1、第16章 二次根式二次根式 16.2.2 二次根式的加减（第1课时 二次根式的加减）学习目标学习目标 1.了解二次根式的加、减运算法则.（重点）2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）复习引入 导入新课导入新课 问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式?（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?(1)28，18，0.5;2,3(2)480，45，20.5,32,22;5,25.化简后被开方数相同 问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的
2、栅栏里吗？223253232?27?547讲授新课讲授新课 一 在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.a a a a a a a a a a 你发现了什么？由上图，易得2 a+3 a=5 a.当a=22?32=522时，分别代入左右得 ;当a=3时，分别代入左右得 ;23?33=53.前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：a b b 2 a+3 b b a 这两个二次根式可以合并吗？当a=,8时，得2 a+3 b=.22?382b=因为 3 8?3 2?2?62，由前面知两者可以合并
3、.你又有什么发现吗?2归纳总结 将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为 同类二次根式.注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：ma?na?m?n?a典例精析 2n?1例1 若最简根式 3可以合并，求 3m?2n与 mn的值.解：由题意得 解得 416?.即 mn?323?2n?1?2,?3m?2n?3,4?m?,?3?1?n?,?2 归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2列关于待定字母的方程求解即可.【变式题】如果最简二次根
4、式 3a?8与 17?2a可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取4a?2xx?a值范围.解：由题意得3 a-8=17-2a,a=5，4a?2xx?a?20?2xx?5,20-2x0，x-50，5x10.练一练 1.下列各式中，与 D）3是同类二次根式的是（A.B.C.D.582122.1 8与最简二次根式 m?1能合并，则m=_.3.下列二次根式，不能与 填 12合并的是_(序号）.48;-125;1;3132;18.二 二次根式的加减及其应用 思考 现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？问题1 怎样列
5、式求两个正方形边长的和?7.5 dm 8+185 dm S=8 dm2 S=18 dm2 问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.解：列式如下：在有理数范围内成立的8+18?22+32（化成最简二次根式）运算律，在实数范围内仍然?（2+3）2（逆用分配律）成立.?52.Q18?32?5,52?7.5，2在这块木板上可以截出两个分别是8 dm和18 dm2的正方形木板 归纳总结 二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以 先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)
6、化将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找找出被开方数相同的二次根式；(3)并把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并”二次根 式性质 8+18=22+3整式加 分配律 减法则 2=（2+3）2=52化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题 典例精析 例2 计算:(1)80?45;(2)9a?25a;(3)8?150;(4)3 12?1275.解：(1)(2)9a?80?45?45?35?25a?3a?5a?8a.(3)8?150?22?512?22?21039?21102.(4)3 1
7、2?127?63?13 3?63?5393.例3 计算:(1)2 12?613?31348;(2)(12?20)?(3?5).(1)解：2 12?6?4?14?3348(2)(12?12?20)?(20?3?3?55)3?23.3?12?23?25?3?5?33?5.有括号，先去括号 例4 已知a,b,c满足 .?a?8?b?5?c?3 2?0(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.a?8?22,b?5,c?32；解：(1)由题
8、意得 2(2)能.理由如下：即acb，22325，又 a?c?52,a+cb，能够成三角形，周长为 a?b?c?52?5.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为 52,26，求其周长.解：?当腰长为 52时，52?52?10226，2+26；此时能构成三角形，周长为1 0?当腰长为 26时，26?26?4652，此时能构成三角形，周长为 52+46.归纳 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.练一练 1.下列计算正确的是 （C ）2?2?23?A.B.2?32?25 C.D.12?3?33?2.已知一个矩形的长为 ,48宽为 12，则其123周长为
9、_.随堂练习随堂练习 1.二次根式：1 3能进行合并的 2、18、27中，与 23 是 （）C 3A.12与12与32B.与218与18C.A.B.C.27D.5627A）2.下列运算中错误的是 （2?2?8?3?3?2?23）?32D.（3.三角形的三边长分别为 20，40，45，则这个三角形的周长为_.55+2 104.计算:(1)52?18=_8_ _2_ _；(2)4 18-9 23_ _2 _ _；?_ _ _ _(3)10 2?(3 8-7 2)?_ _ _9_ _2_ _；4_3-6(4)5 12-(3 8?2 27)?_ _ _ _2_.5.计算:1(1 )5 8-2 27?1
10、8 ；(2 )2 18-50?45.3解：(1 )5 8-2 27?18?10 2-6 3?3 2?13 2-6 3.1 (2)2 18-50?45 3?6 2-5 2?5?2?5.(3)44-(3 11?11 2)；11(4)(48-4)-(3-4 0.5).831813(3)解：44?（3 11+11 2）(4（)48?418）?（313?4120.5）=2 11?3 11?11 2?11?11 2.=48?4?32+4332=4=4?33?4?3?3+4?3?3+2+4?222?2.6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和15
11、0.72m2，求圆环的宽度d（取3.14）.d 解 设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为?r 可知 S?R，SS，S ，由 221212R?S1，r?S2.则 d?R?r?9?5S1?S2?483150.723.14d 763.023.14243?3?43?m?.答：圆环的宽度为 53m.能力提升：7.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=a?3b，求（2*3）（27*32）的值 解：a*b=a?3b，（2*3）（27*32）=?=2?33?2?33?3?27?3323?122?=?112.课堂小结课堂小结 一般地，二次根式的加减法二次根式加减 注意 运算顺序 则 时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算原理 运算律仍然适用 与实数的运算顺序一样
