连续型随机变量、这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。概率密度函数及性质。还介绍了正态分布，还介绍了正态分布，它的应用极为广它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道泛，在本课程中我们一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布;还要还要给出德莫佛极限定理的证明给出德莫佛极限定理的证明.另外我们简单介绍了均匀分布和指另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布数分布
